21.(10分)四边形$ABCD$的对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,$OA=OC$,$OB=OD+CD$.
(1)如图①，过点$A$作$AE // DC$，交$BD$于点$E$.
求证：$AE=BE$.
(2)如图②，将$\triangle ABD$沿$AB$翻折得到$\triangle ABD'$.
求证：$BD' // CD$.

(1)证明：
∵AE//DC，
∴∠OAE=∠OCD，∠OEA=∠ODC（两直线平行，内错角相等）。
∵OA=OC，∠AOE=∠COD（对顶角相等），
∴△OAE≌△OCD（AAS）。
∴AE=CD，OE=OD（全等三角形对应边相等）。
∵OB=OD+CD，OD=OE，CD=AE，
∴OB=OE+AE。
∵E在BD上，∴OB=OE+EB。
∴OE+EB=OE+AE，即EB=AE。
∴AE=BE。
(2)证明：
由翻折性质得∠ABD'=∠ABD。
设∠ABD=α，∵AE=BE（已证），∴∠BAE=α（等边对等角）。
△ABE中，∠AEB=180°-2α（三角形内角和定理）。
∵AE//DC，∴∠AEB=∠CDB=180°-2α（两直线平行，同位角相等）。
在△BCD中，∠DBC=α，∠CDB=180°-2α，
∴∠BCD=180°-∠DBC-∠CDB=180°-α-(180°-2α)=α。
∵∠ABD'=α=∠BCD，
∴BD'//CD（同位角相等，两直线平行）。