2. 若$ (3m - 2)^{0} = 1 $有意义,则$ m $的取值范围是.

$m \neq \frac{2}{3}$（或填写具体不等式的解集形式也可，根据题目要求这里只填$m$的取值范围概念）

根据零指数幂的定义，当$a \neq 0$时，$a^{0} = 1$。
因此，对于$(3m - 2)^{0} = 1$有意义，必须有$3m - 2 \neq 0$。
解这个不等式，得到$m \neq \frac{2}{3}$。

【典型例题2】计算：
(1) $ 3x^{2}y^{3} ÷ \left( -\dfrac{3}{5}x^{2}y \right) $；
(2) $ 10a^{4}b^{3}c^{2} ÷ (5a^{3}bc) $；
(3) $ \left( 3x^{2}y - xy^{2} + \dfrac{1}{2}xy \right) ÷ \left( -\dfrac{1}{2}xy \right) $.

思路导引 按照单(或多)项式除以单项式的运算法则进行计算即可.
【解】
(1) 原式 $ = \left[ 3 ÷ \left( -\dfrac{3}{5} \right) \right] \cdot x^{2 - 2}y^{3 - 1} = -5y^{2} $.
(2) 原式 $ = (10 ÷ 5)a^{4 - 3}b^{3 - 1}c^{2 - 1} = 2ab^{2}c $.
(3) 原式 $ = 3x^{2}y ÷ \left( -\dfrac{1}{2}xy \right) - xy^{2} ÷ \left( -\dfrac{1}{2}xy \right) + \dfrac{1}{2}xy ÷ \left( -\dfrac{1}{2}xy \right) = -6x + 2y - 1 $.

3. 计算$ a^{4}b^{2}c ÷ (3a^{2}b) $的结果是()
A.$ 3a^{2}b $
B.$ 3a^{2}bc $
C.$ \dfrac{1}{3}a^{2}b $
D.$ \dfrac{1}{3}a^{2}bc $

D

根据单项式除以单项式的法则，将系数与同底数幂分别相除，再将商相乘。
系数相除：$1÷3=\dfrac{1}{3}$；
同底数幂相除：$a^{4}÷ a^{2}=a^{4 - 2}=a^{2}$，$b^{2}÷ b = b^{2 - 1}=b$，$c$照写。
所以$a^{4}b^{2}c÷(3a^{2}b)=\dfrac{1}{3}a^{2}bc$。

4. 先化简,再求值：$ [x(x + 2y) - (x + y)(x - y)] ÷ \left( \dfrac{1}{2}y \right) $,其中$ x = -\dfrac{1}{2} $,$ y = 1 $.

$0$

解：
1. 化简原式
原式 = $[x(x + 2y) - (x + y)(x - y)] ÷ \left( \dfrac{1}{2}y \right)$
展开括号：
$x(x + 2y) = x^2 + 2xy$
$(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$（平方差公式）
代入原式：
$[x^2 + 2xy - (x^2 - y^2)] ÷ \left( \dfrac{1}{2}y \right)$
去括号并合并同类项：
$x^2 + 2xy - x^2 + y^2 = 2xy + y^2$
化简除法：
$(2xy + y^2) ÷ \left( \dfrac{1}{2}y \right) = (2xy + y^2) × \dfrac{2}{y} = 4x + 2y$
2. 代入求值
当 $x = -\dfrac{1}{2}$，$y = 1$ 时：
$4x + 2y = 4 × \left(-\dfrac{1}{2}\right) + 2 × 1 = -2 + 2 = 0$

1. (2024·福建中考)下列运算正确的是()
A.$ a^{3} \cdot a^{3} = a^{9} $
B.$ a^{4} ÷ a^{2} = a^{2} $
C.$ (a^{3})^{2} = a^{5} $
D.$ 2a^{2} - a^{2} = 2 $

B

A. 根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，$a^{3} \cdot a^{3}=a^{3 + 3}=a^{6}\neq a^{9}$，所以A选项错误。
B. 根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，$a^{4}÷ a^{2}=a^{4 - 2}=a^{2}$，所以B选项正确。
C. 根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，$(a^{3})^{2}=a^{3×2}=a^{6}\neq a^{5}$，所以C选项错误。
D. 根据合并同类项法则，$2a^{2}-a^{2}=(2 - 1)a^{2}=a^{2}\neq2$，所以D选项错误。

2. (2024·四川雅安中考)计算$ (1 - 3)^{0} $的结果是()
A.$ -2 $
B.$ 0 $
C.$ 1 $
D.$ 4 $

C

先计算底数，$1 - 3 = -2$，根据零指数幂的性质，任何非零数的零次幂都等于$1$，$-2$是非零数，所以$(-2)^0 = 1$。

3. 下列计算中：① $ 4a^{3}b ÷ (2a^{2}) = 2a $；② $ -12x^{4}y^{3} ÷ (2x^{2}y) = 6x^{2}y^{2} $；③ $ -16a^{2}bc ÷ \left( \dfrac{1}{4}a^{2}b \right) = -4 $；④ $ \left( \dfrac{1}{2}ab^{2} \right)^{3} ÷ \left( \dfrac{1}{2}ab^{2} \right) = \dfrac{1}{4}a^{2}b^{4} $,错误的有()
A.$ 1 $个
B.$ 2 $个
C.$ 3 $个
D.$ 4 $个

C

① $4a^{3}b ÷ (2a^{2}) = \frac{4}{2} \cdot a^{3-2} \cdot b = 2ab$，原计算错误；
② $-12x^{4}y^{3} ÷ (2x^{2}y) = \frac{-12}{2} \cdot x^{4-2} \cdot y^{3-1} = -6x^{2}y^{2}$，原计算错误；
③ $-16a^{2}bc ÷ \left( \frac{1}{4}a^{2}b \right) = \frac{-16}{\frac{1}{4}} \cdot a^{2-2} \cdot b^{1-1} \cdot c = -64c$，原计算错误；
④ $\left( \frac{1}{2}ab^{2} \right)^{3} ÷ \left( \frac{1}{2}ab^{2} \right) = \frac{\frac{1}{8}a^{3}b^{6}}{\frac{1}{2}ab^{2}} = \frac{1}{4}a^{2}b^{4}$，原计算正确；
综上，①②③错误，共3个错误。

4. 若$ 3x - y = 1 $,则代数式$ 8^{x} ÷ 2^{y} ÷ 2 $的值为.

1（题目要求没有选项时，直接填数值即可，此处理解为题目要求填代数式的值）

根据题意，有 $3x - y = 1$，
将代数式 $8^{x} ÷ 2^{y} ÷ 2$ 进行化简，
由于$8 = 2^{3}$，所以 $8^{x} = (2^{3})^{x} = 2^{3x}$，
因此，代数式可以写为 $2^{3x} ÷ 2^{y} ÷ 2$，
根据同底数幂的除法法则，有：
$2^{3x} ÷ 2^{y} ÷ 2 = 2^{3x - y - 1}$，
将 $3x - y = 1$ 代入上式，得到：
$2^{3x - y - 1} = 2^{1 - 1} = 2^{0} = 1$。