1. 如图,在$△ ABC$中,$AD⊥ BC$于点$D$,$DE⊥ AB$于点$E$,$DF⊥ AC$于点$F$. 求证:$AE· AB=AF· AC$.

AE·AB=AF·AC

∵AD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠AED=∠ADB=90°，
又∠EAD=∠DAB（公共角），
∴△AED∽△ADB，
∴AE/AD=AD/AB，即AD²=AE·AB.
同理，∵AD⊥BC，DF⊥AC，
∴∠AFD=∠ADC=90°，
又∠FAD=∠CAD（公共角），
∴△AFD∽△ADC，
∴AF/AD=AD/AC，即AD²=AF·AC.
∴AE·AB=AF·AC.

2. 如图,$CE$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边$AB$上的高,在$EC$的延长线上任取一点$P$,连接$AP$,$BG⊥ AP$于点$G$,交$CE$于点$D$.
(1)求证:$△ AEP∽△ DEB$;
(2)求证:$CE^{2}=PE· DE$.

(1)见解析；(2)见解析

(1)∵CE是Rt△ABC斜边AB上的高，∴∠AEC=∠CEB=90°，∴∠AEP=∠DEB=90°.
∵BG⊥AP，∴∠AGB=90°，∴∠GAB+∠ABG=90°.
∵∠AEP=90°，∴∠PAE+∠APE=90°.
∵∠PAE=∠GAB，∴∠ABG=∠APE，即∠DBE=∠APE.
∴△AEP∽△DEB(AA).
(2)∵△AEP∽△DEB，∴$\frac{AE}{DE}=\frac{PE}{EB}$，∴AE·EB=PE·DE.
∵CE是Rt△ABC斜边AB上的高，∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACE=∠CBE.
又∠AEC=∠CEB=90°，∴△ACE∽△CBE，∴$\frac{AE}{CE}=\frac{CE}{EB}$，∴CE²=AE·EB.
∴CE²=PE·DE.

3. 如图,在$△ ABC$中,点$D$,$E$分别在$BC$和$AC$上,$G$是$BE$上一点,且$∠ BAD=∠ BGD=∠ C$,连接$AG$.
(1)求证:$△ BDG∽△ BEC$;
(2)求证:$\frac{BG}{AB}=\frac{AB}{BE}$.

(1)证明见解析；(2)证明见解析。

(1)在△BDG和△BEC中，∠BGD=∠C（已知），∠DBG=∠EBC（公共角），∴△BDG∽△BEC（AA）。
(2)在△ABD和△CBA中，∠BAD=∠C（已知），∠ABD=∠CBA（公共角），∴△ABD∽△CBA（AA），∴AB/BC=BD/AB，即AB²=BD·BC。由(1)知△BDG∽△BEC，∴BD/BE=BG/BC，即BD·BC=BG·BE。∴AB²=BG·BE，即BG/AB=AB/BE。

4. 如图,在矩形$ABCD$中,$AE⊥ BD$于点$E$,$P$是边$AD$上一点,$PE⊥ EC$.
(1)求证:$△ AEP∽△ DEC$;
(2)求证:$DE· AP=AD· BE$.

(1)证明见解析；(2)证明见解析。

(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AB//CD，AD//BC。∵AE⊥BD，PE⊥EC，∴∠AED=∠PEC=90°。∴∠AEP+∠PED=90°，∠DEC+∠PED=90°，∴∠AEP=∠DEC。∵∠PAE+∠EAD=90°，∠ADE+∠EAD=90°，∴∠PAE=∠ADE。∵AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，又∠ADE=∠ABD（△ABE∽△DAE），∴∠PAE=∠CDE。∴△AEP∽△DEC（AA）。
(2)由(1)知△AEP∽△DEC，∴AP/DC=AE/DE，即AP·DE=AE·DC。∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB，∴AP·DE=AE·AB。∵AE⊥BD，∠BAD=90°，∴△ABE∽△DBA，∴AE/AD=BE/AB，即AE·AB=AD·BE。∴AP·DE=AD·BE，即DE·AP=AD·BE。