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例6 已知 $ A,B $ 均为整式,$ A = (xy + 1)(xy - 2) - 2x^{2}y^{2} + 2 $。小马在计算 $ A ÷ B $ 时,误把“$ ÷ $”抄成了“$ - $”,这样他计算的正确结果为 $ -x^{2}y^{2} $。
(1)将整式 $ A $ 化为最简形式；
(2)求整式 $ B $；
(3)求 $ A ÷ B $ 的正确结果。
【示范解答】
(1) $ A = (xy + 1)(xy - 2) - 2x^{2}y^{2} + 2 $
$ = x^{2}y^{2} - 2xy + xy - 2 - 2x^{2}y^{2} + 2 $
$ = -x^{2}y^{2} - xy $。
(2)由题意,得 $ A - B = -x^{2}y^{2} $,
由(1)知 $ A = -x^{2}y^{2} - xy $,
$ \therefore -x^{2}y^{2} - xy - B = -x^{2}y^{2} $,$ \therefore B = -xy $。
(3)由(1)知 $ A = -x^{2}y^{2} - xy $,由(2)知 $ B = -xy $,
$ \therefore A ÷ B = (-x^{2}y^{2} - xy) ÷ (-xy) = xy + 1 $。
故 $ A ÷ B $ 的正确结果为 $ xy + 1 $。
(1)将整式 $ A $ 化为最简形式；
(2)求整式 $ B $；
(3)求 $ A ÷ B $ 的正确结果。
【示范解答】
(1) $ A = (xy + 1)(xy - 2) - 2x^{2}y^{2} + 2 $
$ = x^{2}y^{2} - 2xy + xy - 2 - 2x^{2}y^{2} + 2 $
$ = -x^{2}y^{2} - xy $。
(2)由题意,得 $ A - B = -x^{2}y^{2} $,
由(1)知 $ A = -x^{2}y^{2} - xy $,
$ \therefore -x^{2}y^{2} - xy - B = -x^{2}y^{2} $,$ \therefore B = -xy $。
(3)由(1)知 $ A = -x^{2}y^{2} - xy $,由(2)知 $ B = -xy $,
$ \therefore A ÷ B = (-x^{2}y^{2} - xy) ÷ (-xy) = xy + 1 $。
故 $ A ÷ B $ 的正确结果为 $ xy + 1 $。
答案
(1) $A = (xy + 1)(xy - 2) - 2x^{2}y^{2} + 2$
$= x^{2}y^{2} - 2xy + xy - 2 - 2x^{2}y^{2} + 2$
$= -x^{2}y^{2} - xy$
(2) 由题意，$A - B = -x^{2}y^{2}$，
由(1)知，$A = -x^{2}y^{2} - xy$，
代入上式得：$-x^{2}y^{2} - xy - B = -x^{2}y^{2}$，
解得：$B = -xy$，
(3) 由(1)知，$A = -x^{2}y^{2} - xy$，
由(2)知，$B = -xy$，
所以$A ÷ B = \frac{-x^{2}y^{2} - xy}{-xy} = xy + 1$，
故$A ÷ B$的正确结果为$xy + 1$。
$= x^{2}y^{2} - 2xy + xy - 2 - 2x^{2}y^{2} + 2$
$= -x^{2}y^{2} - xy$
(2) 由题意，$A - B = -x^{2}y^{2}$，
由(1)知，$A = -x^{2}y^{2} - xy$，
代入上式得：$-x^{2}y^{2} - xy - B = -x^{2}y^{2}$，
解得：$B = -xy$，
(3) 由(1)知，$A = -x^{2}y^{2} - xy$，
由(2)知，$B = -xy$，
所以$A ÷ B = \frac{-x^{2}y^{2} - xy}{-xy} = xy + 1$，
故$A ÷ B$的正确结果为$xy + 1$。
小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时,一不小心,让一滴墨水污染了这道习题,只看见被除式的第一项 $ -8x^{3}y^{3} $ 和中间的“$ ÷ $”号,污染后习题形式如下：($ -8x^{3}y^{3} $ )$ ÷ $ 。小明翻看了书后的答案是“$ 4x^{2}y^{2} - 3xy + 6x $”,你能够复原这个算式吗？请你试一试。
答案
设除式为单项式$ M $，商为$ 4x^{2}y^{2} - 3xy + 6x $，被除式为多项式$ A $，且$ A÷ M = 4x^{2}y^{2} - 3xy + 6x $，则$ A = M(4x^{2}y^{2} - 3xy + 6x) $。
由被除式第一项为$ -8x^{3}y^{3} $，商的第一项为$ 4x^{2}y^{2} $，可得$ M \cdot 4x^{2}y^{2} = -8x^{3}y^{3} $。
设$ M = kx^{a}y^{b} $，则$ kx^{a}y^{b} \cdot 4x^{2}y^{2} = 4k x^{a+2}y^{b+2} = -8x^{3}y^{3} $。
系数：$ 4k = -8 \Rightarrow k = -2 $；
$ x $指数：$ a + 2 = 3 \Rightarrow a = 1 $；
$ y $指数：$ b + 2 = 3 \Rightarrow b = 1 $。
故$ M = -2xy $。
被除式第二项：$ M(-3xy) = (-2xy)(-3xy) = 6x^{2}y^{2} $；
被除式第三项：$ M(6x) = (-2xy)(6x) = -12x^{2}y $。
所以被除式为$ -8x^{3}y^{3} + 6x^{2}y^{2} - 12x^{2}y $，除式为$ -2xy $。
算式为：$(-8x^{3}y^{3} + 6x^{2}y^{2} - 12x^{2}y) ÷ (-2xy)$。
由被除式第一项为$ -8x^{3}y^{3} $，商的第一项为$ 4x^{2}y^{2} $，可得$ M \cdot 4x^{2}y^{2} = -8x^{3}y^{3} $。
设$ M = kx^{a}y^{b} $，则$ kx^{a}y^{b} \cdot 4x^{2}y^{2} = 4k x^{a+2}y^{b+2} = -8x^{3}y^{3} $。
系数：$ 4k = -8 \Rightarrow k = -2 $；
$ x $指数：$ a + 2 = 3 \Rightarrow a = 1 $；
$ y $指数：$ b + 2 = 3 \Rightarrow b = 1 $。
故$ M = -2xy $。
被除式第二项：$ M(-3xy) = (-2xy)(-3xy) = 6x^{2}y^{2} $；
被除式第三项：$ M(6x) = (-2xy)(6x) = -12x^{2}y $。
所以被除式为$ -8x^{3}y^{3} + 6x^{2}y^{2} - 12x^{2}y $，除式为$ -2xy $。
算式为：$(-8x^{3}y^{3} + 6x^{2}y^{2} - 12x^{2}y) ÷ (-2xy)$。
1. 计算：$ 10^{8} ÷ 10^{3} ÷ 10^{5} = $
$ a^{n + 1} ÷ a^{n - 4} = $
$ (\sqrt{3} - 1)^{0} = $
1
；$ a^{n + 1} ÷ a^{n - 4} = $
$a^{5}$
；$ (\sqrt{3} - 1)^{0} = $
1
。答案
1 ；$a^{5}$；1。
解析
1. 对于 $10^{8} ÷ 10^{3} ÷ 10^{5}$：
根据同底数幂的除法法则，有 $a^{m} ÷ a^{n} = a^{m-n}$。
所以，$10^{8} ÷ 10^{3} = 10^{8-3} = 10^{5}$，
再 $10^{5} ÷ 10^{5} = 10^{5-5} = 10^{0} = 1$。
2. 对于 $a^{n + 1} ÷ a^{n - 4}$：
同样应用同底数幂的除法法则，
得到 $a^{n + 1} ÷ a^{n - 4} = a^{(n + 1) - (n - 4)} = a^{5}$。
3. 对于 $(\sqrt{3} - 1)^{0}$：
根据零指数幂的定义，任何非零数的0次幂都是1，
所以 $(\sqrt{3} - 1)^{0} = 1$。
根据同底数幂的除法法则，有 $a^{m} ÷ a^{n} = a^{m-n}$。
所以，$10^{8} ÷ 10^{3} = 10^{8-3} = 10^{5}$，
再 $10^{5} ÷ 10^{5} = 10^{5-5} = 10^{0} = 1$。
2. 对于 $a^{n + 1} ÷ a^{n - 4}$：
同样应用同底数幂的除法法则，
得到 $a^{n + 1} ÷ a^{n - 4} = a^{(n + 1) - (n - 4)} = a^{5}$。
3. 对于 $(\sqrt{3} - 1)^{0}$：
根据零指数幂的定义，任何非零数的0次幂都是1，
所以 $(\sqrt{3} - 1)^{0} = 1$。
2. 若 $ (x + 1)^{0} = 1 $,则 $ x $ 的取值范围是
$x\neq -1$
。答案
$x\neq -1$
解析
根据零指数幂的定义，任何非零数的零次幂都等于1，所以底数$x + 1\neq 0$，解得$x\neq -1$。
3. 计算：
(1) $ 8x^{2}y^{5} ÷ 2xy^{5} = $
(2) $ a^{5}b ÷ a^{3} = $
(1) $ 8x^{2}y^{5} ÷ 2xy^{5} = $
4x
；(2) $ a^{5}b ÷ a^{3} = $
$a^{2}b$
。答案
(1)
$原式 = \frac{8x^{2}y^{5}}{2xy^{5}}$
$ = \frac{8}{2} × \frac{x^{2}}{x} × \frac{y^{5}}{y^{5}}$
$ = 4 × x × 1$
$ = 4x$
(2)
$原式= \frac{a^{5}b}{a^{3}} $
$ = a^{5-3} × b$
$ = a^{2}b$
$原式 = \frac{8x^{2}y^{5}}{2xy^{5}}$
$ = \frac{8}{2} × \frac{x^{2}}{x} × \frac{y^{5}}{y^{5}}$
$ = 4 × x × 1$
$ = 4x$
(2)
$原式= \frac{a^{5}b}{a^{3}} $
$ = a^{5-3} × b$
$ = a^{2}b$
4. 计算：
(1) $ (2a)^{3} \cdot (b^{3})^{2} ÷ 4a^{3}b^{4} = $
(2) $ \left( -\frac{2}{3}a^{2}b^{3}c \right)^{2} ÷ \left( -\frac{1}{2}a^{3}b^{3} \right) = $
(1) $ (2a)^{3} \cdot (b^{3})^{2} ÷ 4a^{3}b^{4} = $
$2b^{2}$
；(2) $ \left( -\frac{2}{3}a^{2}b^{3}c \right)^{2} ÷ \left( -\frac{1}{2}a^{3}b^{3} \right) = $
$-\frac{8}{9}ab^{3}c^{2}$
。答案
(1)$2b^{2}$；
(2)$-\frac{8}{9}ab^{3}c^{2}$。
(2)$-\frac{8}{9}ab^{3}c^{2}$。
解析
(1)
首先，根据积的乘方运算法则计算$(2a)^{3}$和$(b^{3})^{2}$：
$(2a)^{3}=2^{3}× a^{3}=8a^{3}$，$(b^{3})^{2}=b^{3×2}=b^{6}$。
则原式变为$8a^{3}\cdot b^{6}÷(4a^{3}b^{4})$。
根据同底数幂的乘除法法则：
$8a^{3}\cdot b^{6}÷(4a^{3}b^{4})=(8÷4)×(a^{3}÷ a^{3})×(b^{6}÷ b^{4}) = 2b^{2}$。
(2)
先根据积的乘方运算法则计算$\left(-\frac{2}{3}a^{2}b^{3}c\right)^{2}$：
$\left(-\frac{2}{3}a^{2}b^{3}c\right)^{2}=\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}×(a^{2})^{2}×(b^{3})^{2}× c^{2}=\frac{4}{9}a^{4}b^{6}c^{2}$。
则原式变为$\frac{4}{9}a^{4}b^{6}c^{2}÷\left(-\frac{1}{2}a^{3}b^{3}\right)$。
根据单项式除以单项式的运算法则：
$\frac{4}{9}a^{4}b^{6}c^{2}÷\left(-\frac{1}{2}a^{3}b^{3}\right)=\left[\frac{4}{9}÷\left(-\frac{1}{2}\right)\right]×(a^{4}÷ a^{3})×(b^{6}÷ b^{3})× c^{2}=-\frac{8}{9}ab^{3}c^{2}$。
首先，根据积的乘方运算法则计算$(2a)^{3}$和$(b^{3})^{2}$：
$(2a)^{3}=2^{3}× a^{3}=8a^{3}$，$(b^{3})^{2}=b^{3×2}=b^{6}$。
则原式变为$8a^{3}\cdot b^{6}÷(4a^{3}b^{4})$。
根据同底数幂的乘除法法则：
$8a^{3}\cdot b^{6}÷(4a^{3}b^{4})=(8÷4)×(a^{3}÷ a^{3})×(b^{6}÷ b^{4}) = 2b^{2}$。
(2)
先根据积的乘方运算法则计算$\left(-\frac{2}{3}a^{2}b^{3}c\right)^{2}$：
$\left(-\frac{2}{3}a^{2}b^{3}c\right)^{2}=\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}×(a^{2})^{2}×(b^{3})^{2}× c^{2}=\frac{4}{9}a^{4}b^{6}c^{2}$。
则原式变为$\frac{4}{9}a^{4}b^{6}c^{2}÷\left(-\frac{1}{2}a^{3}b^{3}\right)$。
根据单项式除以单项式的运算法则：
$\frac{4}{9}a^{4}b^{6}c^{2}÷\left(-\frac{1}{2}a^{3}b^{3}\right)=\left[\frac{4}{9}÷\left(-\frac{1}{2}\right)\right]×(a^{4}÷ a^{3})×(b^{6}÷ b^{3})× c^{2}=-\frac{8}{9}ab^{3}c^{2}$。
5. 计算：
(1) $ (mx + my + mz) ÷ m = $
(2) $ (16x^{3} - 24x^{2}) ÷ (-4x^{2}) = $
(1) $ (mx + my + mz) ÷ m = $
$x + y + z$
；(2) $ (16x^{3} - 24x^{2}) ÷ (-4x^{2}) = $
$-4x + 6$
。答案
(1)
$\begin{aligned}(mx + my + mz) ÷ m \\= \frac{mx}{m} + \frac{my}{m} + \frac{mz}{m} \\= x + y + z\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(16x^{3} - 24x^{2}) ÷ (-4x^{2}) \\= \frac{16x^{3}}{-4x^{2}} + \frac{-24x^{2}}{-4x^{2}} \\= -4x + 6\end{aligned}$
$\begin{aligned}(mx + my + mz) ÷ m \\= \frac{mx}{m} + \frac{my}{m} + \frac{mz}{m} \\= x + y + z\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(16x^{3} - 24x^{2}) ÷ (-4x^{2}) \\= \frac{16x^{3}}{-4x^{2}} + \frac{-24x^{2}}{-4x^{2}} \\= -4x + 6\end{aligned}$
6. 若 $ 8x^{6}y^{4}z ÷ M = 4x^{2}y^{2} $,则 $ M $ 所表示的单项式为(
A.$ 32x^{8}y^{4}z $
B.$ 2x^{3}y^{2} $
C.$ 2x^{4}y^{2}z $
D.$ 2x^{3}y^{2}z $
C
)A.$ 32x^{8}y^{4}z $
B.$ 2x^{3}y^{2} $
C.$ 2x^{4}y^{2}z $
D.$ 2x^{3}y^{2}z $
答案
C
解析
因为 $8x^{6}y^{4}z ÷ M = 4x^{2}y^{2}$，所以 $M = 8x^{6}y^{4}z ÷ 4x^{2}y^{2}$。系数：$8÷4 = 2$；$x$的指数：$6 - 2 = 4$；$y$的指数：$4 - 2 = 2$；$z$的指数：$1 - 0 = 1$（因为$4x^{2}y^{2}$中不含$z$，可看作$z^0$）。所以$M = 2x^{4}y^{2}z$。
7. 已知 $ x^{a} = 3 $,$ x^{b} = 5 $,则 $ x^{4a - 3b} $ 等于(
A.$ -44 $
B.$ \frac{12}{15} $
C.$ \frac{27}{625} $
D.$ \frac{81}{125} $
D
)A.$ -44 $
B.$ \frac{12}{15} $
C.$ \frac{27}{625} $
D.$ \frac{81}{125} $
答案
D
解析
因为$x^{a}=3$，所以$x^{4a}=(x^{a})^{4}=3^{4}=81$；因为$x^{b}=5$，所以$x^{3b}=(x^{b})^{3}=5^{3}=125$；则$x^{4a - 3b}=x^{4a}÷x^{3b}=81÷125=\frac{81}{125}$
