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9. 解方程$\frac{1}{x - 1} + 3 = \frac{3x}{1 - x}$。去分母,两边同乘$(x - 1)$后的式子为(
A.$1 + 3 = 3x(1 - x)$
B.$1 + 3(x - 1) = - 3x$
C.$x - 1 + 3 = - 3x$
D.$1 + 3(x - 1) = 3x$
B
)A.$1 + 3 = 3x(1 - x)$
B.$1 + 3(x - 1) = - 3x$
C.$x - 1 + 3 = - 3x$
D.$1 + 3(x - 1) = 3x$
答案
B
解析
原方程为 $\frac{1}{x - 1} + 3 = \frac{3x}{1 - x}$。
注意到 $1 - x = -(x - 1)$，因此方程可改写为 $\frac{1}{x - 1} + 3 = -\frac{3x}{x - 1}$。
两边同乘 $(x - 1)$，得到：
$1 + 3(x - 1) = -3x$
化简后与选项 B 一致。
注意到 $1 - x = -(x - 1)$，因此方程可改写为 $\frac{1}{x - 1} + 3 = -\frac{3x}{x - 1}$。
两边同乘 $(x - 1)$，得到：
$1 + 3(x - 1) = -3x$
化简后与选项 B 一致。
10. (分类讨论)若关于$x的方程\frac{2}{x - 2} + \frac{mx}{x^{2} - 4} = \frac{3}{x + 2}$无解,则$m$的值为
$-4$，$1$，$6$
。答案
$-4$，$1$，$6$
解析
方程两边乘$(x - 2)(x + 2)$得：$2(x + 2) + mx = 3(x - 2)$，化简得$(m - 1)x = -10$。
分两种情况讨论：
1. 整式方程无解：当$m - 1 = 0$，即$m = 1$时，方程$0x = -10$无解，原分式方程无解。
2. 整式方程的解为增根：原方程增根为$x = 2$或$x = -2$。
把$x = 2$代入$(m - 1)x = -10$，得$2(m - 1) = -10$，解得$m = -4$。
把$x = -2$代入$(m - 1)x = -10$，得$-2(m - 1) = -10$，解得$m = 6$。
综上，$m$的值为$-4$，$1$，$6$。
分两种情况讨论：
1. 整式方程无解：当$m - 1 = 0$，即$m = 1$时，方程$0x = -10$无解，原分式方程无解。
2. 整式方程的解为增根：原方程增根为$x = 2$或$x = -2$。
把$x = 2$代入$(m - 1)x = -10$，得$2(m - 1) = -10$，解得$m = -4$。
把$x = -2$代入$(m - 1)x = -10$，得$-2(m - 1) = -10$，解得$m = 6$。
综上，$m$的值为$-4$，$1$，$6$。
11. (2023·陕西)解方程：$\frac{2x}{x + 5} - 1 = \frac{x + 5}{x}$。
答案
$x = -\frac{5}{3}$
解析
去分母，方程两边同乘$x(x + 5)$得：$2x \cdot x - x(x + 5) = (x + 5)^2$
化简得：$2x^2 - x^2 - 5x = x^2 + 10x + 25$
整理得：$x^2 - 5x = x^2 + 10x + 25$
移项合并同类项得：$-15x = 25$
解得：$x = -\frac{5}{3}$
检验：当$x = -\frac{5}{3}$时，$x(x + 5) = -\frac{5}{3} × (-\frac{5}{3} + 5) = -\frac{5}{3} × \frac{10}{3} \neq 0$，故$x = -\frac{5}{3}$是原方程的解。
化简得：$2x^2 - x^2 - 5x = x^2 + 10x + 25$
整理得：$x^2 - 5x = x^2 + 10x + 25$
移项合并同类项得：$-15x = 25$
解得：$x = -\frac{5}{3}$
检验：当$x = -\frac{5}{3}$时，$x(x + 5) = -\frac{5}{3} × (-\frac{5}{3} + 5) = -\frac{5}{3} × \frac{10}{3} \neq 0$，故$x = -\frac{5}{3}$是原方程的解。
12. (2025·绵阳)为缅怀革命先烈,传承红色精神,某校八年级师生在清明节期间前往距离学校10km的烈士陵园扫墓。一部分师生骑自行车先走,过了20min后,其余师生乘汽车出发,结果他们同时达到。已知汽车的速度是骑车速度的3倍,设骑车的速度为$x$km/h,根据题意,下列方程正确的是(
A.$\frac{10}{x} + \frac{1}{3} = \frac{10}{3x}$
B.$\frac{10}{x} = \frac{10}{3x} + \frac{1}{3}$
C.$\frac{10}{x} + 20 = \frac{10}{3x}$
D.$\frac{10}{x} = \frac{10}{3x} + 20$
B
)A.$\frac{10}{x} + \frac{1}{3} = \frac{10}{3x}$
B.$\frac{10}{x} = \frac{10}{3x} + \frac{1}{3}$
C.$\frac{10}{x} + 20 = \frac{10}{3x}$
D.$\frac{10}{x} = \frac{10}{3x} + 20$
答案
B
解析
设骑车的速度为 $x$ km/h，则汽车的速度为 $3x$ km/h。
骑车所需时间为 $\frac{10}{x}$ 小时，汽车所需时间为 $\frac{10}{3x}$ 小时。
由于汽车比骑车晚出发 20 分钟，即 $\frac{1}{3}$ 小时，因此骑车的时间应等于汽车的时间加 $\frac{1}{3}$ 小时。
即：$\frac{10}{x} = \frac{10}{3x} + \frac{1}{3}$。
骑车所需时间为 $\frac{10}{x}$ 小时，汽车所需时间为 $\frac{10}{3x}$ 小时。
由于汽车比骑车晚出发 20 分钟，即 $\frac{1}{3}$ 小时，因此骑车的时间应等于汽车的时间加 $\frac{1}{3}$ 小时。
即：$\frac{10}{x} = \frac{10}{3x} + \frac{1}{3}$。
13. (2024·雅安)某市为治理污水,保护环境,需铺设一段全长为3000米的污水排放管道,为了减少施工对城市交通所造成的影响,实际施工时每天的工效比原计划增加25%,结果提前15天完成铺设任务。
(1)原计划与实际每天铺设管道分别是多少米？
(2)负责该工程的施工单位,按原计划对工人的工资进行了初步的预算,工人每天人均工资为300元,所有工人的工资总金额不超过18万元。该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
(1)原计划与实际每天铺设管道分别是多少米？
(2)负责该工程的施工单位,按原计划对工人的工资进行了初步的预算,工人每天人均工资为300元,所有工人的工资总金额不超过18万元。该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
答案
(1)设原计划每天铺设管道$x$米，则实际每天铺设管道$1.25x$米。根据题意，得$\frac{3000}{x}-\frac{3000}{1.25x}=15$。
解方程：$\frac{3000}{x}-\frac{2400}{x}=15$，$\frac{600}{x}=15$，解得$x=40$。
经检验，$x=40$是原方程的解，且符合题意。实际每天铺设：$1.25×40=50$（米）。
(2)原计划完成任务时间为$\frac{3000}{40}=75$（天）。设安排$y$名工人，根据题意，得$300×75y≤180000$。
解得$y≤8$。
(1)原计划每天铺设40米，实际每天铺设50米；(2)最多安排8名工人。
解方程：$\frac{3000}{x}-\frac{2400}{x}=15$，$\frac{600}{x}=15$，解得$x=40$。
经检验，$x=40$是原方程的解，且符合题意。实际每天铺设：$1.25×40=50$（米）。
(2)原计划完成任务时间为$\frac{3000}{40}=75$（天）。设安排$y$名工人，根据题意，得$300×75y≤180000$。
解得$y≤8$。
(1)原计划每天铺设40米，实际每天铺设50米；(2)最多安排8名工人。
14. (2025·纳溪)中秋节将至,某商店用8000元购进一批月饼礼盒,很快售完,于是商店又用20000元购进了第二批月饼礼盒,所购数量是第一批购进量的两倍,但每个礼盒的进价贵了20元。
(1)第二批月饼礼盒每个的进价为多少元？
(2)商店将第二批月饼礼盒的进价提高50%后售出,预计在中秋节前2天,第二批月饼礼盒有$m$盒没有售出,商店计划把没有售出的月饼礼盒打八折促销。经核算,剩余的月饼礼盒全部售完后,第二批月饼礼盒的总利润率仍不低于40%(不考虑其他因素)。请求出$m$的最大值。
(1)第二批月饼礼盒每个的进价为多少元？
(2)商店将第二批月饼礼盒的进价提高50%后售出,预计在中秋节前2天,第二批月饼礼盒有$m$盒没有售出,商店计划把没有售出的月饼礼盒打八折促销。经核算,剩余的月饼礼盒全部售完后,第二批月饼礼盒的总利润率仍不低于40%(不考虑其他因素)。请求出$m$的最大值。
答案
(1)设第一批月饼礼盒每个进价为$x$元，则第二批每个进价为$(x + 20)$元。
第一批购进数量为$\frac{8000}{x}$个，第二批购进数量为$\frac{20000}{x + 20}$个。
由题意得：$2×\frac{8000}{x}=\frac{20000}{x + 20}$
解得$x = 80$，经检验$x = 80$是原方程的解。
第二批进价为$80 + 20 = 100$元。
(2)第二批月饼数量为$\frac{20000}{100}=200$个，售价为$100×(1 + 50\%) = 150$元/个，打折后售价为$150×0.8 = 120$元/个。
总收入为$150(200 - m) + 120m = 30000 - 30m$。
总成本为$20000$元，利润率不低于$40\%$，则总收入$\geq20000×(1 + 40\%) = 28000$。
即$30000 - 30m\geq28000$，解得$m\leq\frac{2000}{30}\approx66.67$，$m$最大为$66$。
(1)100
(2)66
第一批购进数量为$\frac{8000}{x}$个，第二批购进数量为$\frac{20000}{x + 20}$个。
由题意得：$2×\frac{8000}{x}=\frac{20000}{x + 20}$
解得$x = 80$，经检验$x = 80$是原方程的解。
第二批进价为$80 + 20 = 100$元。
(2)第二批月饼数量为$\frac{20000}{100}=200$个，售价为$100×(1 + 50\%) = 150$元/个，打折后售价为$150×0.8 = 120$元/个。
总收入为$150(200 - m) + 120m = 30000 - 30m$。
总成本为$20000$元，利润率不低于$40\%$，则总收入$\geq20000×(1 + 40\%) = 28000$。
即$30000 - 30m\geq28000$，解得$m\leq\frac{2000}{30}\approx66.67$，$m$最大为$66$。
(1)100
(2)66
