1（2025盐城期中）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.8 km，则M，C两点间的距离为 （）

A.2.4 km
B.3.6 km
C.4.2 km
D.4.8 km
（第1题）

1. A

【分析】
解题时先根据AC、BC互相垂直的条件，判断△ABC是直角三角形，再结合M是AB中点的条件，联想到直角三角形斜边中线的性质，即可推出MC与AB的数量关系，代入AB的长度就能算出MC的长度。
【解析】
解：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形。
又
∵M是AB的中点，
∴CM是Rt△ABC斜边AB上的中线。
根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
可得$CM=\frac{1}{2}AB$。
已知AB=4.8km，
∴$CM=\frac{1}{2}×4.8=2.4$（km）。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的判定；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合已知条件识别出直角三角形斜边的中线，熟记相关性质即可快速求出结果。
【难度系数】
0.9

2 教材P49例5·变式（2025无锡梁溪期中）如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$D$为$AB$的中点，若$∠ A=64°$，则$∠ BCD$的度数为（）

A.$26°$
B.$32°$
C.$36°$
D.$38°$

2. A

【分析】
解题时先从直角三角形的锐角互余性质入手，先求出∠B的度数；再结合D是斜边AB中点的条件，回忆直角三角形斜边中线的性质，得到CD与BD的数量关系，进而得到△BCD为等腰三角形，利用等边对等角即可求出∠BCD的度数。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=64°$，
∴ $∠ B = 90° - ∠ A = 90° - 64° = 26°$，
∵ D为AB的中点，
∴ CD是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边AB上的中线，
∴ $CD = BD$，
∴ $∠ BCD = ∠ B = 26°$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形两锐角互余；直角三角形斜边中线性质；等腰三角形等边对等角
【点评】
本题是基础几何题，将直角三角形的性质和等腰三角形的性质结合考查，解题时找准斜边中线的条件是关键，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8

3（2025南京建邺期末）若直角三角形斜边上的中线与高的长分别是5和4，则这个三角形的面积是.

3. 20

【分析】
解题时先回忆直角三角形的核心性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，我们可以先通过已知的斜边上中线的长度求出斜边的总长度；再将斜边作为三角形的底，结合题目给出的斜边上的高，代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
1. 求斜边长度：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，已知斜边上的中线长为5，因此斜边长度为 $ 2×5=10 $。
2. 计算三角形面积：三角形面积公式为 $ S=\frac{1}{2}×底×高 $，将斜边作为底，底长为10，对应的高为4，代入公式得 $ S=\frac{1}{2}×10×4=20 $。
【答案】
20
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，主要考察直角三角形的基本性质和面积公式的应用，解题的关键是牢记直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系，直接代入计算即可得分。
【难度系数】
0.8

4 (2025苏州吴中期中)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$O$为$AB$的中点.若$∠ B=60°$,$OC=6$,则$CB$的长度为.

4. 6

【分析】
解题时先梳理题干给出的条件：出现直角三角形以及斜边中点，优先联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，先推导OC与OB的等量关系；再结合已知的∠B=60°，判断△OBC的形状，即可求出CB的长度。
【解析】
解：
∵在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，O为AB的中点，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的性质，可得$OC=OA=OB$，
∵$OC=6$，
∴$OB=OC=6$，
又
∵$∠B=60°$，
∴$△OBC$是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴$CB=OC=6$。
【答案】
6
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，重点考查特殊三角形的核心性质，解题关键是熟练掌握直角三角形、等边三角形的相关性质，快速找准线段之间的等量关系。
【难度系数】
0.8

5（2025扬州期中）如图，在$△ ABC$中，点$D$在边$AB$上，且$CD\bot BC$，$E$是$BD$的中点，$∠ A=∠ CEA$，求证：$AC=BE$.

5. 证明:因为 $CD⊥ BC$,所以$∠ DCB=90°$,
所以$△ DCB$ 是直角三角形.
又因为 $E$ 是 $BD$ 的中点,所以 $CE=\dfrac{1}{2}BD=BE$.
因为$∠ A=∠ CEA$,所以 $CE=AC$,故 $AC=BE$.

【分析】
拿到题目首先梳理已知条件：①$CD⊥BC$，可得$△ BCD$是直角三角形；②$E$是$BD$中点，可关联直角三角形斜边中线的性质，得到$CE=BE$；③$∠A=∠CEA$，可关联等腰三角形“等角对等边”的判定，得到$AC=CE$。最后通过$CE$作为中间量等量代换，即可证明$AC=BE$。
【解析】
证明：
因为 $CD⊥ BC$，所以$∠ DCB=90°$，
所以$△ DCB$ 是直角三角形。
又因为 $E$ 是 $BD$ 的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
所以 $CE=\dfrac{1}{2}BD=BE$。
因为$∠ A=∠ CEA$，根据等角对等边，
所以 $CE=AC$，故 $AC=BE$。
【答案】
$AC=BE$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等角对等边，等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，主要考查直角三角形和等腰三角形性质的综合应用，解题关键是找准$CE$这个中间等量，将待证的两条线段通过中间量关联起来，熟练掌握基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8

6（2025南京期中）如图，在$△ ABC$中，AD是边BC上的高，BE是边AC上的中线，$BD=CE$，$DF⊥ BE$于点F。
（1）求证：$BF=EF$；
（2）若$∠ AEB=72°$，求$∠ EBC$的度数。

6. (1) 证明:由题意可知$∠ ADC=90°$,$AE=CE$,
所以 $DE=\dfrac{1}{2}AC=CE$.
因为 $BD=CE$,所以 $BD=DE$.
又因为 $DF⊥ BE$,所以 $BF=EF$.
(2) 解:设$∠ EBC=α$,则$∠ EBC=∠ DEB=α$,
所以$∠ EDC=∠ EBC+∠ DEB=2α$.
因为 $DE=EC$,所以$∠ EDC=∠ C=2α$.
所以$∠ AEB=∠ EBC+∠ C=3α$.
又因为$∠ AEB=72°$,即 $3α=72°$,
所以 $α=24°$,即$∠ EBC=24°$.

【分析】
（1）要证$BF=EF$，已知$DF⊥BE$，若能证明$△ BDE$为等腰三角形（即$BD=DE$），即可根据等腰三角形三线合一的性质得到结论。首先由AD是BC边上的高可得$△ ADC$是直角三角形，BE是AC边上的中线，因此E是AC中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可推出$DE=CE$，结合已知$BD=CE$即可得到$BD=DE$，完成证明。
（2）求$∠EBC$的度数，可设$∠EBC$为$α$，利用等边对等角先得$∠DEB=α$，再结合三角形外角性质得到$∠EDC=2α$，由$DE=CE$可推出$∠C=∠EDC=2α$，最后再次利用三角形外角性质得到$∠AEB=∠EBC+∠C=3α$，代入已知角度即可求解。
【解析】
(1) 证明：
∵AD是边BC上的高，$\therefore ∠ADC=90°$，
∵BE是边AC上的中线，$\therefore AE=CE$，
∴在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，DE是斜边AC的中线，$\therefore DE=\dfrac{1}{2}AC=CE$，
又$\because BD=CE$，$\therefore BD=DE$，即$△ BDE$是等腰三角形，
$\because DF⊥BE$，根据等腰三角形三线合一的性质，$\therefore BF=EF$。
(2) 解：
设$∠EBC=α$，
$\because BD=DE$，$\therefore ∠DEB=∠EBC=α$，
∵$∠EDC$是$△ BDE$的外角，$\therefore ∠EDC=∠EBC+∠DEB=α+α=2α$，
$\because DE=CE$，$\therefore ∠EDC=∠C=2α$，
∵$∠AEB$是$△ BEC$的外角，$\therefore ∠AEB=∠EBC+∠C=α+2α=3α$，
又$\because ∠AEB=72°$，即$3α=72°$，解得$α=24°$，即$∠EBC=24°$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{24°}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，融合了直角三角形、等腰三角形的性质与三角形外角性质，解题核心是通过斜边中线的性质建立边的等量关系，再结合等边对等角和外角性质完成角度推导，掌握基础几何性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7