登录
1.幻方是我国的一种传统游戏.如图,有一个类似于幻方的“幻圆”,在其中填入一些数,使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等.现已完成了部分填数,则x的值为()
A.－3
B.－4
C.－5
D.－6
A.－3
B.－4
C.－5
D.－6
答案
D
解析
【分析】
解题时首先观察数字分布，找到已知数最多的横向直线，先计算出横线上4个数的和，这个和就是题目要求的横、竖、内外圈共同的相等的和；接着利用内圈4个数的和等于这个公共和，算出内圈上方的未知数字；最后再利用竖线上4个数的和等于公共和，列算式求出x的值即可。
【解析】
第一步：计算横向4个数字的和，得出公共和：
$0 + (-2) + 5 + 3 = 6$，根据题意可知，横、竖、内圈、外圈的4个数字之和均为6。
第二步：设内圈最上方的数字为$m$，内圈4个数的和为6，列等式：
$m + (-2) + 5 + 7 = 6$
计算得：$m + 10 = 6$，解得$m = -4$。
第三步：竖向4个数字的和为6，代入$m=-4$列等式：
$x + (-4) + 7 + 9 = 6$
计算得：$x + 12 = 6$，解得$x = -6$。
【答案】
D
【知识点】
有理数加减运算；一元一次方程的应用；数字规律探究
【点评】
本题结合幻圆的趣味背景，考察有理数运算能力和方程思想的运用，解题的关键是先通过已知数字最多的线确定公共和，再逐步推导未知量，整体思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察数字分布，找到已知数最多的横向直线，先计算出横线上4个数的和，这个和就是题目要求的横、竖、内外圈共同的相等的和；接着利用内圈4个数的和等于这个公共和，算出内圈上方的未知数字；最后再利用竖线上4个数的和等于公共和，列算式求出x的值即可。
【解析】
第一步：计算横向4个数字的和，得出公共和：
$0 + (-2) + 5 + 3 = 6$，根据题意可知，横、竖、内圈、外圈的4个数字之和均为6。
第二步：设内圈最上方的数字为$m$，内圈4个数的和为6，列等式：
$m + (-2) + 5 + 7 = 6$
计算得：$m + 10 = 6$，解得$m = -4$。
第三步：竖向4个数字的和为6，代入$m=-4$列等式：
$x + (-4) + 7 + 9 = 6$
计算得：$x + 12 = 6$，解得$x = -6$。
【答案】
D
【知识点】
有理数加减运算；一元一次方程的应用；数字规律探究
【点评】
本题结合幻圆的趣味背景，考察有理数运算能力和方程思想的运用，解题的关键是先通过已知数字最多的线确定公共和，再逐步推导未知量，整体思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
2.录入一篇书稿，甲单独录入需要$\frac{1}{4}$ h，乙单独录入需要0.5 h，甲、乙两人合作， h可以完成。
答案
解：设甲、乙两人合作$x\ \mathrm{h}$可以完成。
甲的工作效率为$1÷\frac{1}{4}=4$，
乙的工作效率为$1÷0.5=2$，
依题意列方程得：
$4x + 2x = 1$
合并同类项，得
$6x = 1$
系数化为1，得
$x=\frac{1}{6}$
答：甲、乙两人合作$\frac{1}{6}\ \mathrm{h}$可以完成。
甲的工作效率为$1÷\frac{1}{4}=4$，
乙的工作效率为$1÷0.5=2$，
依题意列方程得：
$4x + 2x = 1$
合并同类项，得
$6x = 1$
系数化为1，得
$x=\frac{1}{6}$
答：甲、乙两人合作$\frac{1}{6}\ \mathrm{h}$可以完成。
解析
【分析】
这是工程类的一元一次方程应用题，解题时首先将总工作量看作单位“1”，按照“工作效率=工作总量÷工作时间”的公式分别计算甲、乙两人的工作效率；再根据等量关系“甲完成的工作量+乙完成的工作量=总工作量1”设两人合作的时间为x小时，列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设甲、乙两人合作$x\ \mathrm{h}$可以完成。
甲的工作效率为$1÷\frac{1}{4}=4$，
乙的工作效率为$1÷0.5=2$，
依题意列方程得：
$4x + 2x = 1$
合并同类项，得
$6x = 1$
系数化为1，得
$x=\frac{1}{6}$
答：甲、乙两人合作$\frac{1}{6}\ \mathrm{h}$可以完成。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
工程问题；一元一次方程的应用；工作效率计算
【点评】
本题属于基础的工程类应用题，重点考查对工作总量、工作效率、工作时间三者关系的理解与运用，掌握将总工作量设为单位“1”的常用技巧即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
这是工程类的一元一次方程应用题，解题时首先将总工作量看作单位“1”，按照“工作效率=工作总量÷工作时间”的公式分别计算甲、乙两人的工作效率；再根据等量关系“甲完成的工作量+乙完成的工作量=总工作量1”设两人合作的时间为x小时，列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设甲、乙两人合作$x\ \mathrm{h}$可以完成。
甲的工作效率为$1÷\frac{1}{4}=4$，
乙的工作效率为$1÷0.5=2$，
依题意列方程得：
$4x + 2x = 1$
合并同类项，得
$6x = 1$
系数化为1，得
$x=\frac{1}{6}$
答：甲、乙两人合作$\frac{1}{6}\ \mathrm{h}$可以完成。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
工程问题；一元一次方程的应用；工作效率计算
【点评】
本题属于基础的工程类应用题，重点考查对工作总量、工作效率、工作时间三者关系的理解与运用，掌握将总工作量设为单位“1”的常用技巧即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
3.我国明代数学著作《算法统宗》中记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托；折回索子去量竿，却比竿子短一托。”其大意是有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；若将绳索对半折后再去量竿，则比竿短5尺。绳索的长为尺。
答案
解：设绳索的长为$x$尺，则竿子的长为$(x-5)$尺。
根据题意列方程，得
$\frac{1}{2}x + 5 = x - 5$
移项，得 $\frac{1}{2}x - x = -5 -5$
合并同类项，得 $-\frac{1}{2}x = -10$
系数化为1，得 $x=20$
答：绳索的长为20尺。
根据题意列方程，得
$\frac{1}{2}x + 5 = x - 5$
移项，得 $\frac{1}{2}x - x = -5 -5$
合并同类项，得 $-\frac{1}{2}x = -10$
系数化为1，得 $x=20$
答：绳索的长为20尺。
解析
【分析】
这是一道利用一元一次方程解决的古代实际问题，解题时首先提取题目中的等量关系：①绳索长度 = 竿子长度 + 5尺；②对折后绳索长度 + 5尺 = 竿子长度。我们先设绳索长度为未知数，用含未知数的式子表示出竿子的长度，再根据第二个等量关系列出方程，最后按照一元一次方程的求解步骤计算即可得到绳索长度。
【解析】
解：设绳索的长为$x$尺，则竿子的长为$(x-5)$尺。
根据题意列方程，得
$\frac{1}{2}x + 5 = x - 5$
移项，得 $\frac{1}{2}x - x = -5 -5$
合并同类项，得 $-\frac{1}{2}x = -10$
系数化为1，得 $x=20$
答：绳索的长为20尺。
【答案】
20
【知识点】
一元一次方程的应用、一元一次方程的解法
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查从实际情境中提取等量关系、列方程求解的能力，解题的核心是抓住竿长不变的特点建立方程。
【难度系数】
0.8
这是一道利用一元一次方程解决的古代实际问题，解题时首先提取题目中的等量关系：①绳索长度 = 竿子长度 + 5尺；②对折后绳索长度 + 5尺 = 竿子长度。我们先设绳索长度为未知数，用含未知数的式子表示出竿子的长度，再根据第二个等量关系列出方程，最后按照一元一次方程的求解步骤计算即可得到绳索长度。
【解析】
解：设绳索的长为$x$尺，则竿子的长为$(x-5)$尺。
根据题意列方程，得
$\frac{1}{2}x + 5 = x - 5$
移项，得 $\frac{1}{2}x - x = -5 -5$
合并同类项，得 $-\frac{1}{2}x = -10$
系数化为1，得 $x=20$
答：绳索的长为20尺。
【答案】
20
【知识点】
一元一次方程的应用、一元一次方程的解法
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查从实际情境中提取等量关系、列方程求解的能力，解题的核心是抓住竿长不变的特点建立方程。
【难度系数】
0.8
4.一项工程单独完成，甲队要30天，乙队要25天.现两队同时开始合作，中途两队都休息了一段时间，这样用了16天才完成任务.已知甲中途休息了4天，则乙中途休息了几天？
答案
解：设乙中途休息了$x$天。
甲队的工作效率为$\frac{1}{30}$，乙队的工作效率为$\frac{1}{25}$，甲队实际工作了$16-4=12$天，乙队实际工作了$(16-x)$天。
根据总工作量为1，列方程：
$\frac{1}{30}×12 + \frac{1}{25}×(16-x) = 1$
化简得：
$\frac{2}{5} + \frac{16-x}{25} = 1$
两边同乘25去分母：
$10 + 16 - x = 25$
移项解得：
$x=1$
答：乙中途休息了1天。
甲队的工作效率为$\frac{1}{30}$，乙队的工作效率为$\frac{1}{25}$，甲队实际工作了$16-4=12$天，乙队实际工作了$(16-x)$天。
根据总工作量为1，列方程：
$\frac{1}{30}×12 + \frac{1}{25}×(16-x) = 1$
化简得：
$\frac{2}{5} + \frac{16-x}{25} = 1$
两边同乘25去分母：
$10 + 16 - x = 25$
移项解得：
$x=1$
答：乙中途休息了1天。
解析
【分析】
这是工程类一元一次方程应用题，解题时首先将总工作量看作单位“1”，结合两队单独完工的时间可求出各自的工作效率；其次明确两队实际工作时间=总施工天数-中途休息天数；最后根据“甲队完成的工作量+乙队完成的工作量=总工作量1”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设乙中途休息了$x$天。
甲队的工作效率为$\frac{1}{30}$，乙队的工作效率为$\frac{1}{25}$。
甲队实际工作天数：$16-4=12$（天）
乙队实际工作天数：$(16-x)$天
根据总工作量为1列方程：
$\frac{1}{30}×12 + \frac{1}{25}×(16-x) = 1$
化简得：
$\frac{2}{5} + \frac{16-x}{25} = 1$
两边同乘25去分母：
$10 + 16 - x = 25$
移项解得：
$x=1$
【答案】
乙中途休息了1天
【知识点】
工程问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的工程类应用题，核心是掌握“工作量=工作效率×工作时间”的基本关系，将总工作量设为单位“1”是工程问题的常用解题技巧，准确找到等量关系列方程即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
这是工程类一元一次方程应用题，解题时首先将总工作量看作单位“1”，结合两队单独完工的时间可求出各自的工作效率；其次明确两队实际工作时间=总施工天数-中途休息天数；最后根据“甲队完成的工作量+乙队完成的工作量=总工作量1”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设乙中途休息了$x$天。
甲队的工作效率为$\frac{1}{30}$，乙队的工作效率为$\frac{1}{25}$。
甲队实际工作天数：$16-4=12$（天）
乙队实际工作天数：$(16-x)$天
根据总工作量为1列方程：
$\frac{1}{30}×12 + \frac{1}{25}×(16-x) = 1$
化简得：
$\frac{2}{5} + \frac{16-x}{25} = 1$
两边同乘25去分母：
$10 + 16 - x = 25$
移项解得：
$x=1$
【答案】
乙中途休息了1天
【知识点】
工程问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的工程类应用题，核心是掌握“工作量=工作效率×工作时间”的基本关系，将总工作量设为单位“1”是工程问题的常用解题技巧，准确找到等量关系列方程即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
5. 提升题 如图，将某种规格的长方形纸板按照图①、图②所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板或3块小正方形纸板.4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图③所示的无盖长方体纸盒，而有盖长方体纸盒则需要4块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板.现有这种规格的长方形纸板21张.
(1)怎样裁剪这21张纸板可制成的无盖纸盒数最多？最多能做多少个？
(2)若要求加工方另外制成有盖长方体纸盒30个，则加工方还需要购进同样规格的长方形纸板多少张？
(1)怎样裁剪这21张纸板可制成的无盖纸盒数最多？最多能做多少个？
(2)若要求加工方另外制成有盖长方体纸盒30个，则加工方还需要购进同样规格的长方形纸板多少张？
答案
解：(1) 设用x张长方形纸板按图①的方法裁剪，则用$(21-x)$张纸板按图②的方法裁剪。
要使制成的无盖纸盒数最多，裁剪出的材料需恰好配套，可得方程：
$2x = 4× 3(21-x)$
解得：$x=18$
则$21-x=3$
可制成无盖纸盒的数量为：$2×18÷4=9$（个）
答：用18张纸板按图①方法裁剪，3张纸板按图②方法裁剪可制成的无盖纸盒数最多，最多能做9个。
(2) 设裁剪出制作30个有盖纸盒所需的小长方形，需要$y$张纸板按图①方法裁剪。
根据题意得：
$2y=4×30$
解得：$y=60$
设裁剪出制作30个有盖纸盒所需的小正方形，需要$z$张纸板按图②方法裁剪。
根据题意得：
$3z=2×30$
解得：$z=20$
总共需要纸板：$60+20=80$（张）
答：加工方还需要购进同样规格的长方形纸板80张。
要使制成的无盖纸盒数最多，裁剪出的材料需恰好配套，可得方程：
$2x = 4× 3(21-x)$
解得：$x=18$
则$21-x=3$
可制成无盖纸盒的数量为：$2×18÷4=9$（个）
答：用18张纸板按图①方法裁剪，3张纸板按图②方法裁剪可制成的无盖纸盒数最多，最多能做9个。
(2) 设裁剪出制作30个有盖纸盒所需的小长方形，需要$y$张纸板按图①方法裁剪。
根据题意得：
$2y=4×30$
解得：$y=60$
设裁剪出制作30个有盖纸盒所需的小正方形，需要$z$张纸板按图②方法裁剪。
根据题意得：
$3z=2×30$
解得：$z=20$
总共需要纸板：$60+20=80$（张）
答：加工方还需要购进同样规格的长方形纸板80张。
解析
【分析】
(1) 要让制成的无盖纸盒数最多，需保证裁剪出的小长方形和小正方形刚好配套，无材料剩余。首先明确：每张按图①裁剪可得2块小长方形，每张按图②裁剪可得3块小正方形；1个无盖纸盒需要4块小长方形、1块小正方形，即配套时小长方形总数量是小正方形总数量的4倍。设x张纸板按图①裁剪，剩余(21-x)张按图②裁剪，根据配套的等量关系列方程求解，再计算可制作的纸盒数量即可。
(2) 制作有盖纸盒时，1个有盖纸盒需要4块小长方形、2块小正方形。先计算制作30个有盖纸盒所需的小长方形、小正方形总数量，再分别计算裁剪这两类材料各需要多少张原长方形纸板，求和得到总共需要的纸板数即可。
【解析】
(1) 设用x张长方形纸板按图①的方法裁剪，则用$(21-x)$张纸板按图②的方法裁剪。
裁剪得到的小长方形总数量为$2x$块，小正方形总数量为$3(21-x)$块。
根据无盖纸盒的配套要求：小长方形数量$=4×$小正方形数量，列方程：
$2x = 4× 3(21-x)$
解方程：
$2x=12(21-x)$
$2x=252-12x$
$14x=252$
$x=18$
则按图②裁剪的纸板数量为$21-x=21-18=3$（张）
可制成无盖纸盒的数量为$2×18÷4=9$（个）
(2) 制作30个有盖纸盒所需材料：
小长方形总数量：$4×30=120$（块）
小正方形总数量：$2×30=60$（块）
设裁剪120块小长方形需要$y$张纸板按图①方法裁剪，可得：
$2y=120$
解得$y=60$
设裁剪60块小正方形需要$z$张纸板按图②方法裁剪，可得：
$3z=60$
解得$z=20$
总共需要原长方形纸板数量为$60+20=80$（张）
【答案】
(1) 用18张纸板按图①方法裁剪，3张纸板按图②方法裁剪可制成的无盖纸盒数最多，最多能做9个。
(2) 加工方还需要购进同样规格的长方形纸板80张。
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 配套问题
【点评】
本题以纸板裁剪制盒为实际背景，考查利用一元一次方程解决配套优化问题，解题核心是理清不同裁剪方式的产出量、不同纸盒的材料配比，找准配套时的等量关系列方程求解，能有效锻炼逻辑分析和实际应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要让制成的无盖纸盒数最多，需保证裁剪出的小长方形和小正方形刚好配套，无材料剩余。首先明确：每张按图①裁剪可得2块小长方形，每张按图②裁剪可得3块小正方形；1个无盖纸盒需要4块小长方形、1块小正方形，即配套时小长方形总数量是小正方形总数量的4倍。设x张纸板按图①裁剪，剩余(21-x)张按图②裁剪，根据配套的等量关系列方程求解，再计算可制作的纸盒数量即可。
(2) 制作有盖纸盒时，1个有盖纸盒需要4块小长方形、2块小正方形。先计算制作30个有盖纸盒所需的小长方形、小正方形总数量，再分别计算裁剪这两类材料各需要多少张原长方形纸板，求和得到总共需要的纸板数即可。
【解析】
(1) 设用x张长方形纸板按图①的方法裁剪，则用$(21-x)$张纸板按图②的方法裁剪。
裁剪得到的小长方形总数量为$2x$块，小正方形总数量为$3(21-x)$块。
根据无盖纸盒的配套要求：小长方形数量$=4×$小正方形数量，列方程：
$2x = 4× 3(21-x)$
解方程：
$2x=12(21-x)$
$2x=252-12x$
$14x=252$
$x=18$
则按图②裁剪的纸板数量为$21-x=21-18=3$（张）
可制成无盖纸盒的数量为$2×18÷4=9$（个）
(2) 制作30个有盖纸盒所需材料：
小长方形总数量：$4×30=120$（块）
小正方形总数量：$2×30=60$（块）
设裁剪120块小长方形需要$y$张纸板按图①方法裁剪，可得：
$2y=120$
解得$y=60$
设裁剪60块小正方形需要$z$张纸板按图②方法裁剪，可得：
$3z=60$
解得$z=20$
总共需要原长方形纸板数量为$60+20=80$（张）
【答案】
(1) 用18张纸板按图①方法裁剪，3张纸板按图②方法裁剪可制成的无盖纸盒数最多，最多能做9个。
(2) 加工方还需要购进同样规格的长方形纸板80张。
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 配套问题
【点评】
本题以纸板裁剪制盒为实际背景，考查利用一元一次方程解决配套优化问题，解题核心是理清不同裁剪方式的产出量、不同纸盒的材料配比，找准配套时的等量关系列方程求解，能有效锻炼逻辑分析和实际应用能力。
【难度系数】
0.6
