1. 如图,$AB是\odot O$的直径,$AD$是弦,$C是优弧\overset{\frown}{ABD}$的中点,$CE\perp BD于点E$,连接$BC$.
(1)求证：$BC平分\angle ABE$；
(2)求证：$AB - DE = BE$.

证明：(1) 连接 $ AC $，$ DC $。
$\because C$ 是优弧 $\overset{\frown}{ABD}$ 的中点，
$\therefore \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{DC}$，
$\therefore \angle CAD = \angle CDA = \angle CBA$。
$\because \angle CAD + \angle CBD = \angle CBD + \angle CBE = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle CAD = \angle CBE = \angle CBA$，
$\therefore BC$ 平分 $\angle ABE$；
(2) 过点 $ C $ 作 $ CF \perp AB $ 于点 $ F $。
$\because \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{DC}$，$\therefore AC = DC$。
$\because CE \perp BD$，$CF \perp AB$，
$\therefore \angle AFC = \angle E = 90^{\circ}$。
又 $\because \angle CAB = \angle CDB$，
$\therefore \triangle ACF \cong \triangle DCE$，$\therefore AF = DE$，
由 (1) 得 $\triangle CBE \cong \triangle CBF$，
$\therefore BF = BE$，
$\therefore AB - DE = AB - AF = BF = BE$。

2. 如图,$PA$,$PB是\odot O$的弦,且$PA＞PB$,弦$CD\perp PA于点E$,$C是\overset{\frown}{AB}$的中点.
(1)求证：$AE = PE - PB$；
(2)若$PB// CD$,$PE = 5$,$BP = 3$,求$\odot O$的半径.

解：(1) 过点 $ C $ 作 $ CF \perp PB $，垂足为 $ F $，连接 $ CA $，$ CB $，$ CP $，
$\therefore \triangle PCE \cong \triangle PCF$，
$\triangle CAE \cong \triangle CBF$，
$\therefore AE = BF$，$PE = PF$，
$\therefore AE = BF = PF - PB = PE - PB$；
(2) 连接 $ AB $。$\because CD \perp PA$，$PB // CD$
$\therefore \angle APB = 90^{\circ}$，
$\therefore AB$ 是 $\odot O$ 的直径。
由 (1) 得 $ AE = PE - BP = 2 $，
$\therefore AP = 7$，
$\therefore AB = \sqrt{7^{2} + 3^{2}} = \sqrt{58}$，
$\therefore \odot O$ 的半径为 $\frac{\sqrt{58}}{2}$。

3. (2024 湖北模拟)如图,$\triangle ABC内接于\odot O$,$\angle A = 90^{\circ}$,$D为\overset{\frown}{ACB}$的中点,$DE\perp BC于点E$,连接$BD$.
(1)求证：$\angle C = 2\angle CBD$；
(2)若$AB = 8$,$CE = 2$,求$\odot O$的半径.

解：(1) 连接 $ DO $ 并延长交 $ AB $ 于点 $ H $，连接 $ OA $，$ DA $。$\because \angle A = 90^{\circ}$，
$\therefore BC$ 为 $\odot O$ 的直径，
$\therefore OB = OA$，
$\because D$ 为 $\overset{\frown}{ACB}$ 的中点，
$\therefore DA = DB$，$\therefore DH \perp AB$，
$\therefore \angle DHB = \angle A = 90^{\circ}$，
$\therefore AC // DH$，
$\therefore \angle C = \angle COD = 2 \angle CBD$；
(2) 设 $ OB = OD = OC = r $，
$\because DH \perp AB$，$DE \perp BC$，
$\therefore \angle DEO = \angle OHB = 90^{\circ}$，
$BH = \frac{1}{2}AB = 4$，
又 $\because \angle DOE = \angle BOH$，
$\therefore \triangle ODE \cong \triangle OBH(AAS)$，
$\therefore DE = BH = 4$，
$\because CE = 2$，$\therefore OE = r - 2$，
$\because OE^{2} + DE^{2} = OD^{2}$，
$\therefore (r - 2)^{2} + 4^{2} = r^{2}$，
解得 $ r = 5 $，即 $\odot O$ 的半径为 $ 5 $。