【典例】(2025·武汉)某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动.
【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直.
【收集数据】某次羽毛球飞行的高度$y$(单位:m)与距发球点的水平距离$x$(单位:m)的对应值如下表(不考虑空气阻力).


【探索发现】数学小组借助计算机画图软件,建立平面直角坐标系、描点、连线(如图),发现羽毛球飞行路线是抛物线$y=ax^2+bx+1.1$的一部分.
【建立模型】求$y$与$x$的函数解析式(不要求写自变量取值范围).
【应用模型】
(1)羽毛球在此次飞行过程中,飞行的高度能否达到2.8 m?请说明理由.
(2)保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变,改变发球方式,使其解析式变为$y=ax^2+kx+1.1$,发球点与球网的水平距离是5 m.若羽毛球飞过球网正上方时,飞行的高度超过2.1 m,且球的落地点与球网的水平距离小于6 m.求$k$的取值范围.

建立模型：
将点(2,2.3),(3,2.6)代入$y=ax^2+bx+1.1$得
$\begin{cases}4a + 2b + 1.1 = 2.3,\\9a + 3b + 1.1 = 2.6,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-0.1,\\b=0.8,\end{cases}$
$\therefore y$与$x$的函数解析式为
$y=-0.1x^2 + 0.8x + 1.1$.
应用模型：
(1)不能,理由如下：
令$y=2.8$,则$-0.1x^2 + 0.8x + 1.1 = 2.8$,
整理得$x^2 - 8x + 17 = 0$,
这个方程根的判别式$\Delta=(-8)^2 - 4×1×17=-4＜0$,方程没有实数根.
答:羽毛球在此次飞行过程中,飞行的高度不能达到2.8 m.
(2)$\because$保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变,
$\therefore a$的值不变,即$a=-0.1$,
$\therefore$改变发球方式后,羽毛球飞行路线对应的抛物线为$y=-0.1x^2 + kx + 1.1$,
$\because$发球点与球网的水平距离是5 m,若羽毛球飞过球网正上方时,飞行的高度超过2.1 m,且球的落地点与球网的水平距离小于6 m,
$\therefore$当$x=5$时,$y＞2.1$;
当$x=5+6=11$时,$y＜0$,
$\therefore\begin{cases}-0.1×5^2 + 5k + 1.1＞2.1,\\-0.1×11^2 + 11k + 1.1＜0,\end{cases}$
解得$0.7＜k＜1$.
答:$k$的取值范围为$0.7＜k＜1$.