7. 如图，已知点$F$是$\triangle ABC$的重心，连接$AF$并延长交$BC$于点$G$，过点$F$作直线分别交$AB$，$AC$于点$D$，$E$，则下列说法正确的是 ()

A.$BG = CG$
B.$\angle BAG = \angle CAG$
C.$DF = EF$
D.$BD = CE$

A

∵F是△ABC的重心，∴AG是△ABC的中线，∴BG=CG，A正确；AG不一定是角平分线，∠BAG不一定等于∠CAG，B错误；DE是过F的任意直线，DF不一定等于EF，BD不一定等于CE，C、D错误。

8. 将两把直尺按如图所示的方式放置，若$\angle 2 = 125^{\circ}$，则$\angle 1$的度数为 ()

A.$115^{\circ}$
B.$125^{\circ}$
C.$135^{\circ}$
D.$145^{\circ}$

B

如图，记直尺的两边分别为a、b和c、d，其中a//b，c//d。∠2与∠3是a、b被c所截的同旁内角，因为a//b，所以∠2+∠3=180°，则∠3=180°-∠2=180°-125°=55°。∠1与∠3是c、d被b所截的同旁内角，因为c//d，所以∠1+∠3=180°，则∠1=180°-∠3=180°-55°=125°。

9. 在$\triangle ABC$中，$\angle A=\frac{1}{2}\angle B=\frac{1}{3}\angle C$，则这个三角形是 ()

A.锐角三角形
B.等腰三角形
C.钝角三角形
D.含$30^{\circ}$角的直角三角形

D

设$\angle A=x$，则根据题意有：
$\angle B=2x$，
$\angle C=3x$。
根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和为$180°$，即：
$x+2x+3x=180°$，
$6x=180°$，
$x=30°$。
由此可得：
$\angle A=30°$，
$\angle B=60°$，
$\angle C=90°$。
因为$\angle C=90°$，所以$\triangle ABC$是直角三角形，并且含有一个$30°$的角。

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BCA = 40^{\circ}$，$\angle ABC = 60^{\circ}$. 若$BF$是$\triangle ABC$的高，与角平分线$AE$相交于点$O$，则$\angle EOF$的度数为 ()

A.$130^{\circ}$
B.$70^{\circ}$
C.$110^{\circ}$
D.$100^{\circ}$

A

在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠BCA=180°-60°-40°=80°。
AE是角平分线，故∠BAE=∠EAC=40°。
BF是高，所以∠AFB=90°。在Rt△ABF中，∠ABF=90°-∠BAF=90°-80°=10°。
在△AOB中，∠AOB=180°-∠BAO-∠ABO=180°-40°-10°=130°。
∠EOF与∠AOB是对顶角，故∠EOF=∠AOB=130°。

11. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C$的对边是；在$\triangle ABD$中，$\angle B$的对边是；在$\triangle ACD$中，边$AC$所对的角是$.$

AB；AD；$\angle ADC$

在三角形中，一个角的对边是指这个角所对的那条边。
在$\triangle ABC$中，$\angle C$所对的边是$AB$；
在$\triangle ABD$中，$\angle B$所对的边是$AD$；
在$\triangle ACD$中，边$AC$所对的角是$\angle ADC$。

12. 一个三角形的两边长分别是$2$和$5$，若第三边的长为奇数，则第三边的长是.

$5$

设第三边长为$x$，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即$5 + 2\gt x$且$x\gt5 - 2$，可得$3\lt x\lt7$。
又因为第三边的长为奇数，在$3\lt x\lt7$范围内的奇数只有$5$，所以第三边的长是$5$。

13. 如图，在$\triangle ABC$中，$AD$为中线，$DE$和$DF$分别为$\triangle ADB$和$\triangle ADC$的高. 若$AB = 6$，$AC = 8$，$DF = 3$，则$DE =$.

4

∵AD为△ABC中线，∴BD=CD。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴S_△ADB=$\frac{1}{2}$AB·DE，S_△ADC=$\frac{1}{2}$AC·DF。
∵S_△ADB=S_△ADC（等底同高），
∴$\frac{1}{2}$×6·DE=$\frac{1}{2}$×8×3，
解得DE=4。

14. 如图，点$D$在$BC$的延长线上，$DE \perp AB$于点$E$. 若$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle D = 20^{\circ}$，则$\angle ACB$的度数是.

$80^{\circ}$（由于是填空题，此处直接填写度数结果）

在$Rt \bigtriangleup AED$中，$\angle EAD = \angle A = 30^{\circ}$（已知）。
根据直角三角形两锐角互余的性质，有$\angle AED = 90^{\circ} - \angle EAD = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$。
又因为对顶角相等，所以$\angle BED=\angle AED = 60^{\circ}$。
在$\bigtriangleup BED$中，已知$\angle D = 20^{\circ}$，根据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），
$\angle B = \angle BED- \angle D= 60^{\circ} - 20^{\circ} = 40^{\circ}$。
在$\bigtriangleup ABC$中，已知$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle B = 40^{\circ}$，
根据三角形内角和定理（三角形内角和为$180^{\circ}$），
$\angle ACB = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 40^{\circ} = 110 - 40= 80^{\circ}$。

15. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC$，$\angle ACB$的平分线相交于点$O$. 当$\angle A = 60^{\circ}$时，$\angle BOC =$.

$120°$

1. 已知 $\angle A = 60°$，所以 $\triangle ABC$ 的内角和为 $180°$，即 $\angle ABC + \angle ACB = 120°$。
2. 因为 $O$ 是 $\angle ABC$ 和 $\angle ACB$ 的平分线的交点，所以 $\angle OBC = \frac{1}{2} \angle ABC$，$\angle OCB = \frac{1}{2} \angle ACB$。
3. 因此，$\angle OBC + \angle OCB = \frac{1}{2} (\angle ABC + \angle ACB) = \frac{1}{2} × 120° = 60°$。
4. 在 $\triangle BOC$ 中，$\angle BOC = 180° - (\angle OBC + \angle OCB) = 180° - 60° = 120°$。