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10. (★★★)(2023·郑州模拟)心理学研究表明,学生上课对概念的接受能力$y与讲授概念的时间x$(分)之间的关系是二次函数,如图22.3 - 8是$y与x$之间的函数图象,点$A$是该抛物线的顶点,且$OC = 43$.
(1)求$y与x$之间的函数关系式.
(2)研究表明,当学生的接受能力在55及以上时,视为学生接受能力的黄金期.
①在学生接受能力的黄金期讲授重点内容,学习效果会更好.请问:张老师在哪个时间段内讲授重点内容合适?
②若讲授某个概念的重点内容需要用时12分钟,请你判断其能否在学生接受能力的黄金期内讲完,并说明理由.
(1)求$y与x$之间的函数关系式.
(2)研究表明,当学生的接受能力在55及以上时,视为学生接受能力的黄金期.
①在学生接受能力的黄金期讲授重点内容,学习效果会更好.请问:张老师在哪个时间段内讲授重点内容合适?
②若讲授某个概念的重点内容需要用时12分钟,请你判断其能否在学生接受能力的黄金期内讲完,并说明理由.
答案
(1) 设二次函数解析式为$y=a(x-13)^2+59.9$（顶点式）。
∵抛物线过点$C(0,43)$，代入得：
$43=a(0-13)^2+59.9$，解得$a=-0.1$。
∴$y=-0.1(x-13)^2+59.9$（或展开为$y=-0.1x^2+2.6x+43$）。
(2)① 令$y\geq55$，则：
$-0.1(x-13)^2+59.9\geq55$
$-0.1(x-13)^2\geq-4.9$
$(x-13)^2\leq49$
$|x-13|\leq7$
解得$6\leq x\leq20$。
答：6分钟到20分钟。
② 黄金期时长为$20-6=14$分钟。
∵$14\geq12$，∴能在黄金期内讲完。
答：能。
∵抛物线过点$C(0,43)$，代入得：
$43=a(0-13)^2+59.9$，解得$a=-0.1$。
∴$y=-0.1(x-13)^2+59.9$（或展开为$y=-0.1x^2+2.6x+43$）。
(2)① 令$y\geq55$，则：
$-0.1(x-13)^2+59.9\geq55$
$-0.1(x-13)^2\geq-4.9$
$(x-13)^2\leq49$
$|x-13|\leq7$
解得$6\leq x\leq20$。
答：6分钟到20分钟。
② 黄金期时长为$20-6=14$分钟。
∵$14\geq12$，∴能在黄金期内讲完。
答：能。
1. ($★$)二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的顶点坐标是
$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$
,对称轴是直线$x =-\frac{b}{2a}$
。答案
$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$；$x =-\frac{b}{2a}$
解析
对于二次函数$y=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，将其化为顶点式$y = a(x - h)^2+k$的形式，通过配方法可得$y=a(x+\frac{b}{2a})^{2}+\frac{4ac - b^{2}}{4a}$，其中顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$，对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}$。
2. ($★$)某涵洞是抛物线形,它的截面如图22.3 - 9,现测得水面宽$AB = 1.6m$,涵洞顶点$O到水面的距离为2.4m$,在图中直角坐标系内,涵洞所在抛物线的函数表达式是
$y=-\dfrac{15}{4}x^{2}$
。答案
$y=-\dfrac{15}{4}x^{2}$
解析
设抛物线表达式为$y = ax^2$。由题意，水面宽$AB = 1.6m$，顶点$O$到水面距离为$2.4m$，则点$A(-0.8, -2.4)$、$B(0.8, -2.4)$在抛物线上。将$B(0.8, -2.4)$代入表达式得：$-2.4 = a×0.8^2$，解得$a = -\frac{2.4}{0.64} = -\frac{15}{4}$。故抛物线表达式为$y = -\frac{15}{4}x^2$。
3. ($★$)如图22.3 - 10,小明的父亲在相距$2m$的两棵树间拴了一根绳子,给小明做了一个简易的秋千。拴绳子的地方距地面高都是$2.5m$,绳子自然下垂呈抛物线状,身高$1m$的小明距较近的那棵树$0.5m$时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为
0.5
m。答案
0.5
解析
以两棵树中点为原点，地面为x轴建立坐标系，抛物线对称轴为y轴，设抛物线方程为$y=ax^2 + k$（$k$为最低点距地面距离）。
两棵树相距2m，故拴绳点坐标为$(-1, 2.5)$和$(1, 2.5)$；小明距近树0.5m，位置坐标为$(0.5, 1)$（或$(-0.5, 1)$）。
将$(1, 2.5)$代入方程：$a + k = 2.5$；
将$(0.5, 1)$代入方程：$0.25a + k = 1$。
联立解得：$a=2$，$k=0.5$。
两棵树相距2m，故拴绳点坐标为$(-1, 2.5)$和$(1, 2.5)$；小明距近树0.5m，位置坐标为$(0.5, 1)$（或$(-0.5, 1)$）。
将$(1, 2.5)$代入方程：$a + k = 2.5$；
将$(0.5, 1)$代入方程：$0.25a + k = 1$。
联立解得：$a=2$，$k=0.5$。
4. ($★★$)如图22.3 - 11,人工喷泉有一个竖直的喷水枪$AB$,喷水口$A距地面2m$,喷出水流的运动路线是抛物线,如果水流的最高点$P到喷水枪AB所在直线的距离为1m$,且到地面的距离为$3.6m$,求水流的落地点$C到水枪底部B$的距离。
答案
$ 2.5m $
解析
解：以水枪底部$ B $为原点，地面为$ x $轴，$ AB $所在直线为$ y $轴建立直角坐标系。
则点$ A(0,2) $，最高点$ P(1,3.6) $。
设抛物线解析式为$ y=a(x-1)^2+3.6 $，
将$ A(0,2) $代入得：$ 2=a(0-1)^2+3.6 $，
解得$ a=-1.6 $，
故抛物线解析式为$ y=-1.6(x-1)^2+3.6 $。
令$ y=0 $，则$ 0=-1.6(x-1)^2+3.6 $，
整理得$ (x-1)^2=\frac{3.6}{1.6}=\frac{9}{4} $，
解得$ x=1\pm\frac{3}{2} $。
因落地点在右侧，取$ x=1+\frac{3}{2}=2.5 $。
故水流落地点$ C $到水枪底部$ B $的距离为$ 2.5m $。
则点$ A(0,2) $，最高点$ P(1,3.6) $。
设抛物线解析式为$ y=a(x-1)^2+3.6 $，
将$ A(0,2) $代入得：$ 2=a(0-1)^2+3.6 $，
解得$ a=-1.6 $，
故抛物线解析式为$ y=-1.6(x-1)^2+3.6 $。
令$ y=0 $，则$ 0=-1.6(x-1)^2+3.6 $，
整理得$ (x-1)^2=\frac{3.6}{1.6}=\frac{9}{4} $，
解得$ x=1\pm\frac{3}{2} $。
因落地点在右侧，取$ x=1+\frac{3}{2}=2.5 $。
故水流落地点$ C $到水枪底部$ B $的距离为$ 2.5m $。
