1. 观察一组按规律排列的数：$1,2,4,8,16,…$ 则第 $n$ 个数是()
A.$2^{n}$
B.$2^{n}-1$
C.$2^{n - 1}$
D.$2^{n - 1}-1$

C

观察数列 $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$，
第1个数为$1=2^0$，
第2个数为$2=2^1$，
第3个数为$4=2^2$，
第4个数为$8=2^3$，
第5个数为$16=2^4$，
根据这个规律，第$n$个数应为$2^{n-1}$。

2. 将正整数按如图所示的位置顺序排列,根据排列顺序,$2023$ 应在哪个位置()

A.$A$ 点
B.$B$ 点
C.$C$ 点
D.$D$ 点

D

观察数字排列规律，每4段为一循环（B→C→D→A），每段含2个数，终点数对应点依次为B(4)、C(6)、D(8)、A(10)，周期为8。点对应数字规律：B=8k-4，C=8k-2，D=8k，A=8k+2（k≥1）。2023所在段：2m+1=2023→m=1011，m=1011除以4余3，对应循环中的D段，故2023在D点。

3. 先观察下列算式：$3^{2}-1^{2}= 8×1$,$5^{2}-3^{2}= 8×2$,$7^{2}-5^{2}= 8×3$,$9^{2}-7^{2}= 8×4$,… 通过观察归纳,第 $2024$ 个算式是()
A.$2023^{2}-2021^{2}= 8×2024$
B.$4049^{2}-4047^{2}= 8×2024$
C.$2025^{2}-2023^{2}= 8×2024$
D.$4047^{2}-4045^{2}= 8×2024$

B

观察给出的算式：
$3^{2}-1^{2}=8 × 1$，
$5^{2}-3^{2}=8 × 2$，
$7^{2}-5^{2}=8 × 3$，
$9^{2}-7^{2}=8 × 4$，
可以发现，每个算式的左侧是两个连续奇数的平方差，右侧是$8$与一个连续自然数的乘积。
设第$n$个算式的左侧为$(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2}$，
根据平方差公式，可以将其化简为：
$(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2} = (2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1) = 4n × 2 = 8n$，
这与右侧的$8 × n$相符。
因此，第$n$个算式可以表示为：
$(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2}=8n$，
将$n=2024$代入上述公式，得到第$2024$个算式为：
$4049^{2}-4047^{2}=8 × 2024$。

4. 如图,将形状、大小完全相同的“$\cdot$”和线段按照一定规律摆成下列图形,图①中“$\cdot$”的个数为 $3$,图②中“$\cdot$”的个数为 $8$,图③中“$\cdot$”的个数为 $15$,依此类推,则图⑱中“$\cdot$”的个数是()

A.$34$
B.$55$
C.$360$
D.$720$

C

观察图形，图①中“$\cdot$”的个数为 $3 = 1× 3$，更具体为 $1×(1 + 2)=3$；
图②中“$\cdot$”的个数为 $8 = 2× 4$，更具体为 $2×(2 + 2)=8$；
图③中“$\cdot$”的个数为 $15 = 3× 5$，更具体为 $3×(3 + 2)=15$；
以此类推，可得规律：图$n$中“$\cdot$”的个数为 $n(n + 2)$。
当$n = 18$时，$n(n + 2)=18×(18 + 2)=18×20 = 360$。