登录
8. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ AD $ 是 $ BC $ 边上的高，$ \tan B = \cos ∠ DAC $.
(1)求证：$ AC = BD $；
(2)若 $ \sin C = \dfrac{12}{13} $，$ BC = 12 $，求 $ AD $ 的长.
(1)求证：$ AC = BD $；
(2)若 $ \sin C = \dfrac{12}{13} $，$ BC = 12 $，求 $ AD $ 的长.
答案
8. (1)略 (2)8
解析
(1)证明：因为AD是BC边上的高，所以∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，tanB=AD/BD。
在Rt△ADC中，cos∠DAC=AD/AC。
因为tanB=cos∠DAC，所以AD/BD=AD/AC，所以AC=BD。
(2)解：在Rt△ADC中，sinC=AD/AC=12/13，设AD=12k，AC=13k(k＞0)。
则CD=√(AC²-AD²)=√((13k)²-(12k)²)=5k。
由(1)知AC=BD=13k，所以BC=BD+CD=13k+5k=18k。
因为BC=12，所以18k=12，解得k=2/3。
所以AD=12k=12×(2/3)=8。
在Rt△ABD中，tanB=AD/BD。
在Rt△ADC中，cos∠DAC=AD/AC。
因为tanB=cos∠DAC，所以AD/BD=AD/AC，所以AC=BD。
(2)解：在Rt△ADC中，sinC=AD/AC=12/13，设AD=12k，AC=13k(k＞0)。
则CD=√(AC²-AD²)=√((13k)²-(12k)²)=5k。
由(1)知AC=BD=13k，所以BC=BD+CD=13k+5k=18k。
因为BC=12，所以18k=12，解得k=2/3。
所以AD=12k=12×(2/3)=8。
9. 如图，在等腰 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ AC = 8 $，$ D $ 是 $ AC $ 上的一点，若 $ \tan ∠ DBA = \dfrac{1}{3} $.
(1)求 $ AD $ 的长；
(2)求 $ \sin ∠ DBC $ 的值.
(1)求 $ AD $ 的长；
(2)求 $ \sin ∠ DBC $ 的值.
答案
9. (1)$AD = 4$ (2)$\sin∠ DBC = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$
解析
(1) 解：过点 $ D $ 作 $ DE ⊥ AB $ 于点 $ E $。
在等腰 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ AC = 8 $，
$\therefore BC = AC = 8$，$ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = 8\sqrt{2}$，$∠ A = 45°$。
设 $ AD = x $，则 $ CD = 8 - x $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ADE $ 中，$ AE = DE = \dfrac{\sqrt{2}}{2}x $。
$\therefore BE = AB - AE = 8\sqrt{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}x$。
在 $ \mathrm{Rt}△ BDE $ 中，$\tan∠ DBA = \dfrac{DE}{BE} = \dfrac{1}{3}$，
即 $\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}x}{8\sqrt{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}x} = \dfrac{1}{3}$，解得 $ x = 4 $。
$\therefore AD = 4$。
(2) 解：由(1)知 $ CD = 8 - AD = 4 $。
在 $ \mathrm{Rt}△ BCD $ 中，$ BD = \sqrt{CD^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = 4\sqrt{5} $。
$\therefore \sin∠ DBC = \dfrac{CD}{BD} = \dfrac{4}{4\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$。
在等腰 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ AC = 8 $，
$\therefore BC = AC = 8$，$ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = 8\sqrt{2}$，$∠ A = 45°$。
设 $ AD = x $，则 $ CD = 8 - x $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ADE $ 中，$ AE = DE = \dfrac{\sqrt{2}}{2}x $。
$\therefore BE = AB - AE = 8\sqrt{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}x$。
在 $ \mathrm{Rt}△ BDE $ 中，$\tan∠ DBA = \dfrac{DE}{BE} = \dfrac{1}{3}$，
即 $\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}x}{8\sqrt{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}x} = \dfrac{1}{3}$，解得 $ x = 4 $。
$\therefore AD = 4$。
(2) 解：由(1)知 $ CD = 8 - AD = 4 $。
在 $ \mathrm{Rt}△ BCD $ 中，$ BD = \sqrt{CD^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = 4\sqrt{5} $。
$\therefore \sin∠ DBC = \dfrac{CD}{BD} = \dfrac{4}{4\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$。
10. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ BAC = 90^{\circ} $，$ AB = AC $，点 $ D $ 为边 $ AC $ 的中点，$ DE ⊥ BC $ 于点 $ E $，连接 $ BD $，求 $ \tan ∠ DBC $ 的值.
答案
10. $\dfrac{1}{3}$
解析
解：设 $ AB = AC = 2a $，则 $ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = 2\sqrt{2}a $。
∵ 点 $ D $ 为 $ AC $ 中点，
∴ $ AD = DC = a $。
∵ $ DE ⊥ BC $，$ ∠ C = 45° $，
∴ $ △ DEC $ 为等腰直角三角形，$ DE = EC = \dfrac{\sqrt{2}}{2}DC = \dfrac{\sqrt{2}}{2}a $。
∴ $ BE = BC - EC = 2\sqrt{2}a - \dfrac{\sqrt{2}}{2}a = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}a $。
在 $ \mathrm{Rt}△ BDE $ 中，$ \tan ∠ DBC = \dfrac{DE}{BE} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}a}{\dfrac{3\sqrt{2}}{2}a} = \dfrac{1}{3} $。
$\dfrac{1}{3}$
∵ 点 $ D $ 为 $ AC $ 中点，
∴ $ AD = DC = a $。
∵ $ DE ⊥ BC $，$ ∠ C = 45° $，
∴ $ △ DEC $ 为等腰直角三角形，$ DE = EC = \dfrac{\sqrt{2}}{2}DC = \dfrac{\sqrt{2}}{2}a $。
∴ $ BE = BC - EC = 2\sqrt{2}a - \dfrac{\sqrt{2}}{2}a = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}a $。
在 $ \mathrm{Rt}△ BDE $ 中，$ \tan ∠ DBC = \dfrac{DE}{BE} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}a}{\dfrac{3\sqrt{2}}{2}a} = \dfrac{1}{3} $。
$\dfrac{1}{3}$
11. 如图，将矩形 $ ABCD $ 沿 $ CE $ 折叠，点 $ B $ 恰好落在边 $ AD $ 的点 $ F $ 处，若 $ AB : BC = 2 : 3 $，求 $ \tan ∠ DCF $ 的值.
答案
11. $\tan∠ DCF = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$
解析
解：设 $ AB = 2k $，$ BC = 3k $（$ k ＞ 0 $）。
因为四边形 $ ABCD $ 是矩形，所以 $ CD = AB = 2k $，$ AD = BC = 3k $，$ ∠ D = 90° $。
由折叠性质得：$ CF = BC = 3k $。
在 $ \mathrm{Rt}△ CDF $ 中，$ DF = \sqrt{CF^2 - CD^2} = \sqrt{(3k)^2 - (2k)^2} = \sqrt{5}k $。
$ \tan∠ DCF = \dfrac{DF}{CD} = \dfrac{\sqrt{5}k}{2k} = \dfrac{\sqrt{5}}{2} $。
故答案为：$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
因为四边形 $ ABCD $ 是矩形，所以 $ CD = AB = 2k $，$ AD = BC = 3k $，$ ∠ D = 90° $。
由折叠性质得：$ CF = BC = 3k $。
在 $ \mathrm{Rt}△ CDF $ 中，$ DF = \sqrt{CF^2 - CD^2} = \sqrt{(3k)^2 - (2k)^2} = \sqrt{5}k $。
$ \tan∠ DCF = \dfrac{DF}{CD} = \dfrac{\sqrt{5}k}{2k} = \dfrac{\sqrt{5}}{2} $。
故答案为：$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
12. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ CD ⊥ AB $，垂足为 $ D $.若 $ AB = 12 $，$ CD = 6 $，$ \tan A = \dfrac{3}{2} $，求 $ \sin B + \cos B $ 的值.
答案
12. $\dfrac{7}{5}$
解析
解：在$Rt△ ACD$中，$\tan A=\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{3}{2}$，$CD=6$，则$\dfrac{6}{AD}=\dfrac{3}{2}$，解得$AD=4$。
因为$AB=12$，所以$BD=AB - AD=12 - 4=8$。
在$Rt△ BCD$中，$BC=\sqrt{CD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$。
$\sin B=\dfrac{CD}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$，$\cos B=\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}$。
所以$\sin B+\cos B=\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5}=\dfrac{7}{5}$。
$\dfrac{7}{5}$
因为$AB=12$，所以$BD=AB - AD=12 - 4=8$。
在$Rt△ BCD$中，$BC=\sqrt{CD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$。
$\sin B=\dfrac{CD}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$，$\cos B=\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}$。
所以$\sin B+\cos B=\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5}=\dfrac{7}{5}$。
$\dfrac{7}{5}$
