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6. 为加快西部大开发，某地决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程. 如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过$6$个月才能完成；现在甲、乙两工程队先共同施工$4$个月，剩下的由乙工程队单独施工，则刚好如期完成. 原来规定修好这条公路需多长时间？
答案
【解析】：设原来规定修好这条公路需$x$个月，则甲工程队单独完成需要$x$个月，乙工程队单独完成需要$(x + 6)$个月。
把工作总量看成单位“$1$”，根据工作效率$=$工作总量$÷$工作时间，可得甲工程队的工作效率为$\frac{1}{x}$，乙工程队的工作效率为$\frac{1}{x + 6}$。
甲、乙两工程队先共同施工$4$个月，根据工作量$=$工作效率$×$工作时间，可知甲、乙共同完成的工作量为$4×(\frac{1}{x}+\frac{1}{x + 6})$。
剩下的由乙工程队单独施工，乙单独施工的时间为$(x - 4)$个月，乙单独完成的工作量为$(x - 4)×\frac{1}{x + 6}$。
因为刚好如期完成，即总的工作量为单位“$1$”，那么可列方程：
$4×(\frac{1}{x}+\frac{1}{x + 6})+(x - 4)×\frac{1}{x + 6}=1$
去括号得：$\frac{4}{x}+\frac{4}{x + 6}+\frac{x - 4}{x + 6}=1$
合并同类项得：$\frac{4}{x}+\frac{4 + x - 4}{x + 6}=1$，即$\frac{4}{x}+\frac{x}{x + 6}=1$
方程两边同时乘以$x(x + 6)$去分母得：
$4(x + 6)+x\cdot x=x(x + 6)$
去括号得：$4x+24+x^{2}=x^{2}+6x$
移项得：$x^{2}-x^{2}+4x - 6x=-24$
合并同类项得：$-2x=-24$
系数化为$1$得：$x = 12$。
经检验，当$x = 12$时，$x(x + 6)=12×(12 + 6)=12×18\neq0$，所以$x = 12$是原方程的解，且符合题意。
【答案】：$12$个月
把工作总量看成单位“$1$”，根据工作效率$=$工作总量$÷$工作时间，可得甲工程队的工作效率为$\frac{1}{x}$，乙工程队的工作效率为$\frac{1}{x + 6}$。
甲、乙两工程队先共同施工$4$个月，根据工作量$=$工作效率$×$工作时间，可知甲、乙共同完成的工作量为$4×(\frac{1}{x}+\frac{1}{x + 6})$。
剩下的由乙工程队单独施工，乙单独施工的时间为$(x - 4)$个月，乙单独完成的工作量为$(x - 4)×\frac{1}{x + 6}$。
因为刚好如期完成，即总的工作量为单位“$1$”，那么可列方程：
$4×(\frac{1}{x}+\frac{1}{x + 6})+(x - 4)×\frac{1}{x + 6}=1$
去括号得：$\frac{4}{x}+\frac{4}{x + 6}+\frac{x - 4}{x + 6}=1$
合并同类项得：$\frac{4}{x}+\frac{4 + x - 4}{x + 6}=1$，即$\frac{4}{x}+\frac{x}{x + 6}=1$
方程两边同时乘以$x(x + 6)$去分母得：
$4(x + 6)+x\cdot x=x(x + 6)$
去括号得：$4x+24+x^{2}=x^{2}+6x$
移项得：$x^{2}-x^{2}+4x - 6x=-24$
合并同类项得：$-2x=-24$
系数化为$1$得：$x = 12$。
经检验，当$x = 12$时，$x(x + 6)=12×(12 + 6)=12×18\neq0$，所以$x = 12$是原方程的解，且符合题意。
【答案】：$12$个月
7. 某工程指挥部要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书. 从投标书中得知：甲工程队单独完成这项工程所需天数是乙工程队单独完成这项工程所需天数的$\frac {2}{3}$；若由甲工程队先做$10$天，剩下的工程再由甲、乙两工程队合作，$30$天可以完成.
(1)求甲、乙两工程队单独完成这项工程各需多少天.
(2)已知甲工程队每天的施工费用为$0.84$万元，乙工程队每天的施工费用为$0.56$万元. 工程预算的总施工费用为$50$万元. 为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两工程队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由.
(1)求甲、乙两工程队单独完成这项工程各需多少天.
(2)已知甲工程队每天的施工费用为$0.84$万元，乙工程队每天的施工费用为$0.56$万元. 工程预算的总施工费用为$50$万元. 为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两工程队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由.
答案
【解析】：
(1)设乙工程队单独完成这项工程需要$x$天，则甲工程队单独完成这项工程需要$\frac{2}{3}x$天。
将工作总量看作单位“$1$”，根据工作效率$=$工作总量$÷$工作时间，可得甲工程队的工作效率为$\frac{1}{\frac{2}{3}x}=\frac{3}{2x}$，乙工程队的工作效率为$\frac{1}{x}$。
已知甲先做$10$天，剩下的工程甲、乙合作$30$天完成，根据工作总量$=$工作时间$×$工作效率，可列方程：
$\frac{3}{2x}×10 + (\frac{3}{2x}+\frac{1}{x})×30 = 1$
$\frac{30}{2x}+(\frac{3 + 2}{2x})×30 = 1$
$\frac{15}{x}+\frac{5}{2x}×30 = 1$
$\frac{15}{x}+\frac{150}{2x}=1$
$\frac{15}{x}+\frac{75}{x}=1$
$\frac{15 + 75}{x}=1$
$\frac{90}{x}=1$
解得$x = 90$。
经检验，$x = 90$是原方程的解，且符合题意。
则甲工程队单独完成这项工程需要的天数为：$\frac{2}{3}×90 = 60$（天）。
(2)甲、乙两工程队合作完成这项工程需要的时间：
根据工作时间$=$工作总量$÷$工作效率和，甲、乙工作效率和为$\frac{1}{60}+\frac{1}{90}$
$\frac{1}{60}+\frac{1}{90}=\frac{3 + 2}{180}=\frac{5}{180}=\frac{1}{36}$
所以合作完成需要的时间为$1÷\frac{1}{36}=36$（天）。
甲、乙两工程队合作完成这项工程的施工费用为：
$(0.84 + 0.56)×36$
$=1.4×36$
$= 50.4$（万元）。
因为$50.4\gt50$，所以工程预算的施工费用不够用。
需追加预算的金额为：$50.4 - 50 = 0.4$（万元）。
【答案】：(1)甲工程队单独完成这项工程需$60$天，乙工程队单独完成这项工程需$90$天；(2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算$0.4$万元。
(1)设乙工程队单独完成这项工程需要$x$天，则甲工程队单独完成这项工程需要$\frac{2}{3}x$天。
将工作总量看作单位“$1$”，根据工作效率$=$工作总量$÷$工作时间，可得甲工程队的工作效率为$\frac{1}{\frac{2}{3}x}=\frac{3}{2x}$，乙工程队的工作效率为$\frac{1}{x}$。
已知甲先做$10$天，剩下的工程甲、乙合作$30$天完成，根据工作总量$=$工作时间$×$工作效率，可列方程：
$\frac{3}{2x}×10 + (\frac{3}{2x}+\frac{1}{x})×30 = 1$
$\frac{30}{2x}+(\frac{3 + 2}{2x})×30 = 1$
$\frac{15}{x}+\frac{5}{2x}×30 = 1$
$\frac{15}{x}+\frac{150}{2x}=1$
$\frac{15}{x}+\frac{75}{x}=1$
$\frac{15 + 75}{x}=1$
$\frac{90}{x}=1$
解得$x = 90$。
经检验，$x = 90$是原方程的解，且符合题意。
则甲工程队单独完成这项工程需要的天数为：$\frac{2}{3}×90 = 60$（天）。
(2)甲、乙两工程队合作完成这项工程需要的时间：
根据工作时间$=$工作总量$÷$工作效率和，甲、乙工作效率和为$\frac{1}{60}+\frac{1}{90}$
$\frac{1}{60}+\frac{1}{90}=\frac{3 + 2}{180}=\frac{5}{180}=\frac{1}{36}$
所以合作完成需要的时间为$1÷\frac{1}{36}=36$（天）。
甲、乙两工程队合作完成这项工程的施工费用为：
$(0.84 + 0.56)×36$
$=1.4×36$
$= 50.4$（万元）。
因为$50.4\gt50$，所以工程预算的施工费用不够用。
需追加预算的金额为：$50.4 - 50 = 0.4$（万元）。
【答案】：(1)甲工程队单独完成这项工程需$60$天，乙工程队单独完成这项工程需$90$天；(2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算$0.4$万元。
