1. 如图,以 $ \triangle ABC $ 的顶点 $ A $ 为圆心,以 $ BC $ 长为半径作弧,再以顶点 $ C $ 为圆心,以 $ AB $ 长为半径作弧,两弧交于点 $ D $,连接 $ AD $,$ CD $。若 $ \angle B = 65^{\circ} $,则 $ \angle ADC $ 的大小为()

A.$ 65^{\circ} $
B.$ 130^{\circ} $
C.$ 120^{\circ} $
D.$ 115^{\circ} $

A

由作图知，AD=BC，CD=AB。在△ABC和△CDA中，AB=CD，BC=DA，AC=CA，所以△ABC≌△CDA（SSS）。因此∠ADC=∠B=65°。

【典型例题2】如图,已知线段 $ a $,$ b $,求作 $ \triangle ABC $,使 $ BC = a $,$ AB = AC = b $。

【解】作法：如图。
(1) 作线段 $ BC = a $；
(2) 分别以点 $ B $,$ C $ 为圆心,线段 $ b $ 为半径作弧,两弧相交于点 $ A $；
(3) 连接 $ AB $,$ AC $,则 $ \triangle ABC $ 就是所求作的三角形。

2. 数轴的一部分如图所示,其单位长度为 $ a $,已知在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = 3a $,$ BC = 4a $,$ AC = 5a $。用尺规作出 $ \triangle ABC $,使点 $ A $,$ C $ 在数轴上。

1. 在数轴上取点A，以A为起点向右截取AC=5a，确定点C。
2. 以点A为圆心，3a为半径画弧。
3. 以点C为圆心，4a为半径画弧，两弧交于点B。
4. 连接AB、BC，△ABC即为所求。

1. 如图,点 $ D $ 在线段 $ BC $ 上。若 $ BC = DE $,$ AC = DC $,$ AB = EC $,$ \angle A = 95^{\circ} $,$ \angle ACB = 55^{\circ} $,则 $ \angle ACE = $()

A.$ 30^{\circ} $
B.$ 40^{\circ} $
C.$ 50^{\circ} $
D.$ 55^{\circ} $

B

在△ABC和△ECD中，BC=DE，AC=DC，AB=EC，∴△ABC≌△ECD(SSS)，∴∠ECD=∠A=95°。在△ABC中，∠A=95°，∠ACB=55°，∠B=180°-∠A-∠ACB=30°。∵点D在线段BC上，∠ACB+∠ACD=180°，∠ACB=55°，∴∠ACD=125°。∠ACE=∠ECD-∠ACD=95°-(180°-55°)= -30°（此步骤有误，正确应为：∠ACE=∠ECD - (∠ACB)？不，重新分析：由全等得∠ECD=∠A=95°，∠ACB=55°，点D在BC上，∠ACB是∠ACB，∠ECD是∠ECD，观察图形，∠ACE=∠ECD - ∠ACD？不，∠ACB=55°，即∠ACD=55°（因为D在BC上，∠ACB就是∠ACD），所以∠ACE=∠ECD - ∠ACD=95°-55°=40°。

2. 雨伞在开合过程中某时刻的截面图如图所示,伞骨 $ AB = AC $,点 $ D $,$ E $ 分别是 $ AB $,$ AC $ 的中点,$ DM $,$ EM $ 是连接弹簧和伞骨的支架,且 $ DM = EM $,已知弹簧 $ M $ 在向上滑动的过程中,总有 $ \triangle ADM \cong \triangle AEM $,其判定依据是()

A.$ ASA $
B.$ AAS $
C.$ SSS $
D.$ SAS $

C

已知 $AB = AC$，点 $D$，$E$ 分别是 $AB$，$AC$ 的中点，则 $AD = AE$（因为中点将线段平分）。
又因为 $DM = EM$，且 $AM$是公共边，在$\triangle ADM$和$\triangle AEM$中，
$\left\{\begin{matrix}AD=AE,\\ DM=EM,\\AM=AM.\end{matrix}\right.$
根据 $SSS$（三边相等）全等判定条件，可以得出 $\triangle ADM \cong \triangle AEM$。

3. 工人师傅要检查人字梁的 $ \angle B $ 和 $ \angle C $ 是否相等,但他手边没有量角器,只有一个刻度尺。他是这样操作的：① 分别在 $ BA $ 和 $ CA $ 上取 $ BE = CG $；② 在 $ BC $ 上取 $ BD = CF $；③ 量出 $ DE $ 的长 $ a $ 米,$ FG $ 的长 $ b $ 米。若 $ a = b $,则说明 $ \angle B $ 和 $ \angle C $ 是相等的。他的这种做法合理吗？请说明理由。

合理。
在△BDE和△CFG中，
∵BE=CG（已知），
BD=CF（已知），
DE=FG（已知，a=b），
∴△BDE≌△CFG（SSS）。
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）。