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1. 分式方程
分母中含
分母中含
未知数
的方程叫作分式方程.答案
未知数
解析
根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫作分式方程。
2. 分式方程的解法
(1)基本思路:将分式方程化为
(2)基本方法:将分式方程两边乘
(1)基本思路:将分式方程化为
整式方程
;(2)基本方法:将分式方程两边乘
最简公分母
,即“去分母”.答案
(1)整式方程
(2)最简公分母
(2)最简公分母
解析
（1）基本思路是将分式方程转化为整式方程，这样更容易求解。
（2）为了实现这一转化，需要将分式方程两边同时乘以所有分母的最简公分母，从而去除分母，将其转化为整式方程。
（答案中“最简公分母”也可称为“各分母公倍式”等，以不超纲为准）
（2）为了实现这一转化，需要将分式方程两边同时乘以所有分母的最简公分母，从而去除分母，将其转化为整式方程。
（答案中“最简公分母”也可称为“各分母公倍式”等，以不超纲为准）
3. 分式方程的“检验”
将整式方程的解代入
将整式方程的解代入
最简公分母
,如果最简公分母的值不为0
,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解.答案
最简公分母，不为0
解析
分式方程的检验步骤是将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则该解是原分式方程的解，若为0，则不是原分式方程的解。
探究点1 分式方程的识别
【例1】 有下列方程:①$\frac{1}{x + 1} = \frac{3}{y - 1}$;②$1 + \frac{1}{x^2} = 2$;③$\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 3$;④$\frac{x^2}{x} = 2$;⑤$\frac{1}{x} ＜ 2$.其中是分式方程的是
【例1】 有下列方程:①$\frac{1}{x + 1} = \frac{3}{y - 1}$;②$1 + \frac{1}{x^2} = 2$;③$\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 3$;④$\frac{x^2}{x} = 2$;⑤$\frac{1}{x} ＜ 2$.其中是分式方程的是
①②④
(填序号).答案
①②④
解析
分式方程的定义是：分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。
方程①$\frac{1}{x + 1} = \frac{3}{y - 1}$的分母含有未知数$x$和$y$，所以是分式方程。
方程②$1 + \frac{1}{x^2} = 2$的分母含有未知数$x$，所以是分式方程。
方程③$\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 3$的分母不含有未知数，只是常数，所以不是分式方程。
方程④$\frac{x^2}{x} = 2$的分母含有未知数$x$，所以是分式方程。
方程⑤$\frac{1}{x} ＜ 2$是一个不等式，不是方程，所以不是分式方程。
综上，是分式方程的有①②④。
方程①$\frac{1}{x + 1} = \frac{3}{y - 1}$的分母含有未知数$x$和$y$，所以是分式方程。
方程②$1 + \frac{1}{x^2} = 2$的分母含有未知数$x$，所以是分式方程。
方程③$\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 3$的分母不含有未知数，只是常数，所以不是分式方程。
方程④$\frac{x^2}{x} = 2$的分母含有未知数$x$，所以是分式方程。
方程⑤$\frac{1}{x} ＜ 2$是一个不等式，不是方程，所以不是分式方程。
综上，是分式方程的有①②④。
分式方程的分母中含有未知数.
答案
正确
解析
分式方程是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。题目表述准确。
1. 下列关于$x$的方程,是分式方程的是(
A. $\frac{x}{2} - 3 = \frac{x}{5}$
B. $\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y = 5$
C. $\frac{x}{\pi} = \frac{x}{3} + \frac{x}{2}$
D. $\frac{1}{2 + x} = 1 - \frac{2}{x}$
D
)A. $\frac{x}{2} - 3 = \frac{x}{5}$
B. $\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y = 5$
C. $\frac{x}{\pi} = \frac{x}{3} + \frac{x}{2}$
D. $\frac{1}{2 + x} = 1 - \frac{2}{x}$
答案
D
解析
分式方程是分母中含有未知数的方程。选项A、C的分母为常数，选项B含有两个未知数且分母为常数，选项D分母中含有未知数x，符合分式方程定义。
探究点2 解分式方程
【例2】 解下列方程:
(1)$\frac{3}{x - 3} = \frac{2}{x}$;
(2)$\frac{x - 3}{x - 2} - 2 = \frac{1}{2 - x}$.
【例2】 解下列方程:
(1)$\frac{3}{x - 3} = \frac{2}{x}$;
(2)$\frac{x - 3}{x - 2} - 2 = \frac{1}{2 - x}$.
答案
(1)$x = -6$；(2)无解
解析
(1)方程两边同乘$x(x - 3)$，得$3x = 2(x - 3)$，
去括号，得$3x = 2x - 6$，
移项，得$3x - 2x = -6$，
合并同类项，得$x = -6$，
检验：当$x = -6$时，$x(x - 3) = -6×(-9) = 54 ≠ 0$，
所以$x = -6$是原方程的解；
(2)方程两边同乘$x - 2$，得$x - 3 - 2(x - 2) = -1$，
去括号，得$x - 3 - 2x + 4 = -1$，
移项，得$x - 2x = -1 + 3 - 4$，
合并同类项，得$-x = -2$，
系数化为1，得$x = 2$，
检验：当$x = 2$时，$x - 2 = 0$，
所以$x = 2$是增根，原方程无解。
去括号，得$3x = 2x - 6$，
移项，得$3x - 2x = -6$，
合并同类项，得$x = -6$，
检验：当$x = -6$时，$x(x - 3) = -6×(-9) = 54 ≠ 0$，
所以$x = -6$是原方程的解；
(2)方程两边同乘$x - 2$，得$x - 3 - 2(x - 2) = -1$，
去括号，得$x - 3 - 2x + 4 = -1$，
移项，得$x - 2x = -1 + 3 - 4$，
合并同类项，得$-x = -2$，
系数化为1，得$x = 2$，
检验：当$x = 2$时，$x - 2 = 0$，
所以$x = 2$是增根，原方程无解。
(1)解分式方程的关键是去分母,在去分母时,分式方程两边的每一项都要乘最简公分母,注意不要漏乘不含分母的项;
(2)解分式方程可能会产生不适合原方程的解,所以检验是解分式方程的必要步骤;
(3)如果分式的分子是多项式,那么去分母时,一定要先将分子加上括号.
(2)解分式方程可能会产生不适合原方程的解,所以检验是解分式方程的必要步骤;
(3)如果分式的分子是多项式,那么去分母时,一定要先将分子加上括号.
答案
无（题目非具体计算题，无对应选项答案）
解析
题目为关于分式方程解法的注意事项陈述，无需求解具体方程，主要强调去分母时每一项乘最简公分母、检验的必要性及分子为多项式时加括号。
2. 解分式方程$\frac{2}{x - 3} - \frac{x}{3 - x} = 2$时,去分母变形为(
A. $2 + x = 2(3 - x)$
B. $2 - x = 2(x - 3)$
C. $2 + x = 2x - 3$
D. $2 + x = 2(x - 3)$
D
)A. $2 + x = 2(3 - x)$
B. $2 - x = 2(x - 3)$
C. $2 + x = 2x - 3$
D. $2 + x = 2(x - 3)$
答案
D
解析
原方程为 $\frac{2}{x - 3} - \frac{x}{3 - x} = 2$，
首先注意到 $3 - x = -(x - 3)$，所以方程可变形为：
$\frac{2}{x - 3} + \frac{x}{x - 3} = 2$，
接着，将方程两边同时乘以 $x - 3$（$x\neq3$）以去分母，得到：
$2 + x = 2(x - 3)$
首先注意到 $3 - x = -(x - 3)$，所以方程可变形为：
$\frac{2}{x - 3} + \frac{x}{x - 3} = 2$，
接着，将方程两边同时乘以 $x - 3$（$x\neq3$）以去分母，得到：
$2 + x = 2(x - 3)$
3. 解分式方程$\frac{x - 1}{x - 2} = 1 - \frac{1}{x}$的过程如下:
解:方程两边都乘$x(x - 2)$,得
$x(x - 1) = x(x - 2) - 1$. ①
去括号,得$x^2 - x = x^2 - 2x - 1$. ②
解这个方程,得$x = 1$. ③
检验:当$x = 1$时,
$x(x - 2) \neq 0$,
所以$x = 1$是原方程的根. ④
以上解答过程中,开始出错的一步是(
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
解:方程两边都乘$x(x - 2)$,得
$x(x - 1) = x(x - 2) - 1$. ①
去括号,得$x^2 - x = x^2 - 2x - 1$. ②
解这个方程,得$x = 1$. ③
检验:当$x = 1$时,
$x(x - 2) \neq 0$,
所以$x = 1$是原方程的根. ④
以上解答过程中,开始出错的一步是(
A
)A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
答案
A
解析
解: 方程两边都乘$x(x-2)$，得
$(x-1) \cdot x = x(x-2) - (x-2) \cdot 1$（原①步漏乘分母$x-2$对应的项），
正确乘积应为：
$x(x-1) = x(x-2) - (x-2)$，即①步错误。
后续步骤基于错误方程，但题目要求找出开始出错的一步。
