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9. 已知$x_{1},x_{2}$ 是方程$x^{2}-4x+2= 0$ 的两根,求:
(1)$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}$的值;
(2)$(x_{1}-x_{2})^{2}$的值.
(1)$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}$的值;
(2)$(x_{1}-x_{2})^{2}$的值.
答案
(1) 6；
(2) 8。
(2) 8。
解析
(1) 由于$x_1, x_2$是方程$x^2 - 4x + 2 = 0$的两根，根据根与系数的关系，有：
$x_1 + x_2 = 4, \quad x_1 \cdot x_2 = 2$，
要求$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$，可以先求其通分后的形式：
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1 \cdot x_2}$，
利用完全平方公式，有：
$x_2^2 + x_1^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2 = 4^2 - 2 × 2 = 12$，
所以：
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{12}{2} = 6$；
(2) 要求$(x_1 - x_2)^2$，可以利用平方差公式：
$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 \cdot x_2 = 4^2-4 × 2 = 8$。
$x_1 + x_2 = 4, \quad x_1 \cdot x_2 = 2$，
要求$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$，可以先求其通分后的形式：
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1 \cdot x_2}$，
利用完全平方公式，有：
$x_2^2 + x_1^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2 = 4^2 - 2 × 2 = 12$，
所以：
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{12}{2} = 6$；
(2) 要求$(x_1 - x_2)^2$，可以利用平方差公式：
$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 \cdot x_2 = 4^2-4 × 2 = 8$。
10. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+2x+m= 0$有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若该方程的两个实数根分别为α,β,且$m^{2}-3\alpha\beta +2(\alpha +\beta )= 0$,求m的值.
(1)求m的取值范围;
(2)若该方程的两个实数根分别为α,β,且$m^{2}-3\alpha\beta +2(\alpha +\beta )= 0$,求m的值.
答案
(1)∵方程$x^{2}+2x+m=0$有实数根，∴判别式$\Delta=2^{2}-4×1× m=4-4m\geq0$，解得$m\leq1$。
(2)由根与系数的关系得$\alpha+\beta=-2$，$\alpha\beta=m$。将其代入$m^{2}-3\alpha\beta +2(\alpha +\beta )=0$，得$m^{2}-3m+2×(-2)=0$，即$m^{2}-3m-4=0$。因式分解得$(m-4)(m+1)=0$，解得$m=4$或$m=-1$。又∵$m\leq1$，∴$m=4$舍去，故$m=-1$。
(1)$m\leq1$；(2)$m=-1$
(2)由根与系数的关系得$\alpha+\beta=-2$，$\alpha\beta=m$。将其代入$m^{2}-3\alpha\beta +2(\alpha +\beta )=0$，得$m^{2}-3m+2×(-2)=0$，即$m^{2}-3m-4=0$。因式分解得$(m-4)(m+1)=0$，解得$m=4$或$m=-1$。又∵$m\leq1$，∴$m=4$舍去，故$m=-1$。
(1)$m\leq1$；(2)$m=-1$
11. 已知$x_{1},x_{2}是方程x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+5= 0$的两个实数根.
(1)若$(x_{1}-1)(x_{2}-1)= 28$,求m的值;
(2)已知等腰△ABC的一边长为7,若$x_{1},x_{2}$恰好是△ABC另外两边的边长,求这个三角形的周长.
(1)若$(x_{1}-1)(x_{2}-1)= 28$,求m的值;
(2)已知等腰△ABC的一边长为7,若$x_{1},x_{2}$恰好是△ABC另外两边的边长,求这个三角形的周长.
答案
(1)
由于$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+5= 0$的两个实数根，根据根与系数的关系，我们有：
$x_{1}+x_{2}=2(m+1)$，
$x_{1}x_{2}=m^{2}+5$，
根据题目给出的条件$(x_{1}-1)(x_{2}-1)= 28$，展开得：
$x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1= 28$，
代入$x_{1}+x_{2}$和$x_{1}x_{2}$的值，得：
$m^{2}+5-2(m+1)+1= 28$，
整理得：
$m^{2}-2m-24= 0$，
因式分解得：
$(m-6)(m+4)= 0$，
解得$m_{1}= 6$，$m_{2}= -4$。
当$m= 6$时，原方程为$x^{2}-14x+41= 0$，判别式$\Delta=14^{2}-4×41= 80＞ 0$，方程有两个实数根，符合题意。
当$m= -4$时，原方程为$x^{2}+6x+21= 0$，判别式$\Delta=6^{2}-4×21= -48＜ 0$，方程没有实数根，不符合题意，舍去。
所以$m= 6$。
(2)
当$7$为底边长时，此时方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+5= 0$有两个相等的实数根，即判别式$\Delta= 0$，
所以$\Delta=4(m+1)^{2}-4(m^{2}+5)= 8m-16= 0$，
解得$m= 2$，
此时原方程为$x^{2}-6x+9= 0$，解得$x_{1}=x_{2}= 3$。
由于$3+3＜ 7$，不满足三角形的三边关系，所以这种情况不符合题意，舍去。
当$7$为腰长时，代入方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+5= 0$得：
$49-14(m+1)+m^{2}+5= 0$，
整理得：
$m^{2}-14m+40= 0$，
因式分解得：
$(m-4)(m-10)= 0$，
解得$m_{1}= 4$，$m_{2}= 10$。
当$m= 4$时，原方程为$x^{2}-10x+21= 0$，解得$x_{1}= 7$，$x_{2}= 3$，满足三角形的三边关系，此时三角形周长为$7+7+3= 17$。
当$m= 10$时，原方程为$x^{2}-22x+105= 0$，解得$x_{1}= 7$，$x_{2}= 15$，由于$7+7＜ 15$，不满足三角形的三边关系，所以这种情况不符合题意，舍去。
综上，这个三角形的周长为$17$。
由于$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+5= 0$的两个实数根，根据根与系数的关系，我们有：
$x_{1}+x_{2}=2(m+1)$，
$x_{1}x_{2}=m^{2}+5$，
根据题目给出的条件$(x_{1}-1)(x_{2}-1)= 28$，展开得：
$x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1= 28$，
代入$x_{1}+x_{2}$和$x_{1}x_{2}$的值，得：
$m^{2}+5-2(m+1)+1= 28$，
整理得：
$m^{2}-2m-24= 0$，
因式分解得：
$(m-6)(m+4)= 0$，
解得$m_{1}= 6$，$m_{2}= -4$。
当$m= 6$时，原方程为$x^{2}-14x+41= 0$，判别式$\Delta=14^{2}-4×41= 80＞ 0$，方程有两个实数根，符合题意。
当$m= -4$时，原方程为$x^{2}+6x+21= 0$，判别式$\Delta=6^{2}-4×21= -48＜ 0$，方程没有实数根，不符合题意，舍去。
所以$m= 6$。
(2)
当$7$为底边长时，此时方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+5= 0$有两个相等的实数根，即判别式$\Delta= 0$，
所以$\Delta=4(m+1)^{2}-4(m^{2}+5)= 8m-16= 0$，
解得$m= 2$，
此时原方程为$x^{2}-6x+9= 0$，解得$x_{1}=x_{2}= 3$。
由于$3+3＜ 7$，不满足三角形的三边关系，所以这种情况不符合题意，舍去。
当$7$为腰长时，代入方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+5= 0$得：
$49-14(m+1)+m^{2}+5= 0$，
整理得：
$m^{2}-14m+40= 0$，
因式分解得：
$(m-4)(m-10)= 0$，
解得$m_{1}= 4$，$m_{2}= 10$。
当$m= 4$时，原方程为$x^{2}-10x+21= 0$，解得$x_{1}= 7$，$x_{2}= 3$，满足三角形的三边关系，此时三角形周长为$7+7+3= 17$。
当$m= 10$时，原方程为$x^{2}-22x+105= 0$，解得$x_{1}= 7$，$x_{2}= 15$，由于$7+7＜ 15$，不满足三角形的三边关系，所以这种情况不符合题意，舍去。
综上，这个三角形的周长为$17$。
