【典型例题 1】分解因式：
(1) $4a^{2}+6ab+2a$；
(2) $2a^{3}b^{4}-10a^{2}b^{3}+2a^{2}b^{2}$；
(3) $-3ma^{3}+6ma^{2}-12ma$。
【解】(1) 原式 $=2a\cdot 2a+2a\cdot 3b+2a\cdot 1= 2a(2a+3b+1)$。
(2) 原式 $=2a^{2}b^{2}\cdot ab^{2}-2a^{2}b^{2}\cdot 5b+2a^{2}b^{2}\cdot 1= 2a^{2}b^{2}(ab^{2}-5b+1)$。
(3) 原式 $=-3ma\cdot a^{2}+(-3ma)\cdot (-2a)+(-3ma)\cdot 4= -3ma(a^{2}-2a+4)$。
【规律方法】确定公因式的步骤
(1) 看系数：系数为整数时,公因式的系数是各项系数的最大公因数；
(2) 看字母：取各项相同的字母；
(3) 看字母指数：取各相同字母的最低次数。

(1) 原式$=2a\cdot 2a + 2a\cdot 3b + 2a\cdot 1 = 2a(2a + 3b + 1)$；
(2) 原式$=2a^{2}b^{2}\cdot ab^{2} - 2a^{2}b^{2}\cdot 5b + 2a^{2}b^{2}\cdot 1 = 2a^{2}b^{2}(ab^{2} - 5b + 1)$；
(3) 原式$=-3ma\cdot a^{2} + (-3ma)\cdot (-2a) + (-3ma)\cdot 4 = -3ma(a^{2} - 2a + 4)$。

1. 分解因式：
(1) $-6mn-18mp$；
(2) $4m^{3}n^{2}+10mn^{4}$；
(3) $-15x^{3}y^{2}-6x^{2}y^{3}+3x^{2}y^{2}$；
(4) $30a^{3}b-25a^{2}b^{2}+5a^{2}b$。

(1)
$\begin{aligned} -6mn - 18mp \\= -6m(n + 3p) \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}4m^{3}n^{2} + 10mn^{4} \\= 2mn^{2}(2m^{2} + 5n^{2})\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned} -15x^{3}y^{2} - 6x^{2}y^{3} + 3x^{2}y^{2} \\= -3x^{2}y^{2}(5x + 2y - 1)\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}30a^{3}b - 25a^{2}b^{2} + 5a^{2}b \\= 5a^{2}b(6a - 5b + 1)\end{aligned}$

【典型例题 2】分解因式：
(1) $(2x-3y)(a+b)+(3x-2y)(a+b)$；
(2) $(m-n)^{4}+m(m-n)^{3}+n(n-m)^{3}$。
【解】(1) 原式 $=(a+b)[(2x-3y)+(3x-2y)]= (a+b)(2x-3y+3x-2y)= (a+b)(5x-5y)= 5(a+b)(x-y)$。
(2) 原式 $=(m-n)^{4}+m(m-n)^{3}-n(m-n)^{3}= (m-n)^{3}[(m-n)+m-n]= (m-n)^{3}[2(m-n)]= 2(m-n)^{4}$。

(1)
原式 $=(2x - 3y)(a + b)+(3x - 2y)(a + b)$
$=(a + b)[(2x - 3y)+(3x - 2y)]$
$=(a + b)(2x - 3y + 3x - 2y)$
$=(a + b)(5x - 5y)$
$=5(a + b)(x - y)$
(2)
原式 $=(m - n)^{4}+m(m - n)^{3}+n(n - m)^{3}$
$=(m - n)^{4}+m(m - n)^{3}-n(m - n)^{3}$
$=(m - n)^{3}[(m - n)+m - n]$
$=(m - n)^{3}(m - n + m - n)$
$=(m - n)^{3}(2m - 2n)$
$=2(m - n)^{4}$

2. 下列各组中,没有公因式的一组是()
A.$3(a+b)$与 $6(a-b)$
B.$2(a-b)$与 $a-b$
C.$(x+y)^{2}$与 $(x-y)^{2}$
D.$3(a-b)^{3}$与 $2(b-a)^{2}$

C

A选项，3(a+b)与6(a-b)的公因式是3；B选项，2(a-b)与(a-b)的公因式是(a-b)；C选项，(x+y)²与(x-y)²没有公因式；D选项，因为(b-a)²=(a-b)²，所以3(a-b)³与2(b-a)²的公因式是(a-b)²。综上，没有公因式的一组是C。

3. 分解因式：$5(x-y)^{3}+10(y-x)^{2}= $。

$5(x - y)^2(x - y + 2)$

首先，观察到 $10(y - x)^2$ 可以写成 $10(x - y)^2$，因为平方后符号不影响结果。
所以原式可以改写为：$5(x - y)^3 + 10(x - y)^2$，
然后，提取公因式 $5(x - y)^2$，得到：$5(x - y)^2[(x - y) + 2]$，
简化后得到最终结果：$5(x - y)^2(x - y + 2)$（或者写成$5（x-y)^2(x-y+2）$，加法满足交换律）。

1. 用提公因式法因式分解多项式 $8a^{2}b-12a^{3}b^{2}c$,其中的公因式是()
A.$8a^{2}b$
B.$12a^{3}b^{2}c$
C.$4ab$
D.$4a^{2}b$

D

对于多项式 $8a^{2}b - 12a^{3}b^{2}c$，
首先，我们考虑系数部分，$8$ 和 $12$ 的最大公约数是 $4$。
接着，我们考虑字母部分，$a^{2}b$ 是两项中都有的因子，且对于 $a$ 的指数，取两项中 $a$ 的最小指数，即 $2$；
对于 $b$ 的指数，同样取两项中 $b$ 的最小指数，即 $1$；
而 $c$ 只出现在第二项中，所以公因式中不包含 $c$。
综上，公因式是 $4a^{2}b$。