7. (2024·北京中考)已知$a - b - 1 = 0$,求代数式$\dfrac{3(a - 2b) + 3b}{a^{2} - 2ab + b^{2}}$的值.

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解：
1. 由已知 $a - b - 1 = 0$，得 $a - b = 1$。
2. 化简代数式分子：
$3(a - 2b) + 3b = 3a - 6b + 3b = 3a - 3b = 3(a - b)$。
3. 化简代数式分母：
$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$。
4. 代入化简后的分子分母：
$\dfrac{3(a - b)}{(a - b)^2} = \dfrac{3}{a - b}$。
5. 将 $a - b = 1$ 代入，得 $\dfrac{3}{1} = 3$。

8. 已知$\dfrac{a}{2}= \dfrac{b}{3}= \dfrac{c}{4}\neq0$,求分式$\dfrac{ab + bc + ca}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$的值.

$\dfrac{26}{29}$

设$\dfrac{a}{2}= \dfrac{b}{3}= \dfrac{c}{4}=k(k\neq0)$，则$a=2k$，$b=3k$，$c=4k$。
$\begin{aligned}\dfrac{ab + bc + ca}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}&=\dfrac{(2k)(3k)+(3k)(4k)+(4k)(2k)}{(2k)^{2}+(3k)^{2}+(4k)^{2}}\\&=\dfrac{6k^{2}+12k^{2}+8k^{2}}{4k^{2}+9k^{2}+16k^{2}}\\&=\dfrac{26k^{2}}{29k^{2}}\\&=\dfrac{26}{29}\end{aligned}$

9. 已知分式$\dfrac{1}{3x^{2}-3}$,$\dfrac{2}{x - 1}$,$a$是这两个分式中分母的公因式,$b$是这两个分式的最简公分母,且$\dfrac{b}{a}= 3$,试求这两个分式的值.

1. 对分母因式分解：
第一个分式分母：$3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)$；
第二个分式分母：$x - 1$（已最简）。
2. 确定公因式$a$和最简公分母$b$：
公因式$a$为两分母共有的因式：$a = x - 1$；
最简公分母$b$为各因式最高次幂的积：$b = 3(x - 1)(x + 1)$。
3. 由$\frac{b}{a} = 3$求$x$：
$\frac{b}{a} = \frac{3(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = 3(x + 1)$，
依题意$3(x + 1) = 3$，解得$x + 1 = 1$，即$x = 0$。
4. 求两个分式的值：
第一个分式：$\frac{1}{3x^2 - 3} = \frac{1}{3(0)^2 - 3} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$；
第二个分式：$\frac{2}{x - 1} = \frac{2}{0 - 1} = -2$。
结论：两个分式的值分别为$-\frac{1}{3}$和$-2$。

10. 使分式$\dfrac{2x^{2}-4x + 2}{(x - 1)^{3}}的值为整数的整数x$的值有多少个？请先阅读解题过程,然后回答有关问题.
因为$\dfrac{2x^{2}-4x + 2}{(x - 1)^{3}}= \dfrac{2(x - 1)^{2}}{(x - 1)^{3}}= \dfrac{2}{x - 1}$,且该分式的值及$x$的值均为整数,所以$(x - 1)能整除2$.当$x = 1$时,因为$x - 1 = 0$,所以分母为零,分式无意义.所以$x - 1可取的值为\pm1$,$\pm2$,从而$x可为-1$,$0$,$2与3$.那么满足条件的$x值共有4$个.
运用这种解题思路,求出使分式$\dfrac{6x^{2}-12x + 6}{(x - 1)^{3}}的值为整数x$的值的个数为 .

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$\dfrac{6x^{2}-12x + 6}{(x - 1)^{3}}= \dfrac{6(x - 1)^{2}}{(x - 1)^{3}}= \dfrac{6}{x - 1}$，分式的值及$x$为整数，$(x - 1)$能整除6，$x=1$时分母为0无意义，$x - 1$可取$\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$，$x$为$-5,-2,-1,0,2,3,4,7$，共8个。