5. 如图⑤,$BP:PC= 3:4$,$PE// AB$,$PD// AC$,则$S_{\triangle ABC}:S_{□ ADPE}= $.

49:24

49:24
解析：设 $ BP = 3k $，$ PC = 4k $，则 $ BC = BP + PC = 7k $。
∵ $ PD // AC $，
∴ $ \triangle BPD \sim \triangle BCA $（AA相似），相似比 $ \frac{BP}{BC} = \frac{3}{7} $，面积比 $ \left(\frac{3}{7}\right)^2 = \frac{9}{49} $。设 $ S_{\triangle ABC} = 49S $，则 $ S_{\triangle BPD} = 9S $。
∵ $ PE // AB $，
∴ $ \triangle CPE \sim \triangle CBA $（AA相似），相似比 $ \frac{PC}{BC} = \frac{4}{7} $，面积比 $ \left(\frac{4}{7}\right)^2 = \frac{16}{49} $，则 $ S_{\triangle CPE} = 16S $。
$ S_{□ ADPE} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle BPD} - S_{\triangle CPE} = 49S - 9S - 16S = 24S $。
∴ $ S_{\triangle ABC} : S_{□ ADPE} = 49S : 24S = 49:24 $。

6. 如图⑥,平行于BC的直线DE把$\triangle ABC$分成的两部分面积相等,若$BC= 8\sqrt{2}$,则DE= .

8

1. 由于$DE // BC$，所以$\triangle ADE \sim \triangle ABC$。
2. 设$\triangle ADE$和$\triangle ABC$的相似比为$k$，则$\frac{DE}{BC} = k$。
3. 根据相似三角形的面积比性质，有$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} = k^2$。
4. 题目给出$S_{\triangle ADE} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC}$，所以$k^2 = \frac{1}{2}$。
5. 解得$k = \frac{\sqrt{2}}{2}$（负值舍去，因为长度不能为负）。
6. 已知$BC = 8\sqrt{2}$，所以$DE = k × BC = \frac{\sqrt{2}}{2} × 8\sqrt{2} = 8$。

7. 如图,在$\triangle ABC$中,点D在AB上,连接CD,DE平分$\angle BDC$交BC于点E,且$DE// AC$,点F为AC的中点,连接DF.
(1)求证:$DF\perp DE$;
(2)若$BE:CE= 2:3$,$S_{\triangle CDE}= 9$,求$\triangle ABC$的面积.

(1)见证明；(2)75/2

(1)证明：∵DE平分∠BDC，∴∠BDE=∠CDE。
∵DE//AC，∴∠CDE=∠ACD（内错角相等）。
∴∠BDE=∠ACD。
∵DE//AC，∴∠BDC=∠A+∠ACD（外角性质）。
又∠BDC=∠BDE+∠CDE=2∠CDE=2∠ACD，
∴∠A+∠ACD=2∠ACD，∴∠A=∠ACD。
∴AD=CD（等角对等边）。
∵F为AC中点，∴DF⊥AC（等腰三角形三线合一）。
∵DE//AC，∴DF⊥DE（垂直于平行线中的一条必垂直于另一条）。
(2)解：设BE=2k，CE=3k，则BC=5k。
∵DE//AC，∴△BDE∽△BAC，相似比为BE/BC=2/5。
∵△BDE与△CDE同高（D到BC距离），面积比=BE/CE=2/3，
设S△BDE=2m，S△CDE=3m，∵S△CDE=9，∴3m=9，m=3。
∴S△BDE=6，S△BDC=6+9=15。
∵△BDE∽△BAC，面积比=(2/5)²=4/25，
∴S△BAC=S△BDE×25/4=6×25/4=75/2。

8. 某生活小区的居民筹集资金1600元,计划在一块上、下两底分别为10 m、20 m的梯形空地上种植花卉.
(1)如图,他们在$\triangle AMD和\triangle BMC$地带上种植太阳花,当$\triangle AMD$地带种满花后(图中阴影部分),共花了160元,请计算种满$\triangle BMC$地带所需的费用;
(2)若其余地带要种的花卉,有玫瑰花、茉莉花和太阳花三种供选,单价分别为12元/$m^2$、10元/$m^2$和8元/$m^2$,怎样安排栽种面积?请你做出决策.

(1)640元；(2)栽种茉莉花80m²。

(1)
∵AD//BC，∴∠MAD=∠MCB，∠MDA=∠MBC，∴△AMD∽△CMB。
相似比k=AD/BC=10/20=1/2，面积比=k²=1/4。
设S△AMD=S，则S△BMC=4S。
∵△AMD花费160元，费用与面积成正比，∴△BMC费用=160×4=640元。
(2)
设△AMD面积为S，太阳花单价8元/m²，∴S=160÷8=20m²，则S△BMC=4×20=80m²。
∵△AMD∽△CMB，MD/MB=AD/BC=1/2，∴S△AMD/S△AMB=MD/MB=1/2，得S△AMB=2S=40m²，同理S△DMC=40m²。
梯形总面积=20+80+40+40=180m²，其余地带面积=180-20-80=80m²。
设玫瑰花x m²，茉莉花y m²，太阳花z m²，总费用需1600-160-640=800元，
则x+y+z=80，12x+10y+8z=800，化简得y=80-2x，z=x（0≤x≤40）。
取x=0，得y=80，z=0。
决策：栽种茉莉花80m²。