登录
9. 如图,在四边形ABCD中,$AB=BC=1$,$AD=2\sqrt{3}$,$CD=\sqrt{10}$,$∠ B=90°$,求四边形ABCD的面积.
答案
∵∠B=90°,AB=BC=1,
∴AC=√(AB²+BC²)=√(1²+1²)=√2.
∵AD=2√3,CD=√10,
∴AC²+CD²=(√2)²+(√10)²=12,AD²=(2√3)²=12,
∴AC²+CD²=AD²,
∴△ACD 是直角三角形,
∴∠ACD=90°,
∴四边形 ABCD 的面积=△ABC 的面积+△ACD 的面积=
1/2 AB·BC + 1/2 AC·CD = 1/2 ×1×1 + 1/2 ×√10 ×√2 =
1/2 +√5,
∴四边形 ABCD 的面积为 1/2 +√5.
10.如图,正方形网格中的每个小正方形边长都为1.
(1)分别求出线段AB,AC,BC的长;
(2)判断$△ ABC$的形状,并说明你的理由.
(1)分别求出线段AB,AC,BC的长;
(2)判断$△ ABC$的形状,并说明你的理由.
答案
(1)AB=√(4²+2²)=2√5,
AC=√(2²+2²)=2√2,
BC=√(4²+2²)=2√5.
(2)△ABC 是等腰三角形,理由如下:
∵AB=2√5,BC=2√5,
∴AB=BC,
∴△ABC 是等腰三角形.
AC=√(2²+2²)=2√2,
BC=√(4²+2²)=2√5.
(2)△ABC 是等腰三角形,理由如下:
∵AB=2√5,BC=2√5,
∴AB=BC,
∴△ABC 是等腰三角形.
11. 已知$△ ABC$中，$∠ B = 45°$，$AB = 5\sqrt{2}$，$AC=13$，$AD$为$BC$边上的高。
(1)计算$BD$的长；
(2)计算$BC$的长。
(1)计算$BD$的长；
(2)计算$BC$的长。
答案
(1)
∵AD 为 BC 边上的高线,
∴∠ADB=90°.
在 Rt△ABD 中,∠B=45°,
∴∠BAD=45°,
∴DB=AD.
∵AD²+BD²=AB²,AB=5√2,
∴BD=AD=5.
(2)在 Rt△ADC 中,AD=5,AC=13,
∴DC=√(AC²−AD²)=√(13²−5²)=12,
∴BC=BD+DC=5+12=17.
∵AD 为 BC 边上的高线,
∴∠ADB=90°.
在 Rt△ABD 中,∠B=45°,
∴∠BAD=45°,
∴DB=AD.
∵AD²+BD²=AB²,AB=5√2,
∴BD=AD=5.
(2)在 Rt△ADC 中,AD=5,AC=13,
∴DC=√(AC²−AD²)=√(13²−5²)=12,
∴BC=BD+DC=5+12=17.
12.一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中$AB=AC$，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得$CB=3\ \mathrm{km}$，$CH=2.4\ \mathrm{km}$，$HB=1.8\ \mathrm{km}$.
(1)问：CH是否为从村庄C到河边最近的路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线AC的长.
(1)问：CH是否为从村庄C到河边最近的路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线AC的长.
答案
(1)是.理由:在△CHB 中,
∵CH²+BH²=(2.4)²+(1.8)²=9,BC²=9,
∴CH²+BH²=BC²,
∴CH⊥AB,
∴CH 是从村庄 C 到河边最近的路.
(2)设 AC=x.
在 Rt△ACH 中,由已知得 AC=x,AH=x−1.8,CH=2.4,
由勾股定理得 AC²=AH²+CH²,
∴x²=(x−1.8)²+(2.4)²,
解得 x=2.5,
∴原来的路线 AC 的长为 2.5 km.
∵CH²+BH²=(2.4)²+(1.8)²=9,BC²=9,
∴CH²+BH²=BC²,
∴CH⊥AB,
∴CH 是从村庄 C 到河边最近的路.
(2)设 AC=x.
在 Rt△ACH 中,由已知得 AC=x,AH=x−1.8,CH=2.4,
由勾股定理得 AC²=AH²+CH²,
∴x²=(x−1.8)²+(2.4)²,
解得 x=2.5,
∴原来的路线 AC 的长为 2.5 km.
