登录
1.用无刻度的直尺和圆规确定$△ ABC$的内心，下列作法正确的是（
C
）答案
1.C
解析
【分析】
要确定三角形的内心，首先明确三角形内心的定义：内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此只需判断各选项的作图得到的交点是否为两个内角的角平分线交点即可。首先识别每种尺规作图的类型，逐一排除错误选项：垂直平分线的交点是外心，只有角平分线的交点才是内心。
【解析】
三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，据此分析各选项：
1. 选项A：所作的是边BC和边AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点是三角形的外心（外接圆圆心），不是内心，故A错误；
2. 选项B：所作的是∠BAC的平分线和BC边的垂直平分线，二者交点不是两个内角平分线的交点，不是内心，故B错误；
3. 选项C：所作的是∠ABC和∠ACB的角平分线，两条角平分线的交点即为三角形的内心，故C正确；
4. 选项D：所作的是∠ABC的平分线和BC边的垂直平分线，二者交点不是两个内角平分线的交点，不是内心，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的定义；尺规作角平分线
【点评】
本题核心是区分三角形内心和外心的定义，以及识别角平分线、垂直平分线的尺规作图痕迹，掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.85
要确定三角形的内心，首先明确三角形内心的定义：内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此只需判断各选项的作图得到的交点是否为两个内角的角平分线交点即可。首先识别每种尺规作图的类型，逐一排除错误选项：垂直平分线的交点是外心，只有角平分线的交点才是内心。
【解析】
三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，据此分析各选项：
1. 选项A：所作的是边BC和边AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点是三角形的外心（外接圆圆心），不是内心，故A错误；
2. 选项B：所作的是∠BAC的平分线和BC边的垂直平分线，二者交点不是两个内角平分线的交点，不是内心，故B错误；
3. 选项C：所作的是∠ABC和∠ACB的角平分线，两条角平分线的交点即为三角形的内心，故C正确；
4. 选项D：所作的是∠ABC的平分线和BC边的垂直平分线，二者交点不是两个内角平分线的交点，不是内心，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的定义；尺规作角平分线
【点评】
本题核心是区分三角形内心和外心的定义，以及识别角平分线、垂直平分线的尺规作图痕迹，掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.85
2. 已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$(a-4)^2 + (\sqrt{b-1} - 2)^2 + |c - 3| = 0$，则$△ ABC$的内切圆半径为（
A.1
B.2
C.3
D.4
A
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
2. A 【解析】$\because (a-4)^2+(\sqrt{b-1}-2)^2+|c-3|=0$，
$\therefore c=3,a=4,b=5.$
$\because 3^2+4^2=25=5^2,\therefore c^2+a^2=b^2,$
$\therefore △ ABC$是直角三角形.
设内切圆的半径为r.
根据题意,得 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×3r+\frac{1}{2}×4r+\frac{1}{2}×5r$,即$12=12r$,解得 $r=1.$
$\therefore c=3,a=4,b=5.$
$\because 3^2+4^2=25=5^2,\therefore c^2+a^2=b^2,$
$\therefore △ ABC$是直角三角形.
设内切圆的半径为r.
根据题意,得 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×3r+\frac{1}{2}×4r+\frac{1}{2}×5r$,即$12=12r$,解得 $r=1.$
解析
【分析】
解题首先从已知等式入手，我们学过平方、绝对值都是非负数，几个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此可以先求出三角形三边a、b、c的长度；接下来通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，确认是直角三角形后，再利用面积法求解内切圆半径：将原三角形分割为三个以内切圆半径为高、原三角形三边为底的小三角形，三个小三角形的面积和等于原三角形的面积，列等式即可算出半径。
【解析】
$\because$ 平方和绝对值都具有非负性，即$(a-4)^2≥0$，$(\sqrt{b-1}-2)^2≥0$，$|c-3|≥0$，且它们的和为0，
$\therefore$ 每个非负项的值都为0，即：
$a-4=0$，解得$a=4$；
$\sqrt{b-1}-2=0$，即$\sqrt{b-1}=2$，两边平方得$b-1=4$，解得$b=5$；
$c-3=0$，解得$c=3$。
$\because 3^2+4^2=9+16=25=5^2$，即$c^2+a^2=b^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，直角边为3和4，斜边为5。
设内切圆的半径为$r$，连接内心和三角形三个顶点，将$△ ABC$分为三个小三角形，三个小三角形的面积和等于$△ ABC$的面积，可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×3r+\frac{1}{2}×4r+\frac{1}{2}×5r$
等式两边同时乘2消去分母得：$12=3r+4r+5r$，即$12=12r$，
解得$r=1$。
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理；内切圆半径计算
【点评】
本题是三角形内切圆相关的常规综合题，解题核心是先通过非负数的性质确定三角形三边长，判断三角形形状后用面积法求内切圆半径，是对基础知识点的综合应用，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
解题首先从已知等式入手，我们学过平方、绝对值都是非负数，几个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此可以先求出三角形三边a、b、c的长度；接下来通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，确认是直角三角形后，再利用面积法求解内切圆半径：将原三角形分割为三个以内切圆半径为高、原三角形三边为底的小三角形，三个小三角形的面积和等于原三角形的面积，列等式即可算出半径。
【解析】
$\because$ 平方和绝对值都具有非负性，即$(a-4)^2≥0$，$(\sqrt{b-1}-2)^2≥0$，$|c-3|≥0$，且它们的和为0，
$\therefore$ 每个非负项的值都为0，即：
$a-4=0$，解得$a=4$；
$\sqrt{b-1}-2=0$，即$\sqrt{b-1}=2$，两边平方得$b-1=4$，解得$b=5$；
$c-3=0$，解得$c=3$。
$\because 3^2+4^2=9+16=25=5^2$，即$c^2+a^2=b^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，直角边为3和4，斜边为5。
设内切圆的半径为$r$，连接内心和三角形三个顶点，将$△ ABC$分为三个小三角形，三个小三角形的面积和等于$△ ABC$的面积，可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×3r+\frac{1}{2}×4r+\frac{1}{2}×5r$
等式两边同时乘2消去分母得：$12=3r+4r+5r$，即$12=12r$，
解得$r=1$。
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理；内切圆半径计算
【点评】
本题是三角形内切圆相关的常规综合题，解题核心是先通过非负数的性质确定三角形三边长，判断三角形形状后用面积法求内切圆半径，是对基础知识点的综合应用，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
3.如图,点O在△ABC的内部,∠A=40°.
(1)若点O是△ABC的外心,则∠BOC的度数为
(2)若点O是△ABC的内心,则∠BOC的度数为
(1)若点O是△ABC的外心,则∠BOC的度数为
80°
.(2)若点O是△ABC的内心,则∠BOC的度数为
110°
.答案
3.(1)$80°$ (2)$110°$
解析
【分析】
本题分两小问，解题思路如下：
(1) 若O是外心，外心是三角形外接圆的圆心，此时需联系圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠A和∠BOC是同弧BC所对的圆周角和圆心角，直接用倍数关系计算即可。
(2) 若O是内心，内心是三角形三条角平分线的交点，即OB平分∠ABC、OC平分∠ACB，先利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB的度数，再求出两个角一半的和，最后在△BOC中再次用内角和定理计算∠BOC的度数。
【解析】
(1)
∵ 点O是△ABC的外心，
∴ O是△ABC外接圆的圆心，∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠A是弧BC所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠BOC = 2∠A = 2×40° = 80°。
(2)
∵ 点O是△ABC的内心，
∴ OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，即$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$，
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-40°=140°$，
∴ $∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×140°=70°$，
在△BOC中，$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-70°=110°$。
【答案】
(1) $\boxed{80°}$ (2) $\boxed{110°}$
【知识点】
圆周角定理，三角形内心的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是区分三角形外心和内心的性质，结合对应的几何定理进行角度推导即可求解，注意不要混淆两类特殊点的性质。
【难度系数】
0.8
本题分两小问，解题思路如下：
(1) 若O是外心，外心是三角形外接圆的圆心，此时需联系圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠A和∠BOC是同弧BC所对的圆周角和圆心角，直接用倍数关系计算即可。
(2) 若O是内心，内心是三角形三条角平分线的交点，即OB平分∠ABC、OC平分∠ACB，先利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB的度数，再求出两个角一半的和，最后在△BOC中再次用内角和定理计算∠BOC的度数。
【解析】
(1)
∵ 点O是△ABC的外心，
∴ O是△ABC外接圆的圆心，∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠A是弧BC所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠BOC = 2∠A = 2×40° = 80°。
(2)
∵ 点O是△ABC的内心，
∴ OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，即$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$，
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-40°=140°$，
∴ $∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×140°=70°$，
在△BOC中，$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-70°=110°$。
【答案】
(1) $\boxed{80°}$ (2) $\boxed{110°}$
【知识点】
圆周角定理，三角形内心的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是区分三角形外心和内心的性质，结合对应的几何定理进行角度推导即可求解，注意不要混淆两类特殊点的性质。
【难度系数】
0.8
4.如图，点P是$△ ABC$的内心，连接PA，PB，PC，$△ PAB$，$△ PBC$，$△ PAC$的面积分别为$S_1$，$S_2$，$S_3$，则$S_1$
＜
$S_2+S_3$（填“＞”“＜”或“=”）。答案
4.$＜$
解析
【分析】
要比较三个小三角形的面积大小，首先利用三角形内心的性质：内心是三角形角平分线的交点，到三边的距离相等，由此可得出三个小三角形的高相等，都等于内切圆半径；再将面积比较转化为对应底边长的比较，最后结合三角形三边关系即可得出结论。
【解析】
∵ 点P是△ABC的内心，
∴ P到AB、BC、AC三边的距离相等，设该距离为内切圆半径r，
根据三角形面积公式可得：
$S_1=\frac{1}{2} · AB · r$，$S_2=\frac{1}{2} · BC · r$，$S_3=\frac{1}{2} · AC · r$，
∴ $S_2+S_3=\frac{1}{2}r(BC+AC)$，
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得$AB ＜ AC + BC$，
不等式两边同时乘正数$\frac{1}{2}r$，不等号方向不变，
∴ $\frac{1}{2} · AB · r ＜ \frac{1}{2}r(AC+BC)$，即$S_1 ＜ S_2 + S_3$。
【答案】
＜
【知识点】
三角形内心的性质；三角形面积计算；三角形三边关系
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，解题的核心是利用内心到三边距离相等的性质，将面积大小比较转化为边长的大小比较，再结合三边关系快速求解。
【难度系数】
0.7
要比较三个小三角形的面积大小，首先利用三角形内心的性质：内心是三角形角平分线的交点，到三边的距离相等，由此可得出三个小三角形的高相等，都等于内切圆半径；再将面积比较转化为对应底边长的比较，最后结合三角形三边关系即可得出结论。
【解析】
∵ 点P是△ABC的内心，
∴ P到AB、BC、AC三边的距离相等，设该距离为内切圆半径r，
根据三角形面积公式可得：
$S_1=\frac{1}{2} · AB · r$，$S_2=\frac{1}{2} · BC · r$，$S_3=\frac{1}{2} · AC · r$，
∴ $S_2+S_3=\frac{1}{2}r(BC+AC)$，
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得$AB ＜ AC + BC$，
不等式两边同时乘正数$\frac{1}{2}r$，不等号方向不变，
∴ $\frac{1}{2} · AB · r ＜ \frac{1}{2}r(AC+BC)$，即$S_1 ＜ S_2 + S_3$。
【答案】
＜
【知识点】
三角形内心的性质；三角形面积计算；三角形三边关系
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，解题的核心是利用内心到三边距离相等的性质，将面积大小比较转化为边长的大小比较，再结合三边关系快速求解。
【难度系数】
0.7
5.如图,在扇形CAB中,CD⊥AB,垂足为D.⊙E是△ACD的内切圆,连接AE,BE,则∠AEB的度数为
第5题图 第6题图
135°
.第5题图 第6题图
答案
5.$135°$ 【解析】如图,连接 EC. 由题意,得
点 E 是$△ ADC$的内心,$\therefore ∠ AEC=180°$
$-\frac{1}{2}(∠ ACD+∠ CAD)=135°$.由题意
可知,$∠ CAE=∠ BAE,AC=AB,AE$
$=AE,\therefore △ AEC≌△ AEB(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ AEC=∠ AEB=135°.$
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件分析：①看到△ACD的内切圆，回忆内心是三角形内角平分线的交点，可得到角的倍分关系；②由CD⊥AB可知△ACD是直角三角形，两个锐角和为90°，结合角平分线性质可求出△AEC中两个锐角的和，进而得到∠AEC的度数；③观察所求∠AEB，结合扇形半径相等AC=AB、AE公共且AE平分∠CAB，可证明△AEC和△AEB全等，即可得到∠AEB的度数。
【解析】
如图，连接EC。
∵点E是△ADC的内心，
∴AE平分∠CAD，CE平分∠ACD，即$∠ CAE=∠ BAE$，$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACD$，$∠ CAE=\frac{1}{2}∠ CAD$。
∵$CD⊥ AB$，
∴$∠ ADC=90°$，
∴$∠ ACD+∠ CAD=180°-∠ ADC=90°$，
∴$∠ CAE+∠ ACE=\frac{1}{2}(∠ ACD+∠ CAD)=\frac{1}{2}×90°=45°$，
在△AEC中，由三角形内角和得：$∠ AEC=180°-(∠ CAE+∠ ACE)=180°-45°=135°$。
∵在扇形CAB中，$AC=AB$，
在△AEC和△AEB中：
$\begin{cases}AC=AB\\∠ CAE=∠ BAE\\AE=AE\end{cases}$
∴$△ AEC≌△ AEB(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ AEB=∠ AEC=135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
三角形内心的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何综合题，将三角形内切圆、全等三角形、角度计算结合考查，解题的关键是熟练运用内心的角平分线性质，通过证明全等完成待求角和已知角的转化。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合已知条件分析：①看到△ACD的内切圆，回忆内心是三角形内角平分线的交点，可得到角的倍分关系；②由CD⊥AB可知△ACD是直角三角形，两个锐角和为90°，结合角平分线性质可求出△AEC中两个锐角的和，进而得到∠AEC的度数；③观察所求∠AEB，结合扇形半径相等AC=AB、AE公共且AE平分∠CAB，可证明△AEC和△AEB全等，即可得到∠AEB的度数。
【解析】
如图，连接EC。
∵点E是△ADC的内心，
∴AE平分∠CAD，CE平分∠ACD，即$∠ CAE=∠ BAE$，$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACD$，$∠ CAE=\frac{1}{2}∠ CAD$。
∵$CD⊥ AB$，
∴$∠ ADC=90°$，
∴$∠ ACD+∠ CAD=180°-∠ ADC=90°$，
∴$∠ CAE+∠ ACE=\frac{1}{2}(∠ ACD+∠ CAD)=\frac{1}{2}×90°=45°$，
在△AEC中，由三角形内角和得：$∠ AEC=180°-(∠ CAE+∠ ACE)=180°-45°=135°$。
∵在扇形CAB中，$AC=AB$，
在△AEC和△AEB中：
$\begin{cases}AC=AB\\∠ CAE=∠ BAE\\AE=AE\end{cases}$
∴$△ AEC≌△ AEB(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ AEB=∠ AEC=135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
三角形内心的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何综合题，将三角形内切圆、全等三角形、角度计算结合考查，解题的关键是熟练运用内心的角平分线性质，通过证明全等完成待求角和已知角的转化。
【难度系数】
0.6
6.如图，$\odot I$是$△ ABC$的内切圆，切点分别是D，E，F.
(1)若$∠ B=50°$，$∠ C=70°$，则$∠ DFE$的度数为
(2)若$∠ DFE=50°$，则$∠ A$的度数为
(1)若$∠ B=50°$，$∠ C=70°$，则$∠ DFE$的度数为
60°
.(2)若$∠ DFE=50°$，则$∠ A$的度数为
80°
.答案
6.(1)$60°$ (2)$80°$ 【解析】(2)如图,连
接 ID,IE.
$\because ∠ DFE=50°,$
$\therefore ∠ DIE=100°.$
$\because AB,AC$分别与$\odot I$相切于点 D,E,
$\therefore ∠ ADI=∠ AEI=90°.$
$\because ∠ A+∠ ADI+∠ DIE+∠ AEI=360°,$
$\therefore ∠ A=180°-∠ DIE=80°.$
解析
【分析】
解决本题的核心是利用三角形内切圆的切线性质、圆周角与圆心角的关系结合内角和公式求解。首先遇到内切圆切点的问题，优先连接圆心和切点，可得切线垂直于过切点的半径；其次∠DFE是圆周角，它所对的弧对应的圆心角是∠DIE，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，建立二者的数量关系；最后结合四边形或三角形的内角和即可求出待求角度。第(1)问先通过三角形内角和求∠A，再推导∠DIE，最后求∠DFE；第(2)问反过来，先由∠DFE求∠DIE，再推导∠A。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，$∠ B=50°$，$∠ C=70°$，根据三角形内角和定理：
$∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-50°-70°=60°$。
连接$ID$、$IE$，$\because AB$、$AC$分别与$\odot I$相切于点$D$、$E$，
$\therefore ID⊥ AB$，$IE⊥ AC$，即$∠ ADI=∠ AEI=90°$。
在四边形$ADIE$中，内角和为$360°$，因此：
$∠ DIE=360°-∠ ADI-∠ AEI-∠ A=360°-90°-90°-60°=120°$。
$\because ∠ DFE$是弧$DE$所对的圆周角，$∠ DIE$是弧$DE$所对的圆心角，根据圆周角定理：
$∠ DFE=\frac{1}{2}∠ DIE=\frac{1}{2}×120°=60°$。
(2) 如图,连接$ID$,$IE$.
$\because ∠ DFE=50°,$
$\therefore ∠ DIE=2∠ DFE=100°.$
$\because AB,AC$分别与$\odot I$相切于点$D,E,$
$\therefore ∠ ADI=∠ AEI=90°.$
$\because $四边形$ADIE$内角和为$360°$，即$∠ A+∠ ADI+∠ DIE+∠ AEI=360°,$
$\therefore ∠ A=360°-90°-90°-100°=80°.$
【答案】
(1)$60°$ (2)$80°$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形内切圆的基础应用题，解题的关键是熟练掌握切线性质和圆周角定理，通过连接圆心与切点构造直角，结合内角和公式即可快速求解，是内切圆相关考点的常考题型。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用三角形内切圆的切线性质、圆周角与圆心角的关系结合内角和公式求解。首先遇到内切圆切点的问题，优先连接圆心和切点，可得切线垂直于过切点的半径；其次∠DFE是圆周角，它所对的弧对应的圆心角是∠DIE，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，建立二者的数量关系；最后结合四边形或三角形的内角和即可求出待求角度。第(1)问先通过三角形内角和求∠A，再推导∠DIE，最后求∠DFE；第(2)问反过来，先由∠DFE求∠DIE，再推导∠A。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，$∠ B=50°$，$∠ C=70°$，根据三角形内角和定理：
$∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-50°-70°=60°$。
连接$ID$、$IE$，$\because AB$、$AC$分别与$\odot I$相切于点$D$、$E$，
$\therefore ID⊥ AB$，$IE⊥ AC$，即$∠ ADI=∠ AEI=90°$。
在四边形$ADIE$中，内角和为$360°$，因此：
$∠ DIE=360°-∠ ADI-∠ AEI-∠ A=360°-90°-90°-60°=120°$。
$\because ∠ DFE$是弧$DE$所对的圆周角，$∠ DIE$是弧$DE$所对的圆心角，根据圆周角定理：
$∠ DFE=\frac{1}{2}∠ DIE=\frac{1}{2}×120°=60°$。
(2) 如图,连接$ID$,$IE$.
$\because ∠ DFE=50°,$
$\therefore ∠ DIE=2∠ DFE=100°.$
$\because AB,AC$分别与$\odot I$相切于点$D,E,$
$\therefore ∠ ADI=∠ AEI=90°.$
$\because $四边形$ADIE$内角和为$360°$，即$∠ A+∠ ADI+∠ DIE+∠ AEI=360°,$
$\therefore ∠ A=360°-90°-90°-100°=80°.$
【答案】
(1)$60°$ (2)$80°$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形内切圆的基础应用题，解题的关键是熟练掌握切线性质和圆周角定理，通过连接圆心与切点构造直角，结合内角和公式即可快速求解，是内切圆相关考点的常考题型。
【难度系数】
0.7
7.如下图，PA，PB分别与$\odot O$相切于点A，B，BC为$\odot O$的直径，OP交$\odot O$于点E，交AB于点F.求证：
(1)$AC// OP$.
(2)点E是$△ ABP$的内心.
(1)$AC// OP$.
(2)点E是$△ ABP$的内心.
答案
7.证明:(1) $\because$ PA, PB 是 $\odot O$ 的切线, $\therefore PA=PB,$
$∠ APO=∠ BPO,\therefore PO⊥ AB,\therefore ∠ AFP=90°.\because BC$
为$\odot O$的直径,$\therefore ∠ BAC=90°,\therefore ∠ BAC=∠ AFP=$
$90°,\therefore AC// OP.$
(2)如图,连接 BE. $\because PB$ 是$\odot O$的
切线,$\therefore ∠ PBO=90°,\therefore ∠ PBE+$
$∠ OBE = 90°. \because PF ⊥ AB,$
$\therefore ∠ EBF+∠ BEF=90°. \because OB=$
$OE,\therefore ∠ BEF=∠ OBE,\therefore ∠ PBE=∠ EBF,\therefore BE$ 平
分$∠ PBF. \because PA,PB$是$\odot O$的切线,$\therefore PO$平分
$∠ APB,\therefore E$是$△ ABP$的三条角平分线的交点,$\therefore$点
E 是$△ ABP$的内心.
解析
【分析】
(1) 要证$AC// OP$，可通过证明两直线垂直于同一条直线推导平行：首先根据切线长定理可得$PA=PB$且$OP$平分$∠ APB$，由等腰三角形三线合一的性质得$OP⊥ AB$；再结合直径所对圆周角为直角，得$∠ BAC=90°$，即可通过同位角相等证明两直线平行。
(2) 三角形内心是三角形三条角平分线的交点，已知$OP$平分$∠ APB$，只需证明$BE$平分$∠ ABP$即可：连接$BE$，结合切线性质得到$∠ PBO=90°$，再利用等角的余角相等、等腰三角形等边对等角的性质推导角相等，即可得$BE$是角平分线，最终证明$E$为$△ ABP$的内心。
【解析】
(1) 证明：
$\because PA, PB$是$\odot O$的切线，
$\therefore PA=PB$，$∠ APO=∠ BPO$，
$\therefore PO⊥ AB$，即$∠ AFP=90°$。
$\because BC$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ AFP=90°$，
$\therefore AC// OP$。
(2) 证明：
如图，连接$BE$。
$\because PB$是$\odot O$的切线，
$\therefore ∠ PBO=90°$，
$\therefore ∠ PBE+∠ OBE = 90°$。
$\because PF ⊥ AB$，
$\therefore ∠ EBF+∠ BEF=90°$。
$\because OB=OE$，
$\therefore ∠ BEF=∠ OBE$，
$\therefore ∠ PBE=∠ EBF$，即$BE$平分$∠ PBF$。
$\because PA,PB$是$\odot O$的切线，
$\therefore PO$平分$∠ APB$，
$\therefore E$是$△ ABP$的三条角平分线的交点，
$\therefore$点$E$是$△ ABP$的内心。
【答案】
7.证明:(1) $\because$ PA, PB 是 $\odot O$ 的切线, $\therefore PA=PB,$
$∠ APO=∠ BPO,\therefore PO⊥ AB,\therefore ∠ AFP=90°.\because BC$
为$\odot O$的直径,$\therefore ∠ BAC=90°,\therefore ∠ BAC=∠ AFP=$
$90°,\therefore AC// OP.$
(2)如图,连接 BE. $\because PB$ 是$\odot O$的
切线,$\therefore ∠ PBO=90°,\therefore ∠ PBE+$
$∠ OBE = 90°. \because PF ⊥ AB,$
$\therefore ∠ EBF+∠ BEF=90°. \because OB=$
$OE,\therefore ∠ BEF=∠ OBE,\therefore ∠ PBE=∠ EBF,\therefore BE$ 平
分$∠ PBF. \because PA,PB$是$\odot O$的切线,$\therefore PO$平分
$∠ APB,\therefore E$是$△ ABP$的三条角平分线的交点,$\therefore$点
E 是$△ ABP$的内心.
【知识点】
切线的性质；切线长定理；三角形内心定义
【点评】
本题属于圆的综合基础题，主要考察圆相关性质与三角形角平分线、内心判定的结合运用，解题的核心是熟练掌握切线、直径的性质，通过角的等量转化完成平行关系和角平分线的推导，对巩固基础定理的综合应用能力有较好的训练效果。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$AC// OP$，可通过证明两直线垂直于同一条直线推导平行：首先根据切线长定理可得$PA=PB$且$OP$平分$∠ APB$，由等腰三角形三线合一的性质得$OP⊥ AB$；再结合直径所对圆周角为直角，得$∠ BAC=90°$，即可通过同位角相等证明两直线平行。
(2) 三角形内心是三角形三条角平分线的交点，已知$OP$平分$∠ APB$，只需证明$BE$平分$∠ ABP$即可：连接$BE$，结合切线性质得到$∠ PBO=90°$，再利用等角的余角相等、等腰三角形等边对等角的性质推导角相等，即可得$BE$是角平分线，最终证明$E$为$△ ABP$的内心。
【解析】
(1) 证明：
$\because PA, PB$是$\odot O$的切线，
$\therefore PA=PB$，$∠ APO=∠ BPO$，
$\therefore PO⊥ AB$，即$∠ AFP=90°$。
$\because BC$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ AFP=90°$，
$\therefore AC// OP$。
(2) 证明：
如图，连接$BE$。
$\because PB$是$\odot O$的切线，
$\therefore ∠ PBO=90°$，
$\therefore ∠ PBE+∠ OBE = 90°$。
$\because PF ⊥ AB$，
$\therefore ∠ EBF+∠ BEF=90°$。
$\because OB=OE$，
$\therefore ∠ BEF=∠ OBE$，
$\therefore ∠ PBE=∠ EBF$，即$BE$平分$∠ PBF$。
$\because PA,PB$是$\odot O$的切线，
$\therefore PO$平分$∠ APB$，
$\therefore E$是$△ ABP$的三条角平分线的交点，
$\therefore$点$E$是$△ ABP$的内心。
【答案】
7.证明:(1) $\because$ PA, PB 是 $\odot O$ 的切线, $\therefore PA=PB,$
$∠ APO=∠ BPO,\therefore PO⊥ AB,\therefore ∠ AFP=90°.\because BC$
为$\odot O$的直径,$\therefore ∠ BAC=90°,\therefore ∠ BAC=∠ AFP=$
$90°,\therefore AC// OP.$
(2)如图,连接 BE. $\because PB$ 是$\odot O$的
切线,$\therefore ∠ PBO=90°,\therefore ∠ PBE+$
$∠ OBE = 90°. \because PF ⊥ AB,$
$\therefore ∠ EBF+∠ BEF=90°. \because OB=$
$OE,\therefore ∠ BEF=∠ OBE,\therefore ∠ PBE=∠ EBF,\therefore BE$ 平
分$∠ PBF. \because PA,PB$是$\odot O$的切线,$\therefore PO$平分
$∠ APB,\therefore E$是$△ ABP$的三条角平分线的交点,$\therefore$点
E 是$△ ABP$的内心.
【知识点】
切线的性质；切线长定理；三角形内心定义
【点评】
本题属于圆的综合基础题，主要考察圆相关性质与三角形角平分线、内心判定的结合运用，解题的核心是熟练掌握切线、直径的性质，通过角的等量转化完成平行关系和角平分线的推导，对巩固基础定理的综合应用能力有较好的训练效果。
【难度系数】
0.7
