1. 化简$\frac{m^2+4m+4}{n^2-4} ÷ \frac{m^2+2m}{n-2}$的结果是（）

A.$\frac{m}{m+2}$
B.$\frac{m+2}{n+2}$
C.$\frac{m(m+2)}{n+2}$
D.$\frac{m+2}{m(n+2)}$

1. D

【分析】
解决这道分式化简题，首先要回忆分式除法的运算法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。解题步骤可分为三步：第一步将除法运算转化为乘法运算；第二步对分子、分母中的多项式分别进行因式分解（用到完全平方公式、平方差公式、提取公因式法）；第三步约去分子分母的公因式，得到最简结果后对应选项即可。
【解析】
根据分式除法法则，先将除法转化为乘法：
原式$=\frac{m^2+4m+4}{n^2-4} × \frac{n-2}{m^2+2m}$
对各多项式因式分解：
$m^2+4m+4=(m+2)^2$，$n^2-4=(n+2)(n-2)$，$m^2+2m=m(m+2)$
代入后得：
$=\frac{(m+2)^2}{(n+2)(n-2)} × \frac{n-2}{m(m+2)}$
约去分子分母的公因式$(m+2)$和$(n-2)$：
$=\frac{m+2}{m(n+2)}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
分式除法法则；因式分解；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查分式除法的运算规则和因式分解的应用，解题核心是先将除法转化为乘法，再通过因式分解、约分得到最简结果，计算时需注意公因式要找全，避免漏约或者错约。
【难度系数】
0.8

2. 下列各式：①$\frac{3x}{x}·\frac{x}{3x}=\frac{1}{x}$；②$a÷ b×\frac{1}{b}=a$；③$\frac{a}{a^2 -1}÷\frac{a^2}{a^2 +a}=\frac{1}{a -1}$；④$8a^2b^2÷(-\frac{3a}{4b^2})=-6a^3b$；⑤$(-\frac{a^2}{b})·(-\frac{b^2}{a})÷(ab)^2=\frac{1}{ab}$。其中计算结果正确的有（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

2. B

【分析】
本题考查分式乘除混合运算的正误判断，解题思路如下：首先明确分式乘除混合运算的规则：运算顺序为从左到右依次计算，遇到除法先转化为乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数），再对分子分母中的多项式因式分解，最后约分化简，将每个式子的计算结果和原式给出的结果对比，统计正确的个数即可。
【解析】
我们逐个计算每个式子的结果：
① $\frac{3x}{x}·\frac{x}{3x} = \frac{3x·x}{x·3x} = \frac{3x^2}{3x^2}=1$，不等于$\frac{1}{x}$，故①错误；
② $a÷ b×\frac{1}{b}=a×\frac{1}{b}×\frac{1}{b}=\frac{a}{b^2}$，不等于$a$，故②错误；
③ 先因式分解：$a^2-1=(a+1)(a-1)$，$a^2+a=a(a+1)$，则
$\frac{a}{a^2 -1}÷\frac{a^2}{a^2 +a}=\frac{a}{(a+1)(a-1)}×\frac{a(a+1)}{a^2}$，约分后得$\frac{1}{a-1}$，故③正确；
④ $8a^2b^2÷(-\frac{3a}{4b^2})=8a^2b^2×(-\frac{4b^2}{3a})=-\frac{32ab^4}{3}$，不等于$-6a^3b$，故④错误；
⑤ 先算乘法，再算除法：
$(-\frac{a^2}{b})·(-\frac{b^2}{a})÷(ab)^2=\frac{a^2b^2}{ab}÷a^2b^2=ab×\frac{1}{a^2b^2}=\frac{1}{ab}$，故⑤正确。
综上，正确的是③⑤，共2个。
【答案】
B
【知识点】
分式乘除运算，分式约分，因式分解
【点评】
本题易错点是运算顺序混乱，部分同学计算②时会优先计算$b×\frac{1}{b}$导致判断错误，计算时要严格遵循从左到右的运算顺序，同时注意符号运算和约分的准确性。
【难度系数】
0.6

3. 计算：$\frac{x-2}{x+1} · \frac{x+1}{(x-2)^2} =$ 。

3. $\dfrac{1}{x-2}$

【分析】
这是分式乘法的基础运算题，解题遵循分式乘法的运算逻辑：先观察两个分式的分子、分母，找到其中相同的公因式优先约分，再计算结果，比先做分子分母乘法再约分更简便。首先能发现第一个分式的分子$x-2$、$x+1$，分别和第二个分式的分母$(x-2)^2$、分子$x+1$是公因式，约去公因式后整理就能得到最终结果。
【解析】
根据分式乘法的运算规则，先约去分子分母的公因式：
1. 约去分子和分母中相同的因式$x+1$；
2. 约去分子的$x-2$和分母$(x-2)^2$中的1个$x-2$，分母剩余1个$x-2$。
约分后计算得：
$\frac{x-2}{x+1} · \frac{x+1}{(x-2)^2} = \frac{1}{1}·\frac{1}{x-2} = \frac{1}{x-2}$
（隐含条件：$x≠-1$且$x≠2$，保证原式所有分式有意义）
【答案】
$\dfrac{1}{x-2}$
【知识点】
分式乘法法则，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题，核心考查分式乘法的运算技巧，解题时优先约分再计算可大幅降低运算量，运算时要注意分式有意义的前提是所有分母不为0。
【难度系数】
0.9

4. 化简：$\dfrac{x+3}{x^2 -4x +4} ÷ \dfrac{x^2 +3x}{(x-2)^2} =$ 。

4. $\dfrac{1}{x}$

【分析】
要完成这个分式的化简，首先回忆分式除法的运算法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。解题时第一步先把分子、分母中能因式分解的多项式进行分解，第二步将除法运算转化为乘法运算，第三步约去分子和分母的公因式，即可得到最简结果。
【解析】
解：先对式子中的多项式因式分解：
$x^2-4x+4=(x-2)^2$，$x^2+3x=x(x+3)$
根据分式除法法则，将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{x+3}{(x-2)^2} × \dfrac{(x-2)^2}{x(x+3)}$
约去分子分母的公因式$(x+3)$和$(x-2)^2$（隐含条件：$x≠2$且$x≠0$且$x≠-3$），可得：
原式$=\dfrac{1}{x}$
【答案】
$\dfrac{1}{x}$
【知识点】
分式的除法法则，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题关键是熟练掌握分式除法的运算规则，准确对多项式进行因式分解，约分要找全所有公因式，同时注意分式有意义的隐含限制条件。
【难度系数】
0.8

5. 计算：
(1) $6a^2b ÷ (-\dfrac{a}{2b})^2 · \dfrac{a}{4b^2}$；
(2) $\dfrac{x^2 -4}{x^2 +2x +1} ÷ \dfrac{x-2}{x+1}$；
(3) $\dfrac{a-1}{a+2} · \dfrac{a^2 -4}{a^2 -2a +1} ÷ \dfrac{1}{a^2 -1}$；
(4) $\dfrac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} ÷ \dfrac{x+1}{x-1} · \dfrac{1-x}{x+1}$；

5. 解：(1) 原式=$6a^2b·\dfrac{4b^2}{a^2}·\dfrac{a}{4b^2}=6ab$.
(2) 原式=$\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x+1)^2}·\dfrac{x+1}{x-2}=\dfrac{x+2}{x+1}$.
(3) 原式=$\dfrac{a-1}{a+2}·\dfrac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2}·(a+1)(a-1)=a^2-a-2$.
(4) 原式=$\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}·\dfrac{x-1}{x+1}·\dfrac{1-x}{x+1}=\dfrac{1-x}{x+1}$.

【分析】
分式乘除混合运算的解题思路如下：1. 先确定运算顺序：有乘方先算乘方，再按照从左到右的顺序计算，所有除法运算统一转化为乘法运算；2. 若分子、分母是多项式，先利用平方差公式、完全平方公式等进行因式分解，把多项式转化为因式乘积的形式；3. 约去分子、分母中的公因式，最后将结果化为最简分式或整式。
各小问思考方向：(1)先计算乘方，再转除法为乘法，最后约分计算；(2)(3)(4)先对各分式的分子分母因式分解，再转除法为乘法，约去公因式即可得到结果。
【解析】
(1) 先计算乘方：$(-\dfrac{a}{2b})^2=\dfrac{a^2}{4b^2}$，再将除法转化为乘法：
原式$=6a^2b ÷ \dfrac{a^2}{4b^2} · \dfrac{a}{4b^2}=6a^2b·\dfrac{4b^2}{a^2}·\dfrac{a}{4b^2}$
约去公因式$a^2$、$4b^2$，得$6b·a=6ab$。
(2) 先因式分解：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$x^2+2x+1=(x+1)^2$，再将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x+1)^2}·\dfrac{x+1}{x-2}$
约去公因式$(x-2)$、$(x+1)$，得$\dfrac{x+2}{x+1}$。
(3) 先因式分解：$a^2-4=(a+2)(a-2)$，$a^2-2a+1=(a-1)^2$，$a^2-1=(a+1)(a-1)$，再将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{a-1}{a+2}·\dfrac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2}·(a+1)(a-1)$
约去公因式$(a+2)$、$(a-1)^2$，得$(a-2)(a+1)=a^2 -a -2$。
(4) 先因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$，再将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}·\dfrac{x-1}{x+1}·\dfrac{1-x}{x+1}$
约去公因式$(x+1)$、$(x-1)^2$，得$\dfrac{1-x}{x+1}$。
【答案】
(1) $6ab$；(2) $\dfrac{x+2}{x+1}$；(3) $a^2 -a -2$；(4) $\dfrac{1-x}{x+1}$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考察运算顺序和化简规则，解题时要注意先算乘方再算乘除，除法要统一转为乘法再运算，遇到多项式优先因式分解再约分，计算过程中要留意符号处理，避免因粗心出现错误。
【难度系数】
0.7

6. 先化简，再求值：$\frac{m^2 -1}{m^2 -2m +1} ÷ \frac{1}{m-1}$。其中$m$能使关于$x$的二次三项式$x^2 + mx + \frac{1}{4}$是完全平方式。

6. 解：原式=$\dfrac{(m+1)(m-1)}{(m-1)^2}·(m-1)=m+1$.
∵m能使关于x的二次三项式$x^2+mx+\dfrac{1}{4}$是完全平方公式，
∴m=±1.
∵m-1≠0，
∴m=-1，
∴原式的值为0.

【分析】
解题分为两个环节：第一环节化简分式，先利用平方差公式、完全平方公式对分式的分子、分母因式分解，再将分式除法转化为乘法运算，约分后得到最简结果；第二环节求符合条件的m值，先根据完全平方式的结构特征求出m的可能取值，再结合分式有意义的前提（分母不为0）排除不符合要求的m值，最后将有效m值代入最简式计算结果即可。
【解析】
解：先化简原式：
$\frac{m^2 -1}{m^2 -2m +1} ÷ \frac{1}{m-1}$
$=\frac{(m+1)(m-1)}{(m-1)^2} · (m-1)$
约分后得：$m+1$
再求m的取值：
∵关于x的二次三项式$x^2 + mx + \frac{1}{4}$是完全平方式，
对比完全平方式$a^2±2ab+b^2$，可得$a=x$，$b=\frac{1}{2}$，
∴$mx=±2· x· \frac{1}{2}=±x$，解得$m=±1$
∵分式有意义时分母不能为0，即$m-1≠0$，故$m≠1$，
∴$m=-1$
将$m=-1$代入$m+1$得：原式$=-1+1=0$
【答案】
0
【知识点】
分式化简求值，完全平方式，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算与整式性质结合的基础综合题，考查了分式运算的基本规则和完全平方式的结构特征，解题时要注意分式隐含的分母不为0的限制，避免忽略条件代入错误的m值导致失分。
【难度系数】
0.7