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1.如图，直线$y_1=x+m$和抛物线$y_2=x^2+bx+c$交于点$A(4,2),B(2,0)$，不等式$x^2+bx+c＞x+m$的解集为
$x＜2$或$x＞4$
。答案
$x＜2$或$x＞4$
2.已知二次函数$y=x^2 -2x -2020$的图象上有两点$A(a,1)$和$B(b,1)$，则$a^2 +2b$的值为(
A.2023
B.2024
C.2025
D.2026
C
)A.2023
B.2024
C.2025
D.2026
答案
解:$\because$点$A(a,1)$和$B(b,1)$在二次函数$y=x^2-2x-2020$的图象上,$a,b$是方程$x^2-2x-2020=1$的两个根，
$\therefore a+b=2$，
又$\because a^2-2a-2020=1$，
$\therefore a^2+2b=2a+2021+2b=2025$.
$\therefore a+b=2$，
又$\because a^2-2a-2020=1$，
$\therefore a^2+2b=2a+2021+2b=2025$.
3.(2025·连云港)已知二次函数$y=x^2+2(a+1)x+3a^2-2a+3$，a为常数.
(1)若该二次函数的图象与直线$y=2a^2$有两个交点，求a的取值范围；
(2)若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值.
(1)若该二次函数的图象与直线$y=2a^2$有两个交点，求a的取值范围；
(2)若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值.
答案
解:(1)$x^2+2(a+1)x+3a^2-2a+3=2a^2$，
$\Delta＞0,\therefore a＞\frac{1}{2}$；
(2)$x^2+2(a+1)x+3a^2-2a+3=0$，
$\Delta=-8(a-1)^2≥0$，
$\therefore a=1$.
$\Delta＞0,\therefore a＞\frac{1}{2}$；
(2)$x^2+2(a+1)x+3a^2-2a+3=0$，
$\Delta=-8(a-1)^2≥0$，
$\therefore a=1$.
4.抛物线$y=x^2+bx+3$的对称轴为直线$x=1$.若关于$x$的一元二次方程$x^2+bx+3-t=0$($t$为实数)在$-1＜x＜4$的范围内有实数根,则$t$的取值范围是(
A.$2≤t＜11$
B.$t≥2$
C.$6＜t＜11$
D.$2≤t＜6$
A
)A.$2≤t＜11$
B.$t≥2$
C.$6＜t＜11$
D.$2≤t＜6$
答案
解:由对称轴知$b=-2$,$\therefore y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$,最小值为2，
当$x=-1$时，$y=6$；当$x=4$时，$y=11$.
$\begin{cases}y=x^2+bx+3,\\y=t,\end{cases}$ $\therefore 2≤ t＜11$.
当$x=-1$时，$y=6$；当$x=4$时，$y=11$.
$\begin{cases}y=x^2+bx+3,\\y=t,\end{cases}$ $\therefore 2≤ t＜11$.
5.(教材 P50T5 变式)画出二次函数$y=x^2-4x+3$的图象,利用图象回答下列问题:
(1)$x^2-4x+3＜0$的解集为
(2)$y≤3$时,$x$的取值范围是
(3)$x^2-4x+3=m$没有实数根,则$m$的取值范围是
(1)$x^2-4x+3＜0$的解集为
$1＜x＜3$
;(2)$y≤3$时,$x$的取值范围是
$0≤ x≤4$
;(3)$x^2-4x+3=m$没有实数根,则$m$的取值范围是
$m＜-1$
.答案
解:(1)$x^2-4x+3＜0$的解集为$1＜x＜3$；
(2)当$y=3$时,$x_1=0,x_2=4$，
故$y≤3$时,$0≤ x≤4$；
(3)$y=(x-2)^2-1≥-1$，
故$m＜-1$时,原方程没有实数根.
6.如图，二次函数$y=ax^2+bx+c(a＜0)$的图象与$x$轴的正半轴相交于$A(x_1,0),B$两点$(0＜x_1＜1)$，与$y$轴交于点$C$，对称轴为直线$x=2$，且$OA=OC$，下列结论，其中正确的是
①$abc＞0$；
②$4a+b=0$；
③若$ax^2+bx+c ＜ x + c$，则$0＜x＜-c$；
④点$B$的坐标为$(-\dfrac{1}{a},0)$。
①②④
.(填写正确结论的序号)①$abc＞0$；
②$4a+b=0$；
③若$ax^2+bx+c ＜ x + c$，则$0＜x＜-c$；
④点$B$的坐标为$(-\dfrac{1}{a},0)$。
答案
①②④
解:①$a＜0,c＜0,-\frac{b}{2a}=2,b＞0$,正确；
②$b=-4a⇒ b+4a=0$,正确；
③直线$AC$的解析式$y=x+c$，
$\therefore ax^2+bx+c＜x+c$的解集是$x＞-c$或$x＜0$,错误；
④$A(-c,0),ax^2+bx+c=0,-c· x_2=\frac{c}{a}$，
$\therefore x_2=-\frac{1}{a}$,正确.
解:①$a＜0,c＜0,-\frac{b}{2a}=2,b＞0$,正确；
②$b=-4a⇒ b+4a=0$,正确；
③直线$AC$的解析式$y=x+c$，
$\therefore ax^2+bx+c＜x+c$的解集是$x＞-c$或$x＜0$,错误；
④$A(-c,0),ax^2+bx+c=0,-c· x_2=\frac{c}{a}$，
$\therefore x_2=-\frac{1}{a}$,正确.
