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1.「2026江苏南京求真中学月考」如图，$∠ C = ∠ D = 90°$，要用“HL”证明 $\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ ABD$，需要添加的一个条件是 （
A.AB平分$∠ CAD$
B.$AC=BD$
C.$BC=BD$
D.$AD=BC$
C
）A.AB平分$∠ CAD$
B.$AC=BD$
C.$BC=BD$
D.$AD=BC$
答案
1.C
2.「2026江苏连云港赣榆期中」如图，$EC ⊥ BD$，垂足为$C$，$A$是$EC$上一点，且$AC=CD$，连接$AB$，$ED$，$AB=DE$。若$AC=3.5$，$BD=9$，则$CE$的长为
5.5
。答案
2.答案 5.5
解析 $\because EC ⊥ BD,\therefore ∠ ECD = ∠ BCA = 90°$,
在 $\mathrm{Rt}△ ECD$ 和 $\mathrm{Rt}△ BCA$ 中, $\begin{cases} DE = AB, \\ CD = CA, \end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ ECD ≌ \mathrm{Rt}△ BCA(\mathrm{HL}),\therefore CE = BC,\because CD = AC = 3.5, BD = 9,$
$\therefore CE = BC = BD - CD = 9 - 3.5 = 5.5.$
解析 $\because EC ⊥ BD,\therefore ∠ ECD = ∠ BCA = 90°$,
在 $\mathrm{Rt}△ ECD$ 和 $\mathrm{Rt}△ BCA$ 中, $\begin{cases} DE = AB, \\ CD = CA, \end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ ECD ≌ \mathrm{Rt}△ BCA(\mathrm{HL}),\therefore CE = BC,\because CD = AC = 3.5, BD = 9,$
$\therefore CE = BC = BD - CD = 9 - 3.5 = 5.5.$
3.如图，AD是$△ ABC$的高，$AD = BD$，$∠ DAB = ∠ DBA$，$BE = AC$，$∠ BAC = 70°$，则$∠ DBE$的度数为
25°
。答案
3.答案 $25°$
解析 $\because AD$ 是 $△ ABC$ 的高, $\therefore ∠ ADB = ∠ ADC = 90°$,
在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中, $\begin{cases} BE = AC, \\ BD = AD, \end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ ADC(\mathrm{HL}), \therefore ∠ DBE = ∠ DAC$, 在 $\mathrm{Rt}△ ADB$ 中,
$∠ ADB = 90°, AD = BD, \therefore ∠ DAB = ∠ DBA = 45°$,
$\because ∠ BAC = 70°, \therefore ∠ DAC = 70° - 45° = 25°, \therefore ∠ DBE = ∠ DAC = 25°$. 故答案为 $25°$.
解析 $\because AD$ 是 $△ ABC$ 的高, $\therefore ∠ ADB = ∠ ADC = 90°$,
在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中, $\begin{cases} BE = AC, \\ BD = AD, \end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ ADC(\mathrm{HL}), \therefore ∠ DBE = ∠ DAC$, 在 $\mathrm{Rt}△ ADB$ 中,
$∠ ADB = 90°, AD = BD, \therefore ∠ DAB = ∠ DBA = 45°$,
$\because ∠ BAC = 70°, \therefore ∠ DAC = 70° - 45° = 25°, \therefore ∠ DBE = ∠ DAC = 25°$. 故答案为 $25°$.
4. 学科特色教材变式 如图，$AC ⊥ BC$，$AD ⊥ BD$，$AD = BC$，$CE ⊥ AB$，$DF ⊥ AB$，垂足分别是$E$，$F$.求证：$CE = DF$.
答案
4.证明 $\because AC ⊥ BC, AD ⊥ BD, \therefore ∠ ACB = ∠ BDA = 90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ BAD$ 中, $\begin{cases} AB = BA, \\ BC = AD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ BAD(\mathrm{HL}), \therefore S_{△ ABC} = S_{△ BAD}$.
$\because CE ⊥ AB$ 于点 $E, DF ⊥ AB$ 于点 $F$,
$\therefore \frac{1}{2}AB · CE = \frac{1}{2}AB · DF, \therefore CE = DF$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ BAD$ 中, $\begin{cases} AB = BA, \\ BC = AD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ BAD(\mathrm{HL}), \therefore S_{△ ABC} = S_{△ BAD}$.
$\because CE ⊥ AB$ 于点 $E, DF ⊥ AB$ 于点 $F$,
$\therefore \frac{1}{2}AB · CE = \frac{1}{2}AB · DF, \therefore CE = DF$.
5. 「2026 江苏苏州姑苏期中，★☆」如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=12\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，$AD⊥ AC$于点$A$，$P$，$Q$分别是线段$AC$、射线$AD$上的动点，点$P$从点$A$出发，以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$C$匀速运动，且$PQ=AB$。设点$P$的运动时间为$t\ \mathrm{s}$，则当$t=$
2或4
时，以点$A$，$P$，$Q$为顶点的三角形和$△ ABC$全等。答案
5.答案 2或4
解析 由题意得 $AP = 3t\ \mathrm{cm}, PQ = AB$, ①当 $AP = BC$ 时, $△ QPA ≌ △ ABC, \because BC = 6\ \mathrm{cm}, \therefore 3t = 6, \therefore t = 2$. ②当 $AP = AC$ 时, $△ PQA ≌ △ ABC, \because AC = 12\ \mathrm{cm}, \therefore 3t = 12, \therefore t = 4$. 综上所述, 当 $t = 2$ 或 4 时, 以点 $A,P,Q$ 为顶点的三角形和 $△ ABC$ 全等.
易错警示 全等三角形顶点对应关系没有明确,因而解这类题要注意分类讨论.
解析 由题意得 $AP = 3t\ \mathrm{cm}, PQ = AB$, ①当 $AP = BC$ 时, $△ QPA ≌ △ ABC, \because BC = 6\ \mathrm{cm}, \therefore 3t = 6, \therefore t = 2$. ②当 $AP = AC$ 时, $△ PQA ≌ △ ABC, \because AC = 12\ \mathrm{cm}, \therefore 3t = 12, \therefore t = 4$. 综上所述, 当 $t = 2$ 或 4 时, 以点 $A,P,Q$ 为顶点的三角形和 $△ ABC$ 全等.
易错警示 全等三角形顶点对应关系没有明确,因而解这类题要注意分类讨论.
6.「2026江苏苏州虎丘期中，★☆」将两个全等的直角三角形ABC和DBE按如图1所示的方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F.
(1)求证:AF+EF=DE.
(2)若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转α，且0°＜α＜180°，其他条件不变，请在备用图中画出旋转后的图形，并求出AE，EF，DE之间的数量关系.
(1)求证:AF+EF=DE.
(2)若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转α，且0°＜α＜180°，其他条件不变，请在备用图中画出旋转后的图形，并求出AE，EF，DE之间的数量关系.
答案
6.解析 (1)证明:连接 BF(图略),
由题意得 $BC = BE, DE = AC$,
在 $\mathrm{Rt}△ BCF$ 和 $\mathrm{Rt}△ BEF$ 中, $\begin{cases} BF = BF, \\ BC = BE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BCF ≌ \mathrm{Rt}△ BEF(\mathrm{HL}), \therefore EF = CF$,
$\therefore AF + EF = AF + CF = AC = DE$.
(2)如图1,当 $0°＜α＜60°$ 时,连接 BF, 同(1)得, $\mathrm{Rt}△ BCF ≌ \mathrm{Rt}△ BEF(\mathrm{HL}), \therefore EF = CF, \therefore AF + EF = AC = DE$.
如图2,当 $60°＜α＜180°$ 时,连接 BF,
同(1)得, $\mathrm{Rt}△ BCF ≌ \mathrm{Rt}△ BEF(\mathrm{HL}), \therefore EF = CF$,
$\therefore AF - FC = AC = DE, \therefore AF - EF = DE$.
当 $α = 60°$ 时,点 $C,E,F$ 重合, $EF = 0, AF = DE$.
