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7. 如图,$AD \perp AB$,$BE \perp AB$,点 C 在 AB 上,连接 CD,CE,若$CD \perp CE$,$CD = CE$,$AD = 3cm$,$BE = 5cm$,则 AB 的长为
8cm
。答案
8cm
解析
∵AD⊥AB，BE⊥AB，∴∠A=∠B=90°。
∵CD⊥CE，∴∠DCE=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°。
在Rt△ACD中，∠ACD+∠ADC=90°，∴∠ADC=∠BCE（同角的余角相等）。
在△ADC和△BCE中，
∠A=∠B=90°，
∠ADC=∠BCE，
CD=CE，
∴△ADC≌△BCE（AAS）。
∴AD=BC=3cm，AC=BE=5cm。
∴AB=AC+BC=5+3=8cm。
∵CD⊥CE，∴∠DCE=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°。
在Rt△ACD中，∠ACD+∠ADC=90°，∴∠ADC=∠BCE（同角的余角相等）。
在△ADC和△BCE中，
∠A=∠B=90°，
∠ADC=∠BCE，
CD=CE，
∴△ADC≌△BCE（AAS）。
∴AD=BC=3cm，AC=BE=5cm。
∴AB=AC+BC=5+3=8cm。
8. 如图,$OA = OB$,$OC = OD$,$∠O = 60^{\circ}$,$∠C = 35^{\circ}$,则$∠DAO$的度数是
85°
。答案
85°
解析
在△OAD和△OBC中，OA=OB，∠O=∠O，OD=OC，∴△OAD≌△OBC(SAS)，∴∠D=∠C=35°，在△OAD中，∠DAO=180°-∠O-∠D=180°-60°-35°=85°
9. 如图,在$\triangle ABC$中,过点 A 作$AD \perp BC$,垂足为 D,过点 B 作$BF \perp AC$,垂足为 F,BF 交 AD 于点 E,已知$AC = BE$,$BD = 5$,$CD = 2$,则 AE 的长为
3
。答案
3
解析
∵AD⊥BC，BF⊥AC，
∴∠ADC=∠BDE=90°，∠AFB=90°．
在Rt△AFE中，∠FAE+∠AEF=90°；在Rt△BDE中，∠EBD+∠BED=90°．
∵∠AEF=∠BED（对顶角相等），∴∠FAE=∠EBD（等角的余角相等），即∠CAD=∠EBD．
在△ADC和△BDE中，
$\begin{cases} ∠CAD=∠EBD \\∠ADC=∠BDE \\AC=BE \end{cases}$
∴△ADC≌△BDE（AAS）．
∴AD=BD，DC=DE（全等三角形对应边相等）．
∵BD=5，CD=2，∴AD=5，DE=2．
∴AE=AD-DE=5-2=3．
10. 如图,BP 是$∠ABC$的平分线,$AP \perp BP$,连接 PC,若$\triangle PBC$的面积为 3,则$\triangle ABC$的面积为
6
。答案
6
解析
延长AP交BC于点D。
∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠DBP。
∵AP⊥BP，∴∠APB=∠DPB=90°。
在△ABP和△DBP中，
∠ABP=∠DBP，BP=BP，∠APB=∠DPB，
∴△ABP≌△DBP（ASA）。
∴AP=DP，S△ABP=S△DBP。
∵AP=DP，∴P为AD中点，故S△APC=S△DPC（等底同高）。
设S△DBP=m，则S△ABP=m，S△DPC=S△PBC - S△DBP=3 - m，
∴S△APC=3 - m。
∴S△ABC=S△ABP + S△PBC + S△APC=m + 3 + (3 - m)=6。
∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠DBP。
∵AP⊥BP，∴∠APB=∠DPB=90°。
在△ABP和△DBP中，
∠ABP=∠DBP，BP=BP，∠APB=∠DPB，
∴△ABP≌△DBP（ASA）。
∴AP=DP，S△ABP=S△DBP。
∵AP=DP，∴P为AD中点，故S△APC=S△DPC（等底同高）。
设S△DBP=m，则S△ABP=m，S△DPC=S△PBC - S△DBP=3 - m，
∴S△APC=3 - m。
∴S△ABC=S△ABP + S△PBC + S△APC=m + 3 + (3 - m)=6。
11. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD \perp BC$,$CE \perp AB$,垂足分别是 D,E,AD,CE 交于点 H,要使$\triangle AEH \cong \triangle CEB$,可添加一个适当的条件是
AH=CB(或EH=EB或AE=CE)
。答案
AH=CB(或EH=EB或AE=CE)
解析
∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEH=∠CEB=∠ADB=90°。∵∠AHE=∠CHD，∠EAH+∠AEH+∠AHE=180°，∠HCD+∠CHD+∠HDC=180°，∴∠EAH=∠HCD，即∠EAH=∠BCE。在△AEH和△CEB中，∠AEH=∠CEB，∠EAH=∠BCE，若添加AH=CB，则可根据AAS判定△AEH≌△CEB；若添加EH=EB，则可根据ASA判定△AEH≌△CEB；若添加AE=CE，则可根据ASA判定△AEH≌△CEB。
12. 在$\triangle ABC$中,$∠ACB = 90^{\circ}$,$∠CBA$的外角平分线交 AC 的延长线于点 F,交斜边上的高 CD 的延长线于点 E,$EG // AC$交 AB 的延长线于点 G,则下列结论：①$∠F = ∠CEF$；②$GE = CE$；③$EF \perp CG$,其中正确的有
①②③
(填序号)。答案
①②③
解析
设∠CBA=β，则∠A=90°-β，∠CBA外角=180°-β，BF平分外角得∠CBF=∠GBF=90°-β/2。
①在△BCF中，∠BCF=90°，∠F=180°-90°-(90°-β/2)=β/2；∠CEF=∠BED=90°-∠EBD=90°-(90°-β/2)=β/2，故∠F=∠CEF，①正确。
②EG//AC得∠AGE=∠A=90°-β，∠GEB=∠F=β/2=∠CEB，又∠EGB=∠ECB=90°-β，EB=EB，△GEB≌△CEB(AAS)，故GE=CE，②正确。
③GE=CE且EF平分∠GEC，由等腰三角形三线合一得EF⊥CG，③正确。
①在△BCF中，∠BCF=90°，∠F=180°-90°-(90°-β/2)=β/2；∠CEF=∠BED=90°-∠EBD=90°-(90°-β/2)=β/2，故∠F=∠CEF，①正确。
②EG//AC得∠AGE=∠A=90°-β，∠GEB=∠F=β/2=∠CEB，又∠EGB=∠ECB=90°-β，EB=EB，△GEB≌△CEB(AAS)，故GE=CE，②正确。
③GE=CE且EF平分∠GEC，由等腰三角形三线合一得EF⊥CG，③正确。
13. 如图,要测量一池塘的宽度,已知测量点 B,F,C,E 在直线 l 上,测量点 A,D 在直线 l 的异侧,且$AC = DF$,$∠A = ∠D$,$AB // DE$。若$BE = 110m$,$BF = 30m$,则 CF 的长为
50
m。答案
$50$
解析
由于$AB// DE$，根据平行线的性质，得$\angle ABC = \angle DEF$（内错角相等）。
在$\triangle ABC$与$\triangle DEF$中：
$\angle A = \angle D$，
$\angle ABC = \angle DEF$，
$AC = DF$。
根据$AAS$（角角边）全等条件，得出$\triangle ABC\cong \triangle DEF$。
由于全等三角形的对应边相等，所以$BC = EF$。
根据线段的和差关系，有$BC - CF = EF - CF$，即$BF = CE$。
已知$BE = 110m$，$BF = 30m$，所以$CF = BE - BF - CE = BE - BF - BF = 110 - 30 - 30 = 50m$。
在$\triangle ABC$与$\triangle DEF$中：
$\angle A = \angle D$，
$\angle ABC = \angle DEF$，
$AC = DF$。
根据$AAS$（角角边）全等条件，得出$\triangle ABC\cong \triangle DEF$。
由于全等三角形的对应边相等，所以$BC = EF$。
根据线段的和差关系，有$BC - CF = EF - CF$，即$BF = CE$。
已知$BE = 110m$，$BF = 30m$，所以$CF = BE - BF - CE = BE - BF - BF = 110 - 30 - 30 = 50m$。
