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12. 如图1,在直角坐标系中,△AOB是等边三角形,若点B的坐标是(2,0),则点A的坐标是（
A.(2,1)
B.(1,2)
C.$(\sqrt{3},1)$
D.$(1,\sqrt{3})$
D
）A.(2,1)
B.(1,2)
C.$(\sqrt{3},1)$
D.$(1,\sqrt{3})$
答案
12.D
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：已知△AOB是等边三角形，点B坐标为(2,0)，首先可以得到OB的长度为2；再结合等边三角形“三线合一”的性质，过点A作x轴的垂线，垂足就是OB的中点，即可得到点A的横坐标；最后利用勾股定理求出点A到x轴的距离，也就是纵坐标，就能确定点A的坐标。
【解析】
过点A作AC⊥OB于点C，
∵点B的坐标是(2,0)，
∴OB=2，
∵△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=2，且OC=BC=½OB=1（等边三角形三线合一），
在Rt△AOC中，由勾股定理得：
AC=√(OA²-OC²)=√(2²-1²)=√3，
∵点A在第一象限，
∴点A的坐标为(1,√3)，故选D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；勾股定理；平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何性质结合的基础题，核心是利用等边三角形的三线合一确定横坐标，再用勾股定理求纵坐标，掌握基础几何性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：已知△AOB是等边三角形，点B坐标为(2,0)，首先可以得到OB的长度为2；再结合等边三角形“三线合一”的性质，过点A作x轴的垂线，垂足就是OB的中点，即可得到点A的横坐标；最后利用勾股定理求出点A到x轴的距离，也就是纵坐标，就能确定点A的坐标。
【解析】
过点A作AC⊥OB于点C，
∵点B的坐标是(2,0)，
∴OB=2，
∵△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=2，且OC=BC=½OB=1（等边三角形三线合一），
在Rt△AOC中，由勾股定理得：
AC=√(OA²-OC²)=√(2²-1²)=√3，
∵点A在第一象限，
∴点A的坐标为(1,√3)，故选D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；勾股定理；平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何性质结合的基础题，核心是利用等边三角形的三线合一确定横坐标，再用勾股定理求纵坐标，掌握基础几何性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
13.若点$M(3+2a,a-1)$在$x$轴上,则点$M$的坐标为
(5,0)
.答案
13.(5,0)
解析
【分析】
解题的关键是掌握x轴上点的坐标特征：x轴上所有点的纵坐标都为0。我们可以先根据这个特征列出关于a的方程，求出a的取值，再将a代入横坐标的表达式计算出横坐标，最终得到点M的坐标。
【解析】
∵ 点$M(3+2a,a-1)$在x轴上，x轴上点的纵坐标为0，
∴ $a-1=0$，
解得 $a=1$，
将$a=1$代入横坐标$3+2a$，得：
$3+2×1=5$，
∴ 点M的坐标为$(5,0)$。
【答案】
$(5,0)$
【知识点】
1. x轴上点的坐标特征
2. 求点的坐标
【点评】
本题是基础类题型，核心考查坐标轴上点的坐标规律，牢记x轴上点纵坐标为0、y轴上点横坐标为0的特征，结合简单的代数计算即可求解，是平面直角坐标系章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9
解题的关键是掌握x轴上点的坐标特征：x轴上所有点的纵坐标都为0。我们可以先根据这个特征列出关于a的方程，求出a的取值，再将a代入横坐标的表达式计算出横坐标，最终得到点M的坐标。
【解析】
∵ 点$M(3+2a,a-1)$在x轴上，x轴上点的纵坐标为0，
∴ $a-1=0$，
解得 $a=1$，
将$a=1$代入横坐标$3+2a$，得：
$3+2×1=5$，
∴ 点M的坐标为$(5,0)$。
【答案】
$(5,0)$
【知识点】
1. x轴上点的坐标特征
2. 求点的坐标
【点评】
本题是基础类题型，核心考查坐标轴上点的坐标规律，牢记x轴上点纵坐标为0、y轴上点横坐标为0的特征，结合简单的代数计算即可求解，是平面直角坐标系章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9
14.若点$P(-2,y)$与点$Q(x,3)$关于$y$轴对称，则$x=$
2
,$y=$3
.答案
14.2 3
解析
【分析】
解题时首先回忆平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标规律：关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数。接下来将点P和点Q的坐标对应到规律中，分别计算x、y的值即可。
【解析】
根据关于y轴对称的点的坐标特征：关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。
已知点$P(-2,y)$与点$Q(x,3)$关于y轴对称，因此：
$x$是$-2$的相反数，即$x = -(-2) = 2$；
$y$与Q点的纵坐标相等，即$y = 3$。
【答案】
2；3
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是基础类题目，主要考查平面直角坐标系中点的对称性质，牢记不同对称方式下点的坐标变化规律是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标规律：关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数。接下来将点P和点Q的坐标对应到规律中，分别计算x、y的值即可。
【解析】
根据关于y轴对称的点的坐标特征：关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。
已知点$P(-2,y)$与点$Q(x,3)$关于y轴对称，因此：
$x$是$-2$的相反数，即$x = -(-2) = 2$；
$y$与Q点的纵坐标相等，即$y = 3$。
【答案】
2；3
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是基础类题目，主要考查平面直角坐标系中点的对称性质，牢记不同对称方式下点的坐标变化规律是解题的关键。
【难度系数】
0.9
15.若点M(a,b)在第二象限,则点N(-b,b-a)在第
二
象限.答案
15.二
解析
【分析】
解题前先明确平面直角坐标系中各象限点的坐标符号规律：第二象限的点横坐标为负、纵坐标为正。解题时第一步先根据点M在第二象限，得出a、b的正负性；第二步分别计算点N的横坐标(-b)和纵坐标(b-a)的正负；第三步根据坐标的正负特征判断点N所在的象限即可。
【解析】
解：
∵点M(a,b)在第二象限
∴根据第二象限点的坐标特征，得a＜0，b＞0
∴点N的横坐标：-b ＜ 0（正数的相反数为负）
点N的纵坐标：b - a，
∵a＜0，
∴-a＞0，因此b - a = b + (-a) ＞ 0（两个正数相加结果为正）
∵点N的横坐标小于0，纵坐标大于0，符合第二象限点的坐标特征
∴点N在第二象限
【答案】
二
【知识点】
象限内点的坐标特征、有理数符号判断
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对各象限内点的坐标符号规律的掌握，解题关键是先通过已知点的位置确定参数的正负，再推导所求点的横纵坐标符号，熟练掌握坐标符号规律即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题前先明确平面直角坐标系中各象限点的坐标符号规律：第二象限的点横坐标为负、纵坐标为正。解题时第一步先根据点M在第二象限，得出a、b的正负性；第二步分别计算点N的横坐标(-b)和纵坐标(b-a)的正负；第三步根据坐标的正负特征判断点N所在的象限即可。
【解析】
解：
∵点M(a,b)在第二象限
∴根据第二象限点的坐标特征，得a＜0，b＞0
∴点N的横坐标：-b ＜ 0（正数的相反数为负）
点N的纵坐标：b - a，
∵a＜0，
∴-a＞0，因此b - a = b + (-a) ＞ 0（两个正数相加结果为正）
∵点N的横坐标小于0，纵坐标大于0，符合第二象限点的坐标特征
∴点N在第二象限
【答案】
二
【知识点】
象限内点的坐标特征、有理数符号判断
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对各象限内点的坐标符号规律的掌握，解题关键是先通过已知点的位置确定参数的正负，再推导所求点的横纵坐标符号，熟练掌握坐标符号规律即可快速解答。
【难度系数】
0.8
16.如图2,在平面直角坐标系中,A,B,C三点的坐标分别为$(-5,4),(-3,0),(0,2)$。
(1)画出三角形ABC；
(2)求三角形ABC的面积；
(3)已知点$P(a,b)$为$△ ABC$内的一点，求点P在$△ A'B'C'$内的对应点$P'$的坐标。
(1)画出三角形ABC；
(2)求三角形ABC的面积；
(3)已知点$P(a,b)$为$△ ABC$内的一点，求点P在$△ A'B'C'$内的对应点$P'$的坐标。
答案
16.(1)略
(2)8
(3)$P'(a+4,b-3)$
(2)8
(3)$P'(a+4,b-3)$
解析
【分析】
（1）第一问根据A、B、C三点的坐标，在平面直角坐标系中分别找到三个点的位置，再依次连接即可得到△ABC；
（2）第二问求三角形面积，由于△ABC没有直接可用的底和高，因此采用割补法：将△ABC放入覆盖它的矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积；
（3）第三问先观察已知对应点A和A'的坐标，计算横、纵坐标的变化量，确定图形的平移规律，再将该规律应用到点P上，就能得到对应点P'的坐标。
【解析】
（1）在平面直角坐标系中描出A(-5,4)、B(-3,0)、C(0,2)三点，按顺序连接AB、BC、CA，即可画出△ABC，画图略；
（2）采用割补法计算面积：
构造以点$(-5,0)$、$(0,0)$、$(0,4)$、$(-5,4)$为顶点的矩形，矩形长为$0-(-5)=5$，宽为$4-0=4$，面积$S_{矩形}=5×4=20$。
矩形内除△ABC外的三个直角三角形面积分别为：
① 以A、$(-5,0)$、B为顶点的三角形：$S_1=\frac{1}{2}×2×4=4$；
② 以B、$(0,0)$、C为顶点的三角形：$S_2=\frac{1}{2}×3×2=3$；
③ 以A、$(0,4)$、C为顶点的三角形：$S_3=\frac{1}{2}×5×2=5$；
因此$S_{△ ABC}=20-4-3-5=8$。
（3）对比对应点坐标：原A点$(-5,4)$对应$A'(-1,1)$，横坐标变化为$-1-(-5)=4$，纵坐标变化为$1-4=-3$，验证B、C的对应点也符合该规律，即△ABC的平移规律为向右平移4个单位，向下平移3个单位。
因此点$P(a,b)$的对应点$P'$坐标为$(a+4,b-3)$。
【答案】
(1) 略
(2) 8
(3) $P'(a+4,b-3)$
【知识点】
坐标系描点，割补法求面积，坐标与图形平移
【点评】
本题综合考察平面直角坐标系的基础应用，核心是掌握割补法求不规则图形面积的方法，以及图形平移时坐标“右加左减、上加下减”的变化规律，是平面直角坐标系章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
（1）第一问根据A、B、C三点的坐标，在平面直角坐标系中分别找到三个点的位置，再依次连接即可得到△ABC；
（2）第二问求三角形面积，由于△ABC没有直接可用的底和高，因此采用割补法：将△ABC放入覆盖它的矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积；
（3）第三问先观察已知对应点A和A'的坐标，计算横、纵坐标的变化量，确定图形的平移规律，再将该规律应用到点P上，就能得到对应点P'的坐标。
【解析】
（1）在平面直角坐标系中描出A(-5,4)、B(-3,0)、C(0,2)三点，按顺序连接AB、BC、CA，即可画出△ABC，画图略；
（2）采用割补法计算面积：
构造以点$(-5,0)$、$(0,0)$、$(0,4)$、$(-5,4)$为顶点的矩形，矩形长为$0-(-5)=5$，宽为$4-0=4$，面积$S_{矩形}=5×4=20$。
矩形内除△ABC外的三个直角三角形面积分别为：
① 以A、$(-5,0)$、B为顶点的三角形：$S_1=\frac{1}{2}×2×4=4$；
② 以B、$(0,0)$、C为顶点的三角形：$S_2=\frac{1}{2}×3×2=3$；
③ 以A、$(0,4)$、C为顶点的三角形：$S_3=\frac{1}{2}×5×2=5$；
因此$S_{△ ABC}=20-4-3-5=8$。
（3）对比对应点坐标：原A点$(-5,4)$对应$A'(-1,1)$，横坐标变化为$-1-(-5)=4$，纵坐标变化为$1-4=-3$，验证B、C的对应点也符合该规律，即△ABC的平移规律为向右平移4个单位，向下平移3个单位。
因此点$P(a,b)$的对应点$P'$坐标为$(a+4,b-3)$。
【答案】
(1) 略
(2) 8
(3) $P'(a+4,b-3)$
【知识点】
坐标系描点，割补法求面积，坐标与图形平移
【点评】
本题综合考察平面直角坐标系的基础应用，核心是掌握割补法求不规则图形面积的方法，以及图形平移时坐标“右加左减、上加下减”的变化规律，是平面直角坐标系章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
17. 如图3,等边三角形ABC的顶点A的坐标为$(-2\sqrt{3},0)$,点B,C在y轴上.
(1)写出B,C两点的坐标;
(2)求$△ ABC$的面积和周长.
(1)写出B,C两点的坐标;
(2)求$△ ABC$的面积和周长.
答案
17.(1)$B(0,2),C(0,-2)$
(2)面积为$4\sqrt{3}$,周长为12.
(2)面积为$4\sqrt{3}$,周长为12.
解析
【分析】
首先根据点的位置特征，可知x轴垂直平分线段BC，结合△ABC是等边三角形，可得AO是BC边上的高，且AB=BC=AC。解题时先由点A坐标求出AO的长度，再利用勾股定理结合等边三角形边长相等的性质求出BC的边长，进而得到OB、OC的长度，确定B、C的坐标；再根据三角形面积、周长公式计算对应结果即可。
【解析】
(1)
∵点A的坐标为$(-2\sqrt{3},0)$，
∴$AO=|{-2\sqrt{3}}|=2\sqrt{3}$。
∵点B、C在y轴上，点A在x轴上，x轴⊥y轴，且△ABC是等边三角形，
∴AO是BC边上的高，O为BC的中点，即$OB=OC=\frac{1}{2}BC$，$AB=BC$。
设$OB=x$，则$BC=AB=2x$，在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB^2=AO^2+OB^2$，即$(2x)^2=(2\sqrt{3})^2+x^2$，
解得$x^2=4$，
∵x＞0，
∴x=2。
∵B在y轴正半轴，C在y轴负半轴，
∴B点坐标为$(0,2)$，C点坐标为$(0,-2)$。
(2) ①求面积：△ABC的底$BC=4$，高$AO=2\sqrt{3}$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AO=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
②求周长：
∵等边三角形边长为4，
∴周长$C_{△ ABC}=3×4=12$。
【答案】
(1)$B(0,2),C(0,-2)$；(2)面积为$4\sqrt{3}$，周长为$12$
【知识点】
等边三角形的性质，勾股定理，三角形面积周长计算
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查等边三角形的相关计算，解题的关键是利用坐标轴的垂直关系，将等边三角形的边长和高转化为直角三角形的边求解，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
首先根据点的位置特征，可知x轴垂直平分线段BC，结合△ABC是等边三角形，可得AO是BC边上的高，且AB=BC=AC。解题时先由点A坐标求出AO的长度，再利用勾股定理结合等边三角形边长相等的性质求出BC的边长，进而得到OB、OC的长度，确定B、C的坐标；再根据三角形面积、周长公式计算对应结果即可。
【解析】
(1)
∵点A的坐标为$(-2\sqrt{3},0)$，
∴$AO=|{-2\sqrt{3}}|=2\sqrt{3}$。
∵点B、C在y轴上，点A在x轴上，x轴⊥y轴，且△ABC是等边三角形，
∴AO是BC边上的高，O为BC的中点，即$OB=OC=\frac{1}{2}BC$，$AB=BC$。
设$OB=x$，则$BC=AB=2x$，在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB^2=AO^2+OB^2$，即$(2x)^2=(2\sqrt{3})^2+x^2$，
解得$x^2=4$，
∵x＞0，
∴x=2。
∵B在y轴正半轴，C在y轴负半轴，
∴B点坐标为$(0,2)$，C点坐标为$(0,-2)$。
(2) ①求面积：△ABC的底$BC=4$，高$AO=2\sqrt{3}$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AO=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
②求周长：
∵等边三角形边长为4，
∴周长$C_{△ ABC}=3×4=12$。
【答案】
(1)$B(0,2),C(0,-2)$；(2)面积为$4\sqrt{3}$，周长为$12$
【知识点】
等边三角形的性质，勾股定理，三角形面积周长计算
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查等边三角形的相关计算，解题的关键是利用坐标轴的垂直关系，将等边三角形的边长和高转化为直角三角形的边求解，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
18. 如图4，长方形OABC的OA边在x轴上，OC边在y轴上，OA=15，OC=9，在边AB上取一点E，使△CBE沿CE折叠后，点B落在x轴上，记作点D.
(1)请直接写出点A的坐标
(2)求点D的坐标；
(3)求点E关于y轴的对称点E'的坐标.
(1)请直接写出点A的坐标
(15,0)
，点C的坐标(0,9)
，点B的坐标(15,9)
；(2)求点D的坐标；
(3)求点E关于y轴的对称点E'的坐标.
答案
18.(1)$(15,0)$ $(0,9)$ $(15,9)$
(2)$D(12,0)$
(3)$E'(-15,4)$
(2)$D(12,0)$
(3)$E'(-15,4)$
解析
【分析】
第(1)问：根据长方形边在坐标轴上的位置，结合已知的OA、OC长度，直接对应写出各点坐标即可。
第(2)问：利用折叠的性质可得CD=CB，而长方形中CB和OA长度相等，得到CD的长度后，在Rt△OCD中用勾股定理计算OD的长度，即可确定D点坐标。
第(3)问：先设AE的长度为x，根据折叠性质可知DE=BE，用含x的式子表示DE的长度，再结合AD的长度，在Rt△ADE中用勾股定理列方程求出x，得到E点坐标后，根据关于y轴对称的点的坐标规律即可求出E'的坐标。
【解析】
(1)
∵OA在x轴正半轴，OA=15，
∴点A坐标为$(15,0)$；
∵OC在y轴正半轴，OC=9，
∴点C坐标为$(0,9)$；
∵四边形OABC是长方形，
∴点B横坐标与A相同，纵坐标与C相同，即点B坐标为$(15,9)$。
(2) 由折叠的性质可知，折叠前后对应边相等，故$CD=CB$，
∵长方形中$CB=OA=15$，
∴$CD=15$，
在$Rt△ OCD$中，$OC=9$，$CD=15$，根据勾股定理：
$OD=\sqrt{CD^2-OC^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12$，
∵D在x轴正半轴，
∴点D坐标为$(12,0)$。
(3) 设$AE=x$，
∵长方形中$AB=OC=9$，
∴$BE=AB-AE=9-x$，
由折叠性质得$DE=BE=9-x$，
又$AD=OA-OD=15-12=3$，
在$Rt△ ADE$中，根据勾股定理$AD^2+AE^2=DE^2$，代入得：
$3^2+x^2=(9-x)^2$，
展开得$9+x^2=81-18x+x^2$，
整理得$18x=72$，解得$x=4$，即$AE=4$，
∴点E坐标为$(15,4)$，
∵关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，
∴E'的坐标为$(-15,4)$。
【答案】
(1)$(15,0)$，$(0,9)$，$(15,9)$
(2)$D(12,0)$
(3)$E'(-15,4)$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，轴对称的坐标特征
【点评】
本题属于坐标与几何结合的常规题型，解题的关键是抓住折叠前后线段长度不变的特点，将未知量转化到直角三角形中，通过勾股定理建立方程求解，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
第(1)问：根据长方形边在坐标轴上的位置，结合已知的OA、OC长度，直接对应写出各点坐标即可。
第(2)问：利用折叠的性质可得CD=CB，而长方形中CB和OA长度相等，得到CD的长度后，在Rt△OCD中用勾股定理计算OD的长度，即可确定D点坐标。
第(3)问：先设AE的长度为x，根据折叠性质可知DE=BE，用含x的式子表示DE的长度，再结合AD的长度，在Rt△ADE中用勾股定理列方程求出x，得到E点坐标后，根据关于y轴对称的点的坐标规律即可求出E'的坐标。
【解析】
(1)
∵OA在x轴正半轴，OA=15，
∴点A坐标为$(15,0)$；
∵OC在y轴正半轴，OC=9，
∴点C坐标为$(0,9)$；
∵四边形OABC是长方形，
∴点B横坐标与A相同，纵坐标与C相同，即点B坐标为$(15,9)$。
(2) 由折叠的性质可知，折叠前后对应边相等，故$CD=CB$，
∵长方形中$CB=OA=15$，
∴$CD=15$，
在$Rt△ OCD$中，$OC=9$，$CD=15$，根据勾股定理：
$OD=\sqrt{CD^2-OC^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12$，
∵D在x轴正半轴，
∴点D坐标为$(12,0)$。
(3) 设$AE=x$，
∵长方形中$AB=OC=9$，
∴$BE=AB-AE=9-x$，
由折叠性质得$DE=BE=9-x$，
又$AD=OA-OD=15-12=3$，
在$Rt△ ADE$中，根据勾股定理$AD^2+AE^2=DE^2$，代入得：
$3^2+x^2=(9-x)^2$，
展开得$9+x^2=81-18x+x^2$，
整理得$18x=72$，解得$x=4$，即$AE=4$，
∴点E坐标为$(15,4)$，
∵关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，
∴E'的坐标为$(-15,4)$。
【答案】
(1)$(15,0)$，$(0,9)$，$(15,9)$
(2)$D(12,0)$
(3)$E'(-15,4)$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，轴对称的坐标特征
【点评】
本题属于坐标与几何结合的常规题型，解题的关键是抓住折叠前后线段长度不变的特点，将未知量转化到直角三角形中，通过勾股定理建立方程求解，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
