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5. (★)(2022·齐齐哈尔)在单词statistics(统计学)中任意选择一个字母,字母为“s”的概率是【
A.$\dfrac{1}{10}$
B.$\dfrac{1}{5}$
C.$\dfrac{3}{10}$
D.$\dfrac{2}{5}$
C
】A.$\dfrac{1}{10}$
B.$\dfrac{1}{5}$
C.$\dfrac{3}{10}$
D.$\dfrac{2}{5}$
答案
C
解析
单词"statistics"共有10个字母，其中字母"s"出现3次，所以字母为"s"的概率是$\dfrac{3}{10}$。
6. (★)2025年12月13日,是我国第十二个南京大屠杀死难者国家公祭日。某地从《南京！南京！》《东京审判》《屠城血证》三部影片中随机选取一部进行展播,则恰好展播《南京！南京！》的概率为【
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{2}{9}$
B
】A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{2}{9}$
答案
B
解析
本题可根据古典概型的概率公式来计算恰好展播《南京！南京！》的概率。古典概型是一种概率模型，在这个模型下，随机试验所有可能的结果是有限的，并且每个结果出现的概率相等。其概率公式为$P(A)=\frac{m}{n}$，其中$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$m$表示事件$A$包含的基本事件个数，$n$表示基本事件的总数。
从三部影片中随机选取一部进行展播，那么基本事件总数$n = 3$；而恰好选到《南京！南京！》这一事件包含的基本事件个数$m = 1$。
将$m = 1$，$n = 3$代入古典概型概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$，可得恰好展播《南京！南京！》的概率$P=\frac{1}{3}$。
从三部影片中随机选取一部进行展播，那么基本事件总数$n = 3$；而恰好选到《南京！南京！》这一事件包含的基本事件个数$m = 1$。
将$m = 1$，$n = 3$代入古典概型概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$，可得恰好展播《南京！南京！》的概率$P=\frac{1}{3}$。
7. (★)围棋起源于中国,棋子分黑、白两色。一个不透明的盒子中装有5个黑色棋子和2个白色棋子,每个棋子除颜色外都相同,任意摸出一个棋子,摸到白色棋子的概率是
$\frac{2}{7}$
。答案
$\frac{2}{7}$
解析
根据概率的计算公式，事件发生的概率等于该事件可能发生的情况数与总情况数之比。在这里，总情况数为盒子中棋子的总数，即$5 + 2 = 7$（个），摸到白色棋子的情况数为白色棋子的个数，即2个。所以摸到白色棋子的概率为$\frac{2}{7}$。
8. (★★)填写下列事件的概率：
事件A：在1小时内,你步行可以走100千米,则$ P(A) = $
事件B：若a为实数,一定有$ a^2 \geqslant 0 $,则$ P(B) = $
事件C：抛掷一枚质地均匀的硬币,出现正面向上,则$ P(C) = $
事件D：在100张奖券中有4张有奖,某人随机从中抽取一张且中奖,则$ P(D) = $
事件A：在1小时内,你步行可以走100千米,则$ P(A) = $
0
；事件B：若a为实数,一定有$ a^2 \geqslant 0 $,则$ P(B) = $
1
；事件C：抛掷一枚质地均匀的硬币,出现正面向上,则$ P(C) = $
$\frac{1}{2}$
；事件D：在100张奖券中有4张有奖,某人随机从中抽取一张且中奖,则$ P(D) = $
$\frac{1}{25}$
。答案
$0$；$1$；$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{25}$（按照题目顺序对应填写）
解析
事件A：在1小时内步行100千米是不可能发生的事件，因此$P(A)=0$；
事件B：对于任意实数$a$，$a^2\geqslant0$是必然发生的事件，所以$P(B)=1$；
事件C：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上的概率为$\frac{1}{2}$，即$P(C)=\frac{1}{2}$；
事件D：在$100$张奖券中有$4$张有奖，某人随机从中抽取一张中奖的概率为$\frac{4}{100}=\frac{1}{25}$，所以$P(D)=\frac{1}{25}$。
事件B：对于任意实数$a$，$a^2\geqslant0$是必然发生的事件，所以$P(B)=1$；
事件C：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上的概率为$\frac{1}{2}$，即$P(C)=\frac{1}{2}$；
事件D：在$100$张奖券中有$4$张有奖，某人随机从中抽取一张中奖的概率为$\frac{4}{100}=\frac{1}{25}$，所以$P(D)=\frac{1}{25}$。
9. (★)如图25.1-1,在 3 × 3 的网格中,有3个被涂成黑色的小方格。若再从余下的6个小方格中随机选取1个涂成黑色,则完成的图案为轴对称图案的概率是
1/3
。答案
1/3
解析
在3×3网格中，共有9个小方格，已涂黑3个，剩余6个。要使图案为轴对称图形，需考虑网格的对称轴（水平中线、垂直中线、两条对角线）。经分析，剩余6个小方格中，有2个位置涂黑后能使图案沿某条对称轴对称。故概率为2/6=1/3。
10. (★★)小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口,该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯,他在路口遇到红灯的概率为$\dfrac{1}{3}$,遇到黄灯的概率为$\dfrac{1}{9}$,那么他遇到绿灯的概率是【
A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{9}$
C.$\dfrac{2}{9}$
D.$\dfrac{5}{9}$
D
】A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{9}$
C.$\dfrac{2}{9}$
D.$\dfrac{5}{9}$
答案
D
解析
设遇到红灯的概率为 $P(A)=\dfrac{1}{3}$，遇到黄灯的概率为 $P(B)=\dfrac{1}{9}$。
由于红灯、黄灯、绿灯是互斥事件，且总概率为1，因此遇到绿灯的概率为：
$P(C) = 1 - P(A) - P(B) = 1 - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{9}{9} - \dfrac{3}{9} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{5}{9}$。
由于红灯、黄灯、绿灯是互斥事件，且总概率为1，因此遇到绿灯的概率为：
$P(C) = 1 - P(A) - P(B) = 1 - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{9}{9} - \dfrac{3}{9} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{5}{9}$。
11. (★★)5张除所画图形不同其他均相同的卡片上画有等边三角形、正方形、正五边形、矩形、正六边形,在看不见图形的条件下任意摸出一张,恰好既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为
$\frac{3}{5}$
。答案
$\frac{3}{5}$
解析
首先，需要确定哪些图形既是中心对称图形又是轴对称图形。
等边三角形：只是轴对称图形，不是中心对称图形。
正方形：既是轴对称图形，也是中心对称图形。
正五边形：只是轴对称图形，不是中心对称图形。
矩形：既是轴对称图形，也是中心对称图形。
正六边形：既是轴对称图形，也是中心对称图形。
从上面的分析中，可以看到，正方形，矩形，正六边形三种图形满足条件。
因此，从5张卡片中随机选择一张，满足条件的概率为：
$P = \frac{满足条件的卡片数}{总卡片数} = \frac{3}{5}$，
等边三角形：只是轴对称图形，不是中心对称图形。
正方形：既是轴对称图形，也是中心对称图形。
正五边形：只是轴对称图形，不是中心对称图形。
矩形：既是轴对称图形，也是中心对称图形。
正六边形：既是轴对称图形，也是中心对称图形。
从上面的分析中，可以看到，正方形，矩形，正六边形三种图形满足条件。
因此，从5张卡片中随机选择一张，满足条件的概率为：
$P = \frac{满足条件的卡片数}{总卡片数} = \frac{3}{5}$，
12. (★★)将根式$\sqrt{8}$,$\sqrt{12}$,$\sqrt{18}$,$\sqrt{32}$,$\sqrt{48}$化成最简二次根式后,随机抽取其中一个根式,与$\sqrt{3}$能进行合并的二次根式的概率是
$\frac{2}{5}$
。答案
$\frac{2}{5}$
解析
首先，将给定的根式化为最简二次根式：
$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$，
$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，
$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$，
$\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$，
$\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$，
从上面的化简结果可以看出，能与$\sqrt{3}$合并的二次根式有$\sqrt{12}$和$\sqrt{48}$，共2个。
总共有5个根式，所以随机抽取一个能与$\sqrt{3}$合并的概率为$\frac{2}{5}$。
$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$，
$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，
$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$，
$\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$，
$\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$，
从上面的化简结果可以看出，能与$\sqrt{3}$合并的二次根式有$\sqrt{12}$和$\sqrt{48}$，共2个。
总共有5个根式，所以随机抽取一个能与$\sqrt{3}$合并的概率为$\frac{2}{5}$。
13. (★★)在图25.1-2所示的边长为1的小正方形组成的网格中有A,B两点,在格点上(不与A,B重合)放置点C,恰好能使$\triangle ABC$的面积为1的概率为
4/13
。答案
4/13
解析
首先确定网格中格点总数，共15个格点（除去A、B两点，总可能点C的个数为13）。以A、B为顶点，要使△ABC面积为1，根据格点三角形面积公式，找出满足条件的点C共4个。概率为4/13。
14. (★★)求下列事件发生的概率：
(1) 随机抛一枚质地均匀的硬币,正面朝上；
(2) 从标有0~9数字的10张卡片中任取一张,取出的卡片上的数字为偶数；
(3) 掷一枚质地均匀的正方体骰子,掷出的点数大于1；
(4) 掷一枚质地均匀的正方体骰子两次,掷出的点数和大于12。
(1) 随机抛一枚质地均匀的硬币,正面朝上；
(2) 从标有0~9数字的10张卡片中任取一张,取出的卡片上的数字为偶数；
(3) 掷一枚质地均匀的正方体骰子,掷出的点数大于1；
(4) 掷一枚质地均匀的正方体骰子两次,掷出的点数和大于12。
答案
(1) 随机抛一枚质地均匀的硬币，存在两种等可能结果：正面朝上或反面朝上。
$P(正面朝上)=\frac{1}{2}$。
(2) 从标有$0\sim9$数字的$10$张卡片中任取一张，数字为偶数的卡片有$0,2,4,6,8$，共$5$张。
$P(取出的卡片上的数字为偶数)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$。
(3) 掷一枚质地均匀的正方体骰子，存在$6$种等可能结果，点数分别为$1,2,3,4,5,6$，点数大于$1$的有$5$种情况。
$P(掷出的点数大于1)=\frac{5}{6}$。
(4) 掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，每次都有$6$种结果，所以总共有$6×6 = 36$种等可能结果，点数和最大为$12$，点数和大于$12$的情况数为$0$。
$P(掷出的点数和大于12)=\frac{0}{36}=0$。
$P(正面朝上)=\frac{1}{2}$。
(2) 从标有$0\sim9$数字的$10$张卡片中任取一张，数字为偶数的卡片有$0,2,4,6,8$，共$5$张。
$P(取出的卡片上的数字为偶数)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$。
(3) 掷一枚质地均匀的正方体骰子，存在$6$种等可能结果，点数分别为$1,2,3,4,5,6$，点数大于$1$的有$5$种情况。
$P(掷出的点数大于1)=\frac{5}{6}$。
(4) 掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，每次都有$6$种结果，所以总共有$6×6 = 36$种等可能结果，点数和最大为$12$，点数和大于$12$的情况数为$0$。
$P(掷出的点数和大于12)=\frac{0}{36}=0$。
