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1. 下面的计算正确的是(
A.$(x^{2})^{3}= x^{5}$
B.$(x^{3}y)^{3}= x^{9}y$
C.$(2xy^{2})^{3}= 6x^{3}y^{6}$
D.$(-2x)^{2}= 4x^{2}$
D
)A.$(x^{2})^{3}= x^{5}$
B.$(x^{3}y)^{3}= x^{9}y$
C.$(2xy^{2})^{3}= 6x^{3}y^{6}$
D.$(-2x)^{2}= 4x^{2}$
答案
D
解析
A. 根据幂的乘方运算法则，$(x^{2})^{3} = x^{2 × 3} = x^{6}$，与 $x^{5}$ 不相等，故A错误；
B. 根据积的乘方运算法则，$(x^{3}y)^{3} = (x^{3})^{3} \cdot y^{3} = x^{9}y^{3}$，与 $x^{9}y$ 不相等，故B错误；
C. 根据积的乘方运算法则，$(2xy^{2})^{3} = 2^{3} \cdot x^{3} \cdot (y^{2})^{3} = 8x^{3}y^{6}$，与 $6x^{3}y^{6}$ 不相等，故C错误；
D. 根据积的乘方运算法则，$(-2x)^{2} = (-2)^{2} \cdot x^{2} = 4x^{2}$，与 $4x^{2}$ 相等，故D正确。
B. 根据积的乘方运算法则，$(x^{3}y)^{3} = (x^{3})^{3} \cdot y^{3} = x^{9}y^{3}$，与 $x^{9}y$ 不相等，故B错误；
C. 根据积的乘方运算法则，$(2xy^{2})^{3} = 2^{3} \cdot x^{3} \cdot (y^{2})^{3} = 8x^{3}y^{6}$，与 $6x^{3}y^{6}$ 不相等，故C错误；
D. 根据积的乘方运算法则，$(-2x)^{2} = (-2)^{2} \cdot x^{2} = 4x^{2}$，与 $4x^{2}$ 相等，故D正确。
2. (2024·四川攀枝花中考)计算$(-a^{2})^{3}$的结果是(
A.$-a^{6}$
B.$a^{6}$
C.$-a^{5}$
D.$a^{5}$
A
)A.$-a^{6}$
B.$a^{6}$
C.$-a^{5}$
D.$a^{5}$
答案
A
解析
根据幂的乘方运算法则，$( - a^{2})^{3}=(-1)^{3} × (a^{2})^{3}$。
根据积的乘方运算法则$(ab)^n=a^nb^n$，$(-1)^{3}=-1$，$(a^{2})^{3}=a^{2×3}=a^{6}$，所以$( - a^{2})^{3}=-a^{6}$。
根据积的乘方运算法则$(ab)^n=a^nb^n$，$(-1)^{3}=-1$，$(a^{2})^{3}=a^{2×3}=a^{6}$，所以$( - a^{2})^{3}=-a^{6}$。
3. 如果正方体的棱长是$(1 - 2b)^{3}$,那么这个正方体的体积是(
A.$(1 - 2b)^{6}$
B.$(1 - 2b)^{9}$
C.$(1 - 2b)^{12}$
D.$6(1 - 2b)^{6}$
B
)A.$(1 - 2b)^{6}$
B.$(1 - 2b)^{9}$
C.$(1 - 2b)^{12}$
D.$6(1 - 2b)^{6}$
答案
B
解析
正方体的体积公式为边长的立方。已知正方体的棱长为 $(1 - 2b)^3$，所以体积为 $[(1 - 2b)^3]^3$。根据幂的乘方运算法则，$(a^m)^n = a^{m × n}$，可得：
$[(1 - 2b)^3]^3 = (1 - 2b)^{3 × 3} = (1 - 2b)^9$。
$[(1 - 2b)^3]^3 = (1 - 2b)^{3 × 3} = (1 - 2b)^9$。
4. 如果$(9^{n})^{2}= 3^{16}$,那么$n$的值为(
A.3
B.4
C.5
D.6
B
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
B
解析
根据题意，有 $(9^{n})^{2} = 3^{16}$。
将 $9$ 表示为 $3^2$，则 $(3^{2n})^{2} = 3^{16}$。
根据幂的乘方运算法则，$3^{4n} = 3^{16}$。
由于底数相同，比较指数得 $4n = 16$。
解得 $n = 4$。
5. (2024·上海中考)计算：$(4x^{2})^{3}=$
$64x^6$
.答案
$64x^6$
解析
根据积的乘方法则，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。即$(ab)^n=a^n b^n$；幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$。
对于$(4x^{2})^{3}$，先将4和$x^2$分别乘方：
$4^3 = 64$，$(x^2)^3 = x^{2×3} = x^6$，
再将结果相乘：$64×x^6 = 64x^6$。
对于$(4x^{2})^{3}$，先将4和$x^2$分别乘方：
$4^3 = 64$，$(x^2)^3 = x^{2×3} = x^6$，
再将结果相乘：$64×x^6 = 64x^6$。
6. 填入适当的数使下列等式成立：
$(x^{4})^{(
$(x^{4})^{(
2
)}= (x^{(1
)})^{8}= (x^{2})^{(4
)}$.答案
2,1,4
解析
设第一个空为$a$，第二个空为$b$，第三个空为$c$。根据幂的乘方法则$(x^m)^n = x^{mn}$，则$(x^4)^a = x^{4a}$，$(x^b)^8 = x^{8b}$，$(x^2)^c = x^{2c}$。因为等式成立，所以指数相等，即$4a = 8b = 2c$。令$4a = 8b = 2c = k$（$k$为常数），取$k = 8$，则$4a = 8$，解得$a = 2$；$8b = 8$，解得$b = 1$；$2c = 8$，解得$c = 4$。
7. 计算：(1)$(m^{5})^{6}$；(2)$-(n^{2})^{8}$；
(3)$(2a^{3})^{2}$；(4)$(-a)^{4}$；
(5)$(-2pq^{2})^{3}$；(6)$(-\frac{1}{2}a^{2}b)^{4}$.
(3)$(2a^{3})^{2}$；(4)$(-a)^{4}$；
(5)$(-2pq^{2})^{3}$；(6)$(-\frac{1}{2}a^{2}b)^{4}$.
答案
(1)
解：根据幂的乘方运算法则，$(a^m)^n = a^{mn}$，
所以$(m^{5})^{6} = m^{5 × 6} = m^{30}$。
(2)
解：根据幂的乘方运算法则，$(a^m)^n = a^{mn}$，
所以$-(n^{2})^{8} = -n^{2 × 8} = -n^{16}$。
(3)
解：根据积的乘方运算法则，$(ab)^n = a^n b^n$，
所以$(2a^{3})^{2} = 2^2 × (a^{3})^{2} = 4 × a^{6} = 4a^{6}$。
(4)
解：根据幂的乘方运算法则，$(-a)^{4} = ((-1) × a)^{4} = (-1)^{4} × a^{4} = 1 × a^{4} = a^{4}$。
(5)
解：根据积的乘方运算法则，$(-2pq^{2})^{3} = (-2)^{3} × p^{3} × (q^{2})^{3} = -8 × p^{3} × q^{6} = -8p^{3}q^{6}$。
(6)
解：根据积的乘方运算法则，$(-\frac{1}{2}a^{2}b)^{4} = ((-\frac{1}{2}) × a^{2} × b)^{4} = (-\frac{1}{2})^{4} × (a^{2})^{4} × b^{4} = \frac{1}{16} × a^{8} × b^{4} = \frac{1}{16}a^{8}b^{4}$。
解：根据幂的乘方运算法则，$(a^m)^n = a^{mn}$，
所以$(m^{5})^{6} = m^{5 × 6} = m^{30}$。
(2)
解：根据幂的乘方运算法则，$(a^m)^n = a^{mn}$，
所以$-(n^{2})^{8} = -n^{2 × 8} = -n^{16}$。
(3)
解：根据积的乘方运算法则，$(ab)^n = a^n b^n$，
所以$(2a^{3})^{2} = 2^2 × (a^{3})^{2} = 4 × a^{6} = 4a^{6}$。
(4)
解：根据幂的乘方运算法则，$(-a)^{4} = ((-1) × a)^{4} = (-1)^{4} × a^{4} = 1 × a^{4} = a^{4}$。
(5)
解：根据积的乘方运算法则，$(-2pq^{2})^{3} = (-2)^{3} × p^{3} × (q^{2})^{3} = -8 × p^{3} × q^{6} = -8p^{3}q^{6}$。
(6)
解：根据积的乘方运算法则，$(-\frac{1}{2}a^{2}b)^{4} = ((-\frac{1}{2}) × a^{2} × b)^{4} = (-\frac{1}{2})^{4} × (a^{2})^{4} × b^{4} = \frac{1}{16} × a^{8} × b^{4} = \frac{1}{16}a^{8}b^{4}$。
8. 已知$2^{a}= 5$,$4^{b}= 7$,则$2^{a + 2b}$的值是(
A.35
B.19
C.12
D.10
A
)A.35
B.19
C.12
D.10
答案
A
解析
已知 $2^{a} = 5$，$4^{b} = 7$，
根据幂的乘方运算法则，有$4^{b} = (2^2)^{b} = 2^{2b} = 7$，
需要求$2^{a + 2b}$，
根据同底数幂的乘法法则，可以将其拆分为$2^{a} × 2^{2b}$，
将已知的$2^{a} = 5$和$2^{2b} = 7$代入，得到：
$2^{a + 2b} = 2^{a} × 2^{2b} = 5 × 7 = 35$。
根据幂的乘方运算法则，有$4^{b} = (2^2)^{b} = 2^{2b} = 7$，
需要求$2^{a + 2b}$，
根据同底数幂的乘法法则，可以将其拆分为$2^{a} × 2^{2b}$，
将已知的$2^{a} = 5$和$2^{2b} = 7$代入，得到：
$2^{a + 2b} = 2^{a} × 2^{2b} = 5 × 7 = 35$。
9. 若$x^{n}= 2$,$y^{n}= 3$,则$(xy)^{2n}= $
36
.答案
36
解析
根据幂的乘方与积的乘方运算法则，$(ab)^{m}=a^{m}b^{m}$，对$(xy)^{2n}$进行变形可得$(xy)^{2n}=x^{2n}y^{2n}$。
再根据幂的乘方运算法则$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，进一步将$x^{2n}y^{2n}$变形为$(x^{n})^{2}(y^{n})^{2}$。
已知$x^{n}=2$，$y^{n}=3$，将其代入$(x^{n})^{2}(y^{n})^{2}$可得：$2^{2}×3^{2}=4×9 = 36$。
再根据幂的乘方运算法则$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，进一步将$x^{2n}y^{2n}$变形为$(x^{n})^{2}(y^{n})^{2}$。
已知$x^{n}=2$，$y^{n}=3$，将其代入$(x^{n})^{2}(y^{n})^{2}$可得：$2^{2}×3^{2}=4×9 = 36$。
10. 用简便方法计算下列各题：
(1)$-2^{100}×0.5^{100}×(-1)^{99}$；
(2)$2^{4}×4^{5}×(\frac{1}{8})^{4}$.
(1)$-2^{100}×0.5^{100}×(-1)^{99}$；
(2)$2^{4}×4^{5}×(\frac{1}{8})^{4}$.
答案
(1)
$\;\;\;\;-2^{100} × 0.5^{100} × (-1)^{99}$
$=-(2× 0.5)^{100}× (-1)$
$=-1^{100}× (-1)$
$=-1× (-1)$
$=1$
(2)
$\;\;\;\;2^{4} × 4^{5} × (\frac{1}{8})^{4}$
$=2^{4} × (2^{2})^{5} × (2^{-3})^{4}$
$=2^{4} × 2^{10} × 2^{-12}$
$=2^{4+10-12}$
$=2^{2}$
$=4$
$\;\;\;\;-2^{100} × 0.5^{100} × (-1)^{99}$
$=-(2× 0.5)^{100}× (-1)$
$=-1^{100}× (-1)$
$=-1× (-1)$
$=1$
(2)
$\;\;\;\;2^{4} × 4^{5} × (\frac{1}{8})^{4}$
$=2^{4} × (2^{2})^{5} × (2^{-3})^{4}$
$=2^{4} × 2^{10} × 2^{-12}$
$=2^{4+10-12}$
$=2^{2}$
$=4$
11. 求代数式的值：
$(-x)^{3}\cdot (x^{2})^{5}\cdot x - (-x^{4})^{2}\cdot x^{6}$,其中$x = -1$.
$(-x)^{3}\cdot (x^{2})^{5}\cdot x - (-x^{4})^{2}\cdot x^{6}$,其中$x = -1$.
答案
解题步骤：
1. 化简原式
$ \begin{aligned} (-x)^{3} \cdot (x^{2})^{5} \cdot x - (-x^{4})^{2} \cdot x^{6} &= (-x^3) \cdot x^{10} \cdot x - x^{8} \cdot x^{6} \\ &= -x^{3+10+1} - x^{8+6} \\ &= -x^{14} - x^{14} \\ &= -2x^{14} \end{aligned} $
2. 代入 $x = -1$
$ -2(-1)^{14} = -2 × 1 = -2 $
最终结论：$-2$
1. 化简原式
$ \begin{aligned} (-x)^{3} \cdot (x^{2})^{5} \cdot x - (-x^{4})^{2} \cdot x^{6} &= (-x^3) \cdot x^{10} \cdot x - x^{8} \cdot x^{6} \\ &= -x^{3+10+1} - x^{8+6} \\ &= -x^{14} - x^{14} \\ &= -2x^{14} \end{aligned} $
2. 代入 $x = -1$
$ -2(-1)^{14} = -2 × 1 = -2 $
最终结论：$-2$
12. 比较大小：
(1)比较$3^{55}$,$4^{44}$,$5^{33}$的大小；
(2)已知$a = 16^{6}$,$b = 8^{9}$,$c = 4^{13}$,试比较$a$,$b$,$c$的大小.
(1)比较$3^{55}$,$4^{44}$,$5^{33}$的大小；
(2)已知$a = 16^{6}$,$b = 8^{9}$,$c = 4^{13}$,试比较$a$,$b$,$c$的大小.
答案
(1)
首先，将$3^{55}$，$4^{44}$，$5^{33}$转化为指数相同的形式：
$3^{55}=(3^5)^{11}=243^{11}$，
$4^{44}=(4^4)^{11}=256^{11}$，
$5^{33}=(5^3)^{11}=125^{11}$。
因为$125\lt243\lt256$，所以$125^{11}\lt243^{11}\lt256^{11}$，即$5^{33}\lt3^{55}\lt4^{44}$。
(2)
将$a = 16^{6}$，$b = 8^{9}$，$c = 4^{13}$转化为底数相同的形式：
$a = 16^{6}=(2^4)^6=2^{24}$，
$b = 8^{9}=(2^3)^9=2^{27}$，
$c = 4^{13}=(2^2)^13=2^{26}$。
因为$2^{24}\lt2^{26}\lt2^{27}$，所以$a\lt c\lt b$。
首先，将$3^{55}$，$4^{44}$，$5^{33}$转化为指数相同的形式：
$3^{55}=(3^5)^{11}=243^{11}$，
$4^{44}=(4^4)^{11}=256^{11}$，
$5^{33}=(5^3)^{11}=125^{11}$。
因为$125\lt243\lt256$，所以$125^{11}\lt243^{11}\lt256^{11}$，即$5^{33}\lt3^{55}\lt4^{44}$。
(2)
将$a = 16^{6}$，$b = 8^{9}$，$c = 4^{13}$转化为底数相同的形式：
$a = 16^{6}=(2^4)^6=2^{24}$，
$b = 8^{9}=(2^3)^9=2^{27}$，
$c = 4^{13}=(2^2)^13=2^{26}$。
因为$2^{24}\lt2^{26}\lt2^{27}$，所以$a\lt c\lt b$。
