典型例题
把数据 $ 2,8,10,4,12 $ 分成两组，根据组内离差平方和最小的原则，分组正确的是()。

A.$\{ 2 \},\{ 4,8,10,12 \}$
B.$\{ 2,4 \},\{ 8,10,12 \}$
C.$\{ 2,4,8 \},\{ 10,12 \}$
D.$\{ 2,4,8,10 \},\{ 12 \}$
【思路分析】熟练掌握离差平方和公式是解题的关键，将数据按从小到大排列并分成两组，依次求出每个选项中的“组内离差平方和”，据此进行比较即可。
【解答】A 选项中第一组数据的平均数为 $ 2 $，离差平方和为 $ (2 - 2)^2 = 0 $，第二组数据的平均数为 $ \frac{4 + 8 + 10 + 12}{4} = 8.5 $，离差平方和为 $ (4 - 8.5)^2 + (8 - 8.5)^2 + (10 - 8.5)^2 + (12 - 8.5)^2 = 35 $，所以组内离差平方和为 $ 0 + 35 = 35 $；B 选项中第一组数据的平均数为 $ \frac{2 + 4}{2} = 3 $，离差平方和为 $ (2 - 3)^2 + (4 - 3)^2 = 2 $，第二组数据的平均数为 $ \frac{8 + 10 + 12}{3} = 10 $，离差平方和为 $ (8 - 10)^2 + (10 - 10)^2 + (12 - 10)^2 = 8 $，所以组内离差平方和为 $ 2 + 8 = 10 $；C 选项中第一组数据的平均数为 $ \frac{2 + 4 + 8}{3} = \frac{14}{3} $，离差平方和为 $ (2 - \frac{14}{3})^2 + (4 - \frac{14}{3})^2 + (8 - \frac{14}{3})^2 = \frac{56}{3} $，第二组数据的平均数为 $ \frac{10 + 12}{2} = 11 $，离差平方和为 $ (10 - 11)^2 + (12 - 11)^2 = 2 $，所以组内离差平方和为 $ \frac{56}{3} + 2 = \frac{62}{3} $；D 选项中第一组数据的平均数为 $ \frac{2 + 4 + 8 + 10}{4} = 6 $，离差平方和为 $ (2 - 6)^2 + (4 - 6)^2 + (8 - 6)^2 + (10 - 6)^2 = 40 $，第二组数据的平均数为 $ 12 $，离差平方和为 $ (12 - 12)^2 = 0 $，所以组内离差平方和为 $ 40 + 0 = 40 $。
综上，选 B。

B

1. 计算各选项的组内离差平方和总和：
A选项：第一组离差平方和为$(2-2)^2=0$；第二组平均数为8.5，离差平方和为$(4-8.5)^2+(8-8.5)^2+(10-8.5)^2+(12-8.5)^2=35$，总和为$0+35=35$。
B选项：第一组平均数为3，离差平方和为$(2-3)^2+(4-3)^2=2$；第二组平均数为10，离差平方和为$(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2=8$，总和为$2+8=10$。
C选项：第一组平均数为$\frac{14}{3}$，离差平方和为$(2-\frac{14}{3})^2+(4-\frac{14}{3})^2+(8-\frac{14}{3})^2=\frac{56}{3}$；第二组平均数为11，离差平方和为$(10-11)^2+(12-11)^2=2$，总和为$\frac{56}{3}+2=\frac{62}{3}$。
D选项：第一组平均数为6，离差平方和为$(2-6)^2+(4-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2=40$；第二组离差平方和为0，总和为$40+0=40$。
2. 比较总和：$10＜\frac{62}{3}＜35＜40$，可知B选项的组内离差平方和最小。