【典型例题 1】计算：
(1) $ a^{7} ÷ a^{4} $；(2) $ \left( \dfrac { 3 } { 5 } \right) ^ { 10 } ÷ \left( \dfrac { 3 } { 5 } \right) ^ { 8 } $；
(3) $ ( x y ) ^ { 4 } ÷ ( x y ) $；(4) $ - 1 ^ { 0 } + ( - 2 ) ^ { 0 } $.
【解】(1) $ a ^ { 7 } ÷ a ^ { 4 } = a ^ { 7 - 4 } = a ^ { 3 } $.
(2) $ \left( \dfrac { 3 } { 5 } \right) ^ { 10 } ÷ \left( \dfrac { 3 } { 5 } \right) ^ { 8 } = \left( \dfrac { 3 } { 5 } \right) ^ { 10 - 8 } = \left( \dfrac { 3 } { 5 } \right) ^ { 2 } = \dfrac { 9 } { 25 } $.
(3) $ ( x y ) ^ { 4 } ÷ ( x y ) = ( x y ) ^ { 4 - 1 } = ( x y ) ^ { 3 } = x ^ { 3 } y ^ { 3 } $.
(4) $ - 1 ^ { 0 } + ( - 2 ) ^ { 0 } = - 1 + 1 = 0 $.

(1) $a^{7} ÷ a^{4} = a^{7 - 4} = a^{3}$
(2) $\left( \dfrac{3}{5} \right)^{10} ÷ \left( \dfrac{3}{5} \right)^{8} = \left( \dfrac{3}{5} \right)^{10 - 8} = \left( \dfrac{3}{5} \right)^{2} = \dfrac{9}{25}$
(3) $(xy)^{4} ÷ (xy) = (xy)^{4 - 1} = (xy)^{3} = x^{3}y^{3}$
(4) $-1^{0} + (-2)^{0} = -1 + 1 = 0$

1. 下列计算正确的是()

A.$ x ^ { 10 } ÷ ( x ^ { 7 } ÷ x ^ { 2 } ) = x ^ { 5 } $
B.$ ( x y ) ^ { 8 } ÷ ( x y ) ^ { 4 } = ( x y ) ^ { 2 } $
C.$ x ^ { 4 n } ÷ x ^ { 2 n } \cdot x ^ { 2 n } = 1 $
D.$ x ^ { 2 ( m + 1 ) } ÷ x ^ { m + 1 } = x ^ { 2 } $

A

A：先计算括号内 $x^{7} ÷ x^{2}=x^{7 - 2}=x^{5}$，再计算 $x^{10}÷ x^{5}=x^{10 - 5}=x^{5}$，该选项正确。
B：根据同底数幂的除法法则，$(xy)^{8}÷(xy)^{4}=(xy)^{8 - 4}=(xy)^{4}\neq(xy)^{2}$，该选项错误。
C：按照从左到右的顺序计算，$x^{4n}÷ x^{2n}\cdot x^{2n}=x^{4n-2n}\cdot x^{2n}=x^{2n}\cdot x^{2n}=x^{2n + 2n}=x^{4n}\neq1$，该选项错误。
D：$x^{2(m + 1)}÷ x^{m+1}=x^{2m + 2}÷ x^{m + 1}=x^{2m+2-(m + 1)}=x^{m + 1}\neq x^{2}$，该选项错误。

2. 若 $ ( 3 m - 2 ) ^ { 0 } = 1 $ 有意义,则 $ m $ 的取值范围是.

$m \neq \frac{2}{3}$

根据零指数幂的意义，底数不为0时，零指数幂有意义。所以$3m - 2 \neq 0$，解得$m \neq \frac{2}{3}$。

【典型例题 2】计算：
(1) $ 3 x ^ { 2 } y ^ { 3 } ÷ \left( - \dfrac { 3 } { 5 } x ^ { 2 } y \right) $；
(2) $ 10 a ^ { 4 } b ^ { 3 } c ^ { 2 } ÷ ( 5 a ^ { 3 } b c ) $；
(3) $ \left( 3 x ^ { 2 } y - x y ^ { 2 } + \dfrac { 1 } { 2 } x y \right) ÷ \left( - \dfrac { 1 } { 2 } x y \right) $.
【解】(1) 原式 $ = \left[ 3 ÷ \left( - \dfrac { 3 } { 5 } \right) \right] \cdot x ^ { 2 - 2 } y ^ { 3 - 1 } = - 5 y ^ { 2 } $.
(2) 原式 $ = ( 10 ÷ 5 ) a ^ { 4 - 3 } b ^ { 3 - 1 } c ^ { 2 - 1 } = 2 a b ^ { 2 } c $.
(3) 原式 $ = 3 x ^ { 2 } y ÷ \left( - \dfrac { 1 } { 2 } x y \right) - x y ^ { 2 } ÷ \left( - \dfrac { 1 } { 2 } x y \right) + \dfrac { 1 } { 2 } x y ÷ \left( - \dfrac { 1 } { 2 } x y \right) = - 6 x + 2 y - 1 $.

(1) 原式$=\left[3÷\left(-\dfrac{3}{5}\right)\right]\cdot x^{2-2}y^{3-1}=-5y^{2}$；
(2) 原式$=(10÷5)a^{4-3}b^{3-1}c^{2-1}=2ab^{2}c$；
(3) 原式$=3x^{2}y÷\left(-\dfrac{1}{2}xy\right)-xy^{2}÷\left(-\dfrac{1}{2}xy\right)+\dfrac{1}{2}xy÷\left(-\dfrac{1}{2}xy\right)=-6x+2y-1$。

3. 计算 $ a ^ { 4 } b ^ { 2 } c ÷ ( 3 a ^ { 2 } b ) $ 的结果是()
A.$ 3 a ^ { 2 } b $
B.$ 3 a ^ { 2 } b c $
C.$ \dfrac { 1 } { 3 } a ^ { 2 } b $
D.$ \dfrac { 1 } { 3 } a ^ { 2 } b c $

D

根据单项式除以单项式的法则，将系数与同底数幂分别相除，再将商相乘。
系数相除：$1÷3=\dfrac{1}{3}$；
同底数幂相除：$a^{4}÷ a^{2}=a^{4 - 2}=a^{2}$，$b^{2}÷ b = b^{2 - 1}=b$，$c÷1 = c$。
将上述结果相乘可得：$\dfrac{1}{3}a^{2}bc$。

4. 先化简,再求值： $ [ x ( x + 2 y ) - ( x + y ) ( x - y ) ] ÷ \left( \dfrac { 1 } { 2 } y \right) $,其中 $ x = - \dfrac { 1 } { 2 } $,$ y = 1 $.

0

化简过程：
$\begin{aligned}&[x(x + 2y) - (x + y)(x - y)] ÷ \left( \dfrac{1}{2}y \right) \\=&[x^2 + 2xy - (x^2 - y^2)] ÷ \left( \dfrac{1}{2}y \right) \quad (展开括号) \\=&[x^2 + 2xy - x^2 + y^2] ÷ \left( \dfrac{1}{2}y \right) \quad (去括号，合并同类项) \\=&(2xy + y^2) ÷ \left( \dfrac{1}{2}y \right) \quad (化简括号内) \\=&(2xy + y^2) × \dfrac{2}{y} \quad (除法变乘法，除以一个数等于乘它的倒数) \\=&2xy × \dfrac{2}{y} + y^2 × \dfrac{2}{y} \quad (分配律展开) \\=&4x + 2y \quad (约分)\end{aligned}$
代入求值：
当 $ x = -\dfrac{1}{2} $，$ y = 1 $ 时，
$4x + 2y = 4 × \left( -\dfrac{1}{2} \right) + 2 × 1 = -2 + 2 = 0$