1. 分式的概念
一般地,如果 $A$,$B$ 表示两个,并且 $B$ 中含有,那么式子 $\frac{A}{B}$ 叫作分式。在分式 $\frac{A}{B}$ 中,$A$ 叫作分子,$B$ 叫作分母。
2. 分式有(无)意义的条件
对于分式 $\frac{A}{B}$：
① 当时,分式有意义；
② 当时,分式无意义。
3. 分式的值
(1)分式 $\frac{A}{B}$ 的值为 $0$ 的条件：
当时,分式 $\frac{A}{B}$ 的值为 $0$。
(2)分式 $\frac{A}{B}$ 的值为正(负)数的条件：
当时,值为正数；
当时,值为负数。

1. 整式；字母
2. $B\neq0$；$B = 0$
3. (1)$A = 0$且$B\neq0$；(2)$A$与$B$同号；$A$与$B$异号

1. 根据分式定义，一般地，如果$A$，$B$表示两个整式，并且$B$中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫作分式。在分式$\frac{A}{B}$中，$A$叫作分子，$B$叫作分母。
2. 对于分式$\frac{A}{B}$：
①当分母$B\neq0$时，分式有意义。
②当分母$B = 0$时，分式无意义。
3.
(1)分式$\frac{A}{B}$的值为$0$的条件：分子$A = 0$且分母$B\neq0$时，分式$\frac{A}{B}$的值为$0$。
(2)分式$\frac{A}{B}$的值为正（负）数的条件：
当$A$与$B$同号时，值为正数。
当$A$与$B$异号时，值为负数。

【例 1】下列各式中,是分式的是()
A.$\frac{-b}{2a}$
B.$\frac{a + b}{2}$
C.$\frac{1}{2}ab + a^{2}b$
D.$\frac{3ab}{\pi}$

A

根据分式定义，形如$\frac{A}{B}$（A、B是整式，B中含有字母且B≠0）的式子是分式。A选项分母含字母，是分式；B、C是整式，D中π是常数，分母不含字母，不是分式。

(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志,判断一个代数式是不是分式,不能先化简,如 $\frac{x^{2}y}{x}$ 是分式,与 $xy$ 有区别,$xy$ 是整式,即只看形式,不能看化简的结果。
(2)分母中的“字母”是可以表示不同数的“字母”,但 $\pi$ 仅表示圆周率,是一个常数,不是字母,如 $\frac{3ab}{\pi}$ 是整式,而不是分式。

(1)（相关题目若存在选项则答案根据实际问题填写，本题作为解释性题目，不直接给选择题答案，若此为关于判断分式整式的选择题概述，则对应选择描述“$\frac{x^{2}y}{x}$是分式”等相关选项（若有）则为正确，以实际题目选项为准，此处填）如存在对应选择则为说明性答案不直接填字母；
(2) 如存在对应“$\frac{3ab}{\pi}$是整式”相关选项则为正确（以实际题目选项字母填写）。

(1) 根据分式的定义，分式的分母中必须含有字母。
对于$\frac{x^{2}y}{x}$，其分母中含有字母$x$，因此它是分式，不能因化简后为$xy$（整式）而改变其原始形式下的分类。
对于$\frac{3ab}{\pi}$，尽管它形式上看起来像一个分数，但分母中的$\pi$是一个常数，不是字母，因此它是整式。

1. 代数式 $\frac{2}{5}x$,$\frac{1}{\pi}$,$\frac{m}{3x}$,$\frac{2}{x^{2} + 4}$,$x^{2} - \frac{2}{3}$,$\frac{1}{x}$,$\frac{1}{a - 5}$,$\frac{a}{5} - \frac{2}{b}$,$\frac{x + 1}{x + 2}$ 中,属于分式的有()
A.$3$ 个
B.$4$ 个
C.$5$ 个
D.$6$ 个

D

根据分式定义：形如$\frac{A}{B}$（A、B是整式，B中含有字母且B≠0）的式子叫分式。
$\frac{2}{5}x$：整式，不是分式；
$\frac{1}{\pi}$：π是常数，分母不含字母，不是分式；
$\frac{m}{3x}$：分母含字母x，是分式；
$\frac{2}{x^{2} + 4}$：分母含字母x，是分式；
$x^{2} - \frac{2}{3}$：整式，不是分式；
$\frac{1}{x}$：分母含字母x，是分式；
$\frac{1}{a - 5}$：分母含字母a，是分式；
$\frac{a}{5} - \frac{2}{b}$：含$\frac{2}{b}$，分母含字母b，是分式；
$\frac{x + 1}{x + 2}$：分母含字母x，是分式。
综上，分式有$\frac{m}{3x}$,$\frac{2}{x^{2} + 4}$,$\frac{1}{x}$,$\frac{1}{a - 5}$,$\frac{a}{5} - \frac{2}{b}$,$\frac{x + 1}{x + 2}$，共6个。

2. 已知四张卡片上面分别写有 $6$,$x - 1$,$x^{2} - 1$,$\pi + 1$,从中任选两张卡片,可以组成的一个分式为(写出一个分式即可)。

$\frac{6}{x - 1}$

分式是形如$\frac{A}{B}$（A、B是整式，B中含有字母且B不等于0）的式子。从四张卡片中选两张，如选$6$作为分子，$x - 1$作为分母，组成$\frac{6}{x - 1}$，其中分母含有字母$x$，符合分式定义。

【例 2】当 $x$ 满足时,分式 $\frac{2}{x - 1}$ 在实数范围内有意义。

$x\neq 1$

要使分式$\frac{2}{x - 1}$在实数范围内有意义，则分母$x - 1\neq 0$，解得$x\neq 1$。