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11.「2026 江苏宿迁泗洪期中，★☆」如图，已知四边形ABCD内接于$\odot O$，连接AC，记$∠ BAC$的度数为$α$，$∠ CAD$的度数为$β$。若$AB=AC$，$AB// CD$，则有（
A.$2α+3β=180°$
B.$3α+4β=360°$
C.$3α+2β=180°$
D.$4α+3β=360°$
C
）A.$2α+3β=180°$
B.$3α+4β=360°$
C.$3α+2β=180°$
D.$4α+3β=360°$
答案
11.C
∵ ∠BAC 的度数为 α,∠CAD 的度数为 β,
∴ ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = α + β,
∵ AB = AC,
∴ ∠B = ∠ACB,
∵ ∠B + ∠ACB + ∠BAC = 180°,
∴ 2 ∠ACB + α = 180°,
∴ ∠ACB = 90° - 1/2 α,
∵ AB // CD,
∴ ∠ACD = ∠BAC = α,
∴ ∠BCD = ∠ACB + ∠ACD = 90° - 1/2 α + α = 90° + 1/2 α,
∵ 四边形 ABCD 内接于⊙O,
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°,
∴ α + β + 90° + 1/2 α = 180°,整理得 3α + 2β = 180°.故选 C.
∵ ∠BAC 的度数为 α,∠CAD 的度数为 β,
∴ ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = α + β,
∵ AB = AC,
∴ ∠B = ∠ACB,
∵ ∠B + ∠ACB + ∠BAC = 180°,
∴ 2 ∠ACB + α = 180°,
∴ ∠ACB = 90° - 1/2 α,
∵ AB // CD,
∴ ∠ACD = ∠BAC = α,
∴ ∠BCD = ∠ACB + ∠ACD = 90° - 1/2 α + α = 90° + 1/2 α,
∵ 四边形 ABCD 内接于⊙O,
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°,
∴ α + β + 90° + 1/2 α = 180°,整理得 3α + 2β = 180°.故选 C.
解析
【分析】
解题时我们可以先利用已知的∠BAC=α、∠CAD=β表示出∠BAD；再结合AB=AC，利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°求出∠ACB的度数；接着根据AB//CD，利用平行线内错角相等得到∠ACD的度数，进而表示出∠BCD；最后利用圆内接四边形对角互补的性质，建立∠BAD和∠BCD的和为180°的等量关系，整理式子即可得到结论。
【解析】
∵ ∠BAC的度数为α，∠CAD的度数为β，
∴ ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = α + β，
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠ACB，
∵ 在△ABC中，∠B + ∠ACB + ∠BAC = 180°，
∴ $2∠ ACB + α = 180°$，解得$∠ ACB = 90° - \frac{1}{2}α$，
∵ AB // CD，
∴ $∠ ACD = ∠ BAC = α$（两直线平行，内错角相等），
∴ $∠ BCD = ∠ ACB + ∠ ACD = 90° - \frac{1}{2}α + α = 90° + \frac{1}{2}α$，
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ BAD + ∠ BCD = 180°$（圆内接四边形对角互补），
将∠BAD和∠BCD代入得：$α + β + 90° + \frac{1}{2}α = 180°$，
整理可得$3α + 2β = 180°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质、平行线的性质、圆内接四边形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是通过多个几何性质完成角度的转化，找到对角互补的等量关系，考察学生对基础几何性质的掌握和角度运算能力。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以先利用已知的∠BAC=α、∠CAD=β表示出∠BAD；再结合AB=AC，利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°求出∠ACB的度数；接着根据AB//CD，利用平行线内错角相等得到∠ACD的度数，进而表示出∠BCD；最后利用圆内接四边形对角互补的性质，建立∠BAD和∠BCD的和为180°的等量关系，整理式子即可得到结论。
【解析】
∵ ∠BAC的度数为α，∠CAD的度数为β，
∴ ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = α + β，
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠ACB，
∵ 在△ABC中，∠B + ∠ACB + ∠BAC = 180°，
∴ $2∠ ACB + α = 180°$，解得$∠ ACB = 90° - \frac{1}{2}α$，
∵ AB // CD，
∴ $∠ ACD = ∠ BAC = α$（两直线平行，内错角相等），
∴ $∠ BCD = ∠ ACB + ∠ ACD = 90° - \frac{1}{2}α + α = 90° + \frac{1}{2}α$，
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴ $∠ BAD + ∠ BCD = 180°$（圆内接四边形对角互补），
将∠BAD和∠BCD代入得：$α + β + 90° + \frac{1}{2}α = 180°$，
整理可得$3α + 2β = 180°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质、平行线的性质、圆内接四边形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是通过多个几何性质完成角度的转化，找到对角互补的等量关系，考察学生对基础几何性质的掌握和角度运算能力。
【难度系数】
0.8
12.「2026江苏南京期中，★★」如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别在AD，CD上，且AE=CF，EG⊥BF于点G，则CG的最小值为
√2 - 1
。答案
12.答案 √2 - 1
解析 如图,连接 BE,AG,
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ ∠BCF = ∠BAD = 90°,AB = BC,
∵ EG ⊥ BF,
∴ ∠EGB = 90°,
∴ ∠EAB + ∠EGB = 180°,
∴ A,B,G,E 四点在以 BE 为直径的圆上.
∵ AE = CF,BC = AB,∠BCF = ∠BAE = 90°,
∴ △BAE ≌ △BCF(SAS),
∴ ∠EBA = ∠CBF,
∵ A,B,G,E 四点共圆,
∴ ∠EGA = ∠EBA,
∵ ∠BGA = 90° - ∠EGA,∠GBA = 90° - ∠CBF = 90° - ∠EBA,
∴ ∠BGA = ∠GBA,
∴ AG = AB = 1,
连接 AC,则 CG ≥ AC - AG,当 G,A,C 三点共线时,CG 取得最小值,为 AC - AG 的值,
在 Rt△ABC 中,AB = BC = 1,
∴ AC = √(AB² + BC²) = √2,
∴ CG 的最小值为 AC - AG = √2 - 1.
解析
【分析】
本题是动态几何最值问题，求解核心是确定动点G的运动轨迹。首先结合正方形性质和AE=CF的条件，可先证明△BAE和△BCF全等得到角的等量关系；再由∠EAB和∠EGB均为直角，推出A、B、G、E四点共圆，利用圆周角性质推导角的关系，得到AG=AB=1，即可确定G点轨迹是以A为圆心、半径为1的圆；最后根据圆外一点到圆上点的最短距离为“点到圆心的距离减半径”，即可求出CG的最小值。
【解析】
解：如图，连接BE，AG，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BCF = ∠BAD = 90°，AB = BC，
∵ EG ⊥ BF，
∴ ∠EGB = 90°，
∴ ∠EAB + ∠EGB = 180°，
∴ A、B、G、E四点在以BE为直径的圆上。
∵ AE = CF，BC = AB，∠BCF = ∠BAE = 90°，
∴ △BAE ≌ △BCF（SAS），
∴ ∠EBA = ∠CBF，
∵ A、B、G、E四点共圆，
∴ ∠EGA = ∠EBA，
∵ ∠BGA = 90° - ∠EGA，∠GBA = 90° - ∠CBF = 90° - ∠EBA，
∴ ∠BGA = ∠GBA，
∴ AG = AB = 1，
连接AC，则CG ≥ AC - AG，当G、A、C三点共线时，CG取得最小值，为AC - AG的值，
在Rt△ABC中，AB = BC = 1，
∴ AC = √(AB² + BC²) = √2，
∴ CG的最小值为AC - AG = √2 - 1。
【答案】
√2 - 1
【知识点】
1.正方形的性质 2.全等三角形的判定与性质 3.圆周角定理的推论
【点评】
本题属于动态最值类综合题，解题的突破口是通过角的等量关系推导得出动点G的运动轨迹，将线段最值问题转化为圆外一点到圆上点的最短距离问题，考查了多个几何核心知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.5
本题是动态几何最值问题，求解核心是确定动点G的运动轨迹。首先结合正方形性质和AE=CF的条件，可先证明△BAE和△BCF全等得到角的等量关系；再由∠EAB和∠EGB均为直角，推出A、B、G、E四点共圆，利用圆周角性质推导角的关系，得到AG=AB=1，即可确定G点轨迹是以A为圆心、半径为1的圆；最后根据圆外一点到圆上点的最短距离为“点到圆心的距离减半径”，即可求出CG的最小值。
【解析】
解：如图，连接BE，AG，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BCF = ∠BAD = 90°，AB = BC，
∵ EG ⊥ BF，
∴ ∠EGB = 90°，
∴ ∠EAB + ∠EGB = 180°，
∴ A、B、G、E四点在以BE为直径的圆上。
∵ AE = CF，BC = AB，∠BCF = ∠BAE = 90°，
∴ △BAE ≌ △BCF（SAS），
∴ ∠EBA = ∠CBF，
∵ A、B、G、E四点共圆，
∴ ∠EGA = ∠EBA，
∵ ∠BGA = 90° - ∠EGA，∠GBA = 90° - ∠CBF = 90° - ∠EBA，
∴ ∠BGA = ∠GBA，
∴ AG = AB = 1，
连接AC，则CG ≥ AC - AG，当G、A、C三点共线时，CG取得最小值，为AC - AG的值，
在Rt△ABC中，AB = BC = 1，
∴ AC = √(AB² + BC²) = √2，
∴ CG的最小值为AC - AG = √2 - 1。
【答案】
√2 - 1
【知识点】
1.正方形的性质 2.全等三角形的判定与性质 3.圆周角定理的推论
【点评】
本题属于动态最值类综合题，解题的突破口是通过角的等量关系推导得出动点G的运动轨迹，将线段最值问题转化为圆外一点到圆上点的最短距离问题，考查了多个几何核心知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.5
13.「2025安徽中考，★☆」如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC=180°.
(1)求证：OC//AD.
(2)若AD=2，$BC=2\sqrt{3}$，求AB的长.
(1)求证：OC//AD.
(2)若AD=2，$BC=2\sqrt{3}$，求AB的长.
答案
13.解析 (1)证明:
∵ ∠AOC = 2 ∠ABC,∠DAB + 2 ∠ABC = 180°,
∴ ∠DAB + ∠AOC = 180°,
∴ OC // AD.
(2)如图,连接 BD 交 OC 于点 E,
∵ AB 是半圆 O 的直径,
∴ ∠ADB = 90°,
∴ AD ⊥ BD,
∵ OC // AD,
∴ OC ⊥ BD,
∴ 点 E 为 BD 的中点,又
∵ O 是 AB 的中点,
∴ OE 是△ABD 的中位线,
∴ OE = 1/2 AD = 1.设半圆的半径为 r,则 CE = r - 1.由勾股定理知,OB² - OE² = BE² = BC² - CE²,即 r² - 1 = (2√3)² - (r - 1)²,解得 r₁ = 3,r₂ = -2(舍去),
∴ AB = 2r = 6.
解析
【分析】
(1)要证明OC//AD，可通过证明两直线同旁内角互补推导。已知条件给出∠DAB+2∠ABC=180°，结合圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠AOC=2∠ABC，代入已知等式即可得到∠DAB与∠AOC互补，从而证得平行。
(2)求直径AB的长，先利用直径所对圆周角为直角的性质，连接BD可得∠ADB=90°，结合(1)的平行结论可得OC⊥BD，由垂径定理得E是BD中点，进而推出OE是△ABD的中位线，算出OE的长度。再设半径为r，利用勾股定理分别在两个直角三角形中表示出BE²，列方程求解半径，即可得到AB的长度。
【解析】
(1)证明：
根据圆周角定理，同弧AC所对的圆心角∠AOC是圆周角∠ABC的2倍，即$∠ AOC = 2 ∠ ABC$，
已知$∠ DAB + 2 ∠ ABC = 180°$，将$2∠ ABC$替换为$∠ AOC$，可得$∠ DAB + ∠ AOC = 180°$，
根据同旁内角互补，两直线平行，因此$OC // AD$。
(2)解：如图，连接 BD 交 OC 于点 E，
∵ AB 是半圆 O 的直径，根据直径所对的圆周角为直角，
∴ $∠ ADB = 90°$，即$AD ⊥ BD$，
由(1)知$OC // AD$，因此$OC ⊥ BD$，
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得点 E 为 BD 的中点，
又
∵ O 是 AB 的中点，
∴ OE 是$△ ABD$的中位线，
根据三角形中位线性质，$OE = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} × 2=1$。
设半圆的半径为 r，则$OB=OC=r$，$CE = OC - OE = r - 1$。
在$Rt△ OBE$中，由勾股定理得：$BE^2 = OB^2 - OE^2 = r^2 - 1^2$，
在$Rt△ CBE$中，由勾股定理得：$BE^2 = BC^2 - CE^2 = (2\sqrt{3})^2 - (r - 1)^2$，
因此可列方程：$r^2 - 1 = (2\sqrt{3})^2 - (r - 1)^2$，
展开整理得$r^2 - r -6=0$，解得 $r_1 = 3,r_2 = -2$(半径为正数，舍去)，
∴ $AB = 2r = 2×3=6$。
【答案】
(1)$OC// AD$得证；
(2)AB的长为6。
【知识点】
圆周角定理及推论，三角形中位线定理，垂径定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，第一问结合圆周角定理和平行线判定即可快速证明，第二问需要合理构造辅助线，结合垂径定理、中位线性质，利用方程思想通过勾股定理列方程求解，考查学生对圆的基本性质的掌握和几何综合分析能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明OC//AD，可通过证明两直线同旁内角互补推导。已知条件给出∠DAB+2∠ABC=180°，结合圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得∠AOC=2∠ABC，代入已知等式即可得到∠DAB与∠AOC互补，从而证得平行。
(2)求直径AB的长，先利用直径所对圆周角为直角的性质，连接BD可得∠ADB=90°，结合(1)的平行结论可得OC⊥BD，由垂径定理得E是BD中点，进而推出OE是△ABD的中位线，算出OE的长度。再设半径为r，利用勾股定理分别在两个直角三角形中表示出BE²，列方程求解半径，即可得到AB的长度。
【解析】
(1)证明：
根据圆周角定理，同弧AC所对的圆心角∠AOC是圆周角∠ABC的2倍，即$∠ AOC = 2 ∠ ABC$，
已知$∠ DAB + 2 ∠ ABC = 180°$，将$2∠ ABC$替换为$∠ AOC$，可得$∠ DAB + ∠ AOC = 180°$，
根据同旁内角互补，两直线平行，因此$OC // AD$。
(2)解：如图，连接 BD 交 OC 于点 E，
∵ AB 是半圆 O 的直径，根据直径所对的圆周角为直角，
∴ $∠ ADB = 90°$，即$AD ⊥ BD$，
由(1)知$OC // AD$，因此$OC ⊥ BD$，
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得点 E 为 BD 的中点，
又
∵ O 是 AB 的中点，
∴ OE 是$△ ABD$的中位线，
根据三角形中位线性质，$OE = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} × 2=1$。
设半圆的半径为 r，则$OB=OC=r$，$CE = OC - OE = r - 1$。
在$Rt△ OBE$中，由勾股定理得：$BE^2 = OB^2 - OE^2 = r^2 - 1^2$，
在$Rt△ CBE$中，由勾股定理得：$BE^2 = BC^2 - CE^2 = (2\sqrt{3})^2 - (r - 1)^2$，
因此可列方程：$r^2 - 1 = (2\sqrt{3})^2 - (r - 1)^2$，
展开整理得$r^2 - r -6=0$，解得 $r_1 = 3,r_2 = -2$(半径为正数，舍去)，
∴ $AB = 2r = 2×3=6$。
【答案】
(1)$OC// AD$得证；
(2)AB的长为6。
【知识点】
圆周角定理及推论，三角形中位线定理，垂径定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，第一问结合圆周角定理和平行线判定即可快速证明，第二问需要合理构造辅助线，结合垂径定理、中位线性质，利用方程思想通过勾股定理列方程求解，考查学生对圆的基本性质的掌握和几何综合分析能力。
【难度系数】
0.7
14.「2026江苏淮安北京路中学月考，★☆」如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且DA平分∠BDF，AE⊥CD于点E.
(1)求证:AB=AC.
(2)若BD=11，ED=2，求CD的长.
(1)求证:AB=AC.
(2)若BD=11，ED=2，求CD的长.
答案
14.解析 (1)证明:
∵ DA 平分∠BDF,
∴ ∠ADF = ∠ADB,
∵ 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°,
∵ ∠ADC + ∠ADF = 180°,
∴ ∠ADF = ∠ABC,
∵ ∠ACB = ∠ADB,
∴ ∠ABC = ∠ACB,
∴ AB = AC.
(2)如图,过点 A 作 AG ⊥ BD 于点 G.
∵ DA 平分∠BDF,AE ⊥ CF,AG ⊥ BD,
∴ AG = AE,∠AGB = ∠AEC = 90°, 在 Rt△AED 和 Rt△AGD 中,
{AD=AD, AE=AG,
∴ Rt△AED ≌ Rt△AGD(HL),
∴ GD = ED = 2,在 Rt△AEC 和 Rt△AGB 中,{AC=AB, AE=AG,
∴ Rt△AEC ≌ Rt△AGB(HL),
∴ BG = CE,
∵ BD = 11,
∴ BG = BD - GD = 11 - 2 = 9,
∴ CE = BG = 9,
∴ CD = CE - DE = 9 - 2 = 7.
解析
【分析】
(1)要证明AB=AC，可通过证明∠ABC=∠ACB实现。首先根据角平分线定义得到∠ADF=∠ADB，再结合圆内接四边形对角互补、邻补角互补推导得∠ADF=∠ABC，最后利用同弧所对圆周角相等得到∠ADB=∠ACB，等量代换得到等角即可推出等边。
(2)求CD的长时，已知DA是角平分线且AE⊥CD，根据角平分线的性质，过点A作AG⊥BD于G，可得AE=AG。先通过HL证明Rt△AED≌Rt△AGD得到GD=ED，再证明Rt△AEC≌Rt△AGB得到CE=BG，结合已知BD的长度求出BG，进而求出CE，最后用CE减ED即可得到CD的长度。
【解析】
(1)证明:
∵ DA 平分∠BDF,
∴ ∠ADF = ∠ADB,
∵ 四边形 ABCD 是⊙O的内接四边形,
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°,
∵ ∠ADC + ∠ADF = 180°,
∴ ∠ADF = ∠ABC,
∵ 同弧AB所对的圆周角相等，即∠ACB = ∠ADB,
∴ ∠ABC = ∠ACB,
∴ AB = AC。
(2)解:如图,过点 A 作 AG ⊥ BD 于点 G。
∵ DA 平分∠BDF,AE ⊥ CF,AG ⊥ BD,
∴ AG = AE,∠AGB = ∠AEC = 90°, 在 Rt△AED 和 Rt△AGD 中,
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ AE=AG\end{array} $
∴ Rt△AED ≌ Rt△AGD(HL),
∴ GD = ED = 2,在 Rt△AEC 和 Rt△AGB 中,$\{\begin{array}{l}AC=AB\\ AE=AG\end{array} $
∴ Rt△AEC ≌ Rt△AGB(HL),
∴ BG = CE,
∵ BD = 11,
∴ BG = BD - GD = 11 - 2 = 9,
∴ CE = BG = 9,
∴ CD = CE - DE = 9 - 2 = 7。
【答案】
(1) AB=AC，证明成立；(2) CD的长为7。
【知识点】
圆内接四边形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，解题关键是熟练掌握圆的相关性质，能结合角平分线的特点构造辅助线，通过全等三角形转化边角关系，可有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明AB=AC，可通过证明∠ABC=∠ACB实现。首先根据角平分线定义得到∠ADF=∠ADB，再结合圆内接四边形对角互补、邻补角互补推导得∠ADF=∠ABC，最后利用同弧所对圆周角相等得到∠ADB=∠ACB，等量代换得到等角即可推出等边。
(2)求CD的长时，已知DA是角平分线且AE⊥CD，根据角平分线的性质，过点A作AG⊥BD于G，可得AE=AG。先通过HL证明Rt△AED≌Rt△AGD得到GD=ED，再证明Rt△AEC≌Rt△AGB得到CE=BG，结合已知BD的长度求出BG，进而求出CE，最后用CE减ED即可得到CD的长度。
【解析】
(1)证明:
∵ DA 平分∠BDF,
∴ ∠ADF = ∠ADB,
∵ 四边形 ABCD 是⊙O的内接四边形,
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°,
∵ ∠ADC + ∠ADF = 180°,
∴ ∠ADF = ∠ABC,
∵ 同弧AB所对的圆周角相等，即∠ACB = ∠ADB,
∴ ∠ABC = ∠ACB,
∴ AB = AC。
(2)解:如图,过点 A 作 AG ⊥ BD 于点 G。
∵ DA 平分∠BDF,AE ⊥ CF,AG ⊥ BD,
∴ AG = AE,∠AGB = ∠AEC = 90°, 在 Rt△AED 和 Rt△AGD 中,
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ AE=AG\end{array} $
∴ Rt△AED ≌ Rt△AGD(HL),
∴ GD = ED = 2,在 Rt△AEC 和 Rt△AGB 中,$\{\begin{array}{l}AC=AB\\ AE=AG\end{array} $
∴ Rt△AEC ≌ Rt△AGB(HL),
∴ BG = CE,
∵ BD = 11,
∴ BG = BD - GD = 11 - 2 = 9,
∴ CE = BG = 9,
∴ CD = CE - DE = 9 - 2 = 7。
【答案】
(1) AB=AC，证明成立；(2) CD的长为7。
【知识点】
圆内接四边形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，解题关键是熟练掌握圆的相关性质，能结合角平分线的特点构造辅助线，通过全等三角形转化边角关系，可有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
15. 核心素养 推理能力 已知$△ ABC$内接于$\odot O$，$∠ BAC$的平分线交$\odot O$于点$D$，连接$DB$，$DC$。
(1)如图①，当$∠ BAC=120°$时，请直接写出线段$AB$，$AC$，$AD$之间满足的等量关系：
(2)如图②，当$∠ BAC=90°$时，试探究线段$AB$，$AC$，$AD$之间满足的等量关系，并证明你的结论。
(1)如图①，当$∠ BAC=120°$时，请直接写出线段$AB$，$AC$，$AD$之间满足的等量关系：
AB+AC=AD
。(2)如图②，当$∠ BAC=90°$时，试探究线段$AB$，$AC$，$AD$之间满足的等量关系，并证明你的结论。
答案
15.解析 (1)AB+AC=AD.
详解:如图,在 AD 上截取 AE=AB,连接 BE,
∵ ∠BAC=120°,AD 平分∠BAC,
∴ ∠DBC = ∠DAC = ∠DCB = ∠DAB = 60°,
∴ △ABE 和 △BCD 都是等边三角形,
∴ AB = BE,BC = BD,∠ABE = 60°,
∴ ∠CBD - ∠EBC = ∠ABE - ∠EBC,即 ∠DBE = ∠ABC,
∴ △BED ≌ △BAC(SAS),
∴ DE = AC,
∴ AD = AE + DE = AB + AC.
(2)AB+AC=√2 AD.证明如下:
如图,延长 AB 至点 M,使 BM = AC,连接 DM,
∵ 四边形 ABDC 内接于⊙O,
∴ ∠ABD + ∠ACD = 180°,
∵ ∠ABD + ∠MBD = 180°,
∴ ∠MBD = ∠ACD,
∵ AD 平分∠BAC,∠BAC = 90°,
∴ ∠BAD = ∠CAD = 45°,
∴ BD = CD,又
∵ BM = AC,
∴ △MBD ≌ △ACD(SAS),
∴ MD = AD,∠M = ∠CAD = 45°,
∴ ∠ADM = 180° - ∠M - ∠DAM = 180° - 45° - 45° = 90°,
∴ △AMD 是等腰直角三角形,
∴ AM = √2 AD,即 AB + BM = √2 AD,
∴ AB + AC = √2 AD.
解析
【分析】
(1) 探究线段和差关系优先考虑截长补短法：已知∠BAC=120°，AD是∠BAC的平分线，可在AD上截取AE=AB，结合圆周角定理可推出△ABE、△BCD均为等边三角形，再证明△BED≌△BAC，将AC转化为DE，即可推导出三条线段的等量关系。
(2) 当∠BAC=90°时，采用补短法构造全等：延长AB至点M，使BM=AC，结合圆内接四边形的性质可得∠MBD=∠ACD，再由角平分线性质得BD=CD，证明△MBD≌△ACD，推导得出△AMD为等腰直角三角形，即可得到三条线段的等量关系。
【解析】
(1) 如图，在AD上截取AE=AB，连接BE，
∵ ∠BAC=120°，AD平分∠BAC，
∴ ∠DBC = ∠DAC = ∠DCB = ∠DAB = 60°，
∴ △ABE 和 △BCD 都是等边三角形，
∴ AB = BE，BC = BD，∠ABE = 60°，
∴ ∠CBD - ∠EBC = ∠ABE - ∠EBC，即 ∠DBE = ∠ABC，
∴ △BED ≌ △BAC(SAS)，
∴ DE = AC，
∴ AD = AE + DE = AB + AC。
(2) 线段关系为$AB+AC=\sqrt{2}AD$，证明如下：
如图，延长AB至点M，使BM = AC，连接DM，
∵ 四边形ABDC内接于⊙O，
∴ ∠ABD + ∠ACD = 180°，
∵ ∠ABD + ∠MBD = 180°，
∴ ∠MBD = ∠ACD，
∵ AD平分∠BAC，∠BAC = 90°，
∴ ∠BAD = ∠CAD = 45°，
∴ BD = CD，
又
∵ BM = AC，
∴ △MBD ≌ △ACD(SAS)，
∴ MD = AD，∠M = ∠CAD = 45°，
∴ ∠ADM = 180° - ∠M - ∠DAM = 180° - 45° - 45° = 90°，
∴ △AMD 是等腰直角三角形，
∴ AM = √2 AD，即 AB + BM = √2 AD，
∴ AB + AC = √2 AD。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AB+AC=AD}$
(2) $\boldsymbol{AB+AC=\sqrt{2}AD}$
【知识点】
圆周角定理，全等三角形的判定与性质，截长补短法
【点评】
本题是圆中探究线段数量关系的典型题，解题核心是根据已知条件选择截长补短法构造全等三角形，将分散的线段转化到同一条线段或特殊三角形中求解，要求熟练掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质，能灵活推导角、边的等量关系。
【难度系数】
0.6
(1) 探究线段和差关系优先考虑截长补短法：已知∠BAC=120°，AD是∠BAC的平分线，可在AD上截取AE=AB，结合圆周角定理可推出△ABE、△BCD均为等边三角形，再证明△BED≌△BAC，将AC转化为DE，即可推导出三条线段的等量关系。
(2) 当∠BAC=90°时，采用补短法构造全等：延长AB至点M，使BM=AC，结合圆内接四边形的性质可得∠MBD=∠ACD，再由角平分线性质得BD=CD，证明△MBD≌△ACD，推导得出△AMD为等腰直角三角形，即可得到三条线段的等量关系。
【解析】
(1) 如图
，在AD上截取AE=AB，连接BE，∵ ∠BAC=120°，AD平分∠BAC，
∴ ∠DBC = ∠DAC = ∠DCB = ∠DAB = 60°，
∴ △ABE 和 △BCD 都是等边三角形，
∴ AB = BE，BC = BD，∠ABE = 60°，
∴ ∠CBD - ∠EBC = ∠ABE - ∠EBC，即 ∠DBE = ∠ABC，
∴ △BED ≌ △BAC(SAS)，
∴ DE = AC，
∴ AD = AE + DE = AB + AC。
(2) 线段关系为$AB+AC=\sqrt{2}AD$，证明如下：
如图
，延长AB至点M，使BM = AC，连接DM，∵ 四边形ABDC内接于⊙O，
∴ ∠ABD + ∠ACD = 180°，
∵ ∠ABD + ∠MBD = 180°，
∴ ∠MBD = ∠ACD，
∵ AD平分∠BAC，∠BAC = 90°，
∴ ∠BAD = ∠CAD = 45°，
∴ BD = CD，
又
∵ BM = AC，
∴ △MBD ≌ △ACD(SAS)，
∴ MD = AD，∠M = ∠CAD = 45°，
∴ ∠ADM = 180° - ∠M - ∠DAM = 180° - 45° - 45° = 90°，
∴ △AMD 是等腰直角三角形，
∴ AM = √2 AD，即 AB + BM = √2 AD，
∴ AB + AC = √2 AD。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AB+AC=AD}$
(2) $\boldsymbol{AB+AC=\sqrt{2}AD}$
【知识点】
圆周角定理，全等三角形的判定与性质，截长补短法
【点评】
本题是圆中探究线段数量关系的典型题，解题核心是根据已知条件选择截长补短法构造全等三角形，将分散的线段转化到同一条线段或特殊三角形中求解，要求熟练掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质，能灵活推导角、边的等量关系。
【难度系数】
0.6
