例 1 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$AC$，$BD$ 交于点 $M$，且 $AC⊥ BD$，$AM = BM = CM = DM = 1$. 建立平面直角坐标系，使点 $A$，$B$，$C$，$D$ 中至少有三个点在坐标轴上，请分别写出点 $A$，$B$，$C$，$D$ 的坐标.

分析：对于一个图形，建立不同的平面直角坐标系，同一点的坐标不一定相同；为了保证 $x$ 轴水平方向向右为正，$y$ 轴竖直方向向上为正，可将图形适当旋转.
解：答案不唯一.
方法 1：如图①，以 $BC$ 所在直线为 $x$ 轴，$AB$ 所在直线为 $y$ 轴，点 $D$ 在第一象限建立平面直角坐标系.
$\because AC⊥ BD$，$AM = BM = CM = DM = 1$，

$\therefore S_{\mathrm{三角形}AOC}=\frac{1}{2}AC· BM=\frac{1}{2}× 2× 1 = 1$.
而 $S_{\mathrm{三角形}AOC}=\frac{1}{2}AO· CO=\frac{1}{2}· (AO)^2$，
$\therefore \frac{1}{2}· (AO)^2 = 1$. $\therefore (AO)^2 = 2$. $\therefore AO = \sqrt{2}$，即 $CO = CD = AD = AO = \sqrt{2}$.
$\therefore A(0,\sqrt{2})$，$B(0,0)$，$C(\sqrt{2},0)$，$D(\sqrt{2},\sqrt{2})$.
方法 2：如图②，将正方形 $ABCD$ 适当旋转，使 $BD$ 所在直线处于水平位置. 以 $BD$ 所在直线为 $x$ 轴，$AC$ 所在直线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系.

$\because AM = BM = CM = DM = 1$，
$\therefore A(0,1)$，$B(-1,0)$，$C(0,-1)$，$D(1,0)$.

解：答案不唯一.
方法1：以BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，点B为原点建立平面直角坐标系.
∵AC⊥BD，AM=BM=CM=DM=1，
∴AC=BD=2.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴AC=√(AB²+BC²)=√(2AB²)=AB√2=2，
∴AB=√2，
∴A(0,√2)，B(0,0)，C(√2,0)，D(√2,√2).
方法2：以BD所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，交点M为原点建立平面直角坐标系.
∵AM=BM=CM=DM=1，
∴A(0,1)，B(-1,0)，C(0,-1)，D(1,0).