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1 如图，∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论错误的是 （
A.AD是△ABC的角平分线
B.CE是△ACD的角平分线
C.∠3=$\frac{1}{2}$∠ACB
D.$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$
（第1题）
D
）A.AD是△ABC的角平分线
B.CE是△ACD的角平分线
C.∠3=$\frac{1}{2}$∠ACB
D.$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$
（第1题）答案
1. D
解析
【分析】
解题时先回忆三角形角平分线的定义和三角形面积的相关性质：三角形的角平分线是将三角形一个内角平分为两个相等的角的线段，三角形的中线才能将三角形分为两个面积相等的小三角形（等底同高）。我们可以逐个分析每个选项，结合已知条件判断正误，最终选出错误的结论。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：已知∠1=∠2，说明AD平分∠BAC，且AD与BC交于点D，符合△ABC角平分线的定义，该结论正确，不符合题意。
选项B：已知∠3=∠4，说明CE平分∠ACD，且CE与AD交于点E，符合△ACD角平分线的定义，该结论正确，不符合题意。
选项C：因为∠ACB=∠3+∠4，且∠3=∠4，所以∠3=$\frac{1}{2}$∠ACB，该结论正确，不符合题意。
选项D：只有当AD是△ABC的中线（即D为BC中点）时，△ABD和△ACD等底同高，面积才相等。题目仅说明AD是角平分线，没有给出D是BC中点的条件，无法推出两个三角形面积相等，该结论错误，符合题意。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形角平分线、三角形面积、角的和差
【点评】
本题属于基础题，核心是区分三角形角平分线和中线的性质，要注意角平分线的作用是平分对应内角，只有中线才能平分三角形的面积，切勿混淆二者的功能。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆三角形角平分线的定义和三角形面积的相关性质：三角形的角平分线是将三角形一个内角平分为两个相等的角的线段，三角形的中线才能将三角形分为两个面积相等的小三角形（等底同高）。我们可以逐个分析每个选项，结合已知条件判断正误，最终选出错误的结论。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：已知∠1=∠2，说明AD平分∠BAC，且AD与BC交于点D，符合△ABC角平分线的定义，该结论正确，不符合题意。
选项B：已知∠3=∠4，说明CE平分∠ACD，且CE与AD交于点E，符合△ACD角平分线的定义，该结论正确，不符合题意。
选项C：因为∠ACB=∠3+∠4，且∠3=∠4，所以∠3=$\frac{1}{2}$∠ACB，该结论正确，不符合题意。
选项D：只有当AD是△ABC的中线（即D为BC中点）时，△ABD和△ACD等底同高，面积才相等。题目仅说明AD是角平分线，没有给出D是BC中点的条件，无法推出两个三角形面积相等，该结论错误，符合题意。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形角平分线、三角形面积、角的和差
【点评】
本题属于基础题，核心是区分三角形角平分线和中线的性质，要注意角平分线的作用是平分对应内角，只有中线才能平分三角形的面积，切勿混淆二者的功能。
【难度系数】
0.8
2在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$是边$BC$上的中线，$△ ABC$的周长为34 cm，$△ ABD$的周长为30 cm，则$AD=$
13
cm.答案
2. 13
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：△ABC是等腰三角形（AB=AC），AD是BC边上的中线，根据中线的定义可得BD=CD=½BC。已知两个三角形的周长，可先通过△ABC的周长推导出AB+BD的整体值，再代入△ABD的周长公式即可求出AD的长度，无需单独计算AB、BD的具体数值，用整体代入法简化计算。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是BC边上的中线
∴BD=CD=½BC
∵△ABC的周长为34cm
∴AB+AC+BC=34cm
将AC=AB、BC=2BD代入上式得：
2AB + 2BD = 34cm
两边同时除以2得：AB + BD = 17cm
又
∵△ABD的周长为30cm
∴AB + BD + AD = 30cm
将AB+BD=17cm代入得：
17 + AD = 30
解得：AD = 13cm
【答案】
13
【知识点】
三角形中线的定义；等腰三角形的性质；周长的计算
【点评】
本题核心是利用三角形中线的性质和周长的数量关系，通过整体代入的思路求解线段长度，解题的关键是找到两个三角形周长之间的关联，避免无意义的单独求各边长度，属于基础类的几何计算题。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：△ABC是等腰三角形（AB=AC），AD是BC边上的中线，根据中线的定义可得BD=CD=½BC。已知两个三角形的周长，可先通过△ABC的周长推导出AB+BD的整体值，再代入△ABD的周长公式即可求出AD的长度，无需单独计算AB、BD的具体数值，用整体代入法简化计算。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是BC边上的中线
∴BD=CD=½BC
∵△ABC的周长为34cm
∴AB+AC+BC=34cm
将AC=AB、BC=2BD代入上式得：
2AB + 2BD = 34cm
两边同时除以2得：AB + BD = 17cm
又
∵△ABD的周长为30cm
∴AB + BD + AD = 30cm
将AB+BD=17cm代入得：
17 + AD = 30
解得：AD = 13cm
【答案】
13
【知识点】
三角形中线的定义；等腰三角形的性质；周长的计算
【点评】
本题核心是利用三角形中线的性质和周长的数量关系，通过整体代入的思路求解线段长度，解题的关键是找到两个三角形周长之间的关联，避免无意义的单独求各边长度，属于基础类的几何计算题。
【难度系数】
0.8
3 [2025 威海改编]如图，BE，CD分别是$△ ABC$的中线. 比较大小：$S_{△ ADC}$
=
$S_{△ AEB}$.答案
3. =
解析
【分析】
要比较$S_{△ADC}$和$S_{△AEB}$的大小，可结合三角形中线的性质推导二者与$△ABC$的面积关系：三角形的中线会将原三角形分成两个等底同高的小三角形，两个小三角形面积相等，都等于原三角形面积的一半。首先由CD是AB边上的中线可得$S_{△ADC}$是$S_{△ABC}$的一半，再由BE是AC边上的中线可得$S_{△AEB}$也是$S_{△ABC}$的一半，由此即可判断二者的大小关系。
【解析】
解：
∵CD是$△ABC$的中线，
∴D是AB的中点，即$AD=BD$，
$△ADC$与$△BDC$等底（$AD=BD$）、同高（点C到AB的垂线段长度），
∴$S_{△ADC}=S_{△BDC}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$。
∵BE是$△ABC$的中线，
∴E是AC的中点，即$AE=CE$，
$△AEB$与$△CEB$等底（$AE=CE$）、同高（点B到AC的垂线段长度），
∴$S_{△AEB}=S_{△CEB}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$。
∴$S_{△ADC}=S_{△AEB}$。
【答案】
=
【知识点】
三角形中线的性质；等底同高三角形面积相等
【点评】
本题考查三角形中线与面积的关系，解题核心是理解“三角形中线平分三角形面积”的原理，该类题型属于基础题型，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要比较$S_{△ADC}$和$S_{△AEB}$的大小，可结合三角形中线的性质推导二者与$△ABC$的面积关系：三角形的中线会将原三角形分成两个等底同高的小三角形，两个小三角形面积相等，都等于原三角形面积的一半。首先由CD是AB边上的中线可得$S_{△ADC}$是$S_{△ABC}$的一半，再由BE是AC边上的中线可得$S_{△AEB}$也是$S_{△ABC}$的一半，由此即可判断二者的大小关系。
【解析】
解：
∵CD是$△ABC$的中线，
∴D是AB的中点，即$AD=BD$，
$△ADC$与$△BDC$等底（$AD=BD$）、同高（点C到AB的垂线段长度），
∴$S_{△ADC}=S_{△BDC}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$。
∵BE是$△ABC$的中线，
∴E是AC的中点，即$AE=CE$，
$△AEB$与$△CEB$等底（$AE=CE$）、同高（点B到AC的垂线段长度），
∴$S_{△AEB}=S_{△CEB}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$。
∴$S_{△ADC}=S_{△AEB}$。
【答案】
=
【知识点】
三角形中线的性质；等底同高三角形面积相等
【点评】
本题考查三角形中线与面积的关系，解题核心是理解“三角形中线平分三角形面积”的原理，该类题型属于基础题型，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4 如图，$∠ ACB=90°$，$AD=BD$，$DE⊥ BC$，$CF⊥ AB$，垂足分别为$E$，$F$，连接$CD$。
（1）在$△ ABC$中，________是边$BC$上的高，________是$△ ABC$的中线；
（2）在$△ BCD$中，________是边$BC$上的高，________是边$BD$上的高。
（1）在$△ ABC$中，________是边$BC$上的高，________是$△ ABC$的中线；
（2）在$△ BCD$中，________是边$BC$上的高，________是边$BD$上的高。
答案
4. (1) AC CD (2) DE CF
解析
【分析】
解题时首先明确三角形高和中线的核心定义：①三角形的高是从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段；②三角形的中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。再结合题目给出的垂直、线段相等的条件逐一匹配：
（1）判断△ABC中BC边上的高：找过BC对顶点A、且垂直BC的线段，结合∠ACB=90°可直接判定；判断△ABC的中线：已知AD=BD说明D是AB中点，连接C和AB中点的线段即为中线。
（2）判断△BCD中BC边上的高：找过BC对顶点D、且垂直BC的线段，结合DE⊥BC的条件可判定；判断BD边上的高：找过BD对顶点C、且垂直BD的线段，结合CF⊥AB（BD在AB上）的条件可判定。
【解析】
解：根据三角形高和中线的定义分析：
（1）在△ABC中，
∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，因此AC是边BC上的高；
∵AD=BD，
∴D是AB的中点，线段CD连接顶点C与AB中点D，因此CD是△ABC的中线。
（2）在△BCD中，
∵DE⊥BC，DE过顶点D且垂直于BC，因此DE是边BC上的高；
∵CF⊥AB，BD是AB上的线段，即CF⊥BD，CF过顶点C且垂直于BD，因此CF是边BD上的高。
【答案】
（1）AC；CD （2）DE；CF
【知识点】
三角形的高的定义；三角形的中线的定义
【点评】
本题是基础概念类题目，解题核心是牢记三角形高和中线的定义，判断时注意先明确所属三角形，再对应找对应边的相关线段，避免混淆不同三角形的线段即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确三角形高和中线的核心定义：①三角形的高是从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段；②三角形的中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。再结合题目给出的垂直、线段相等的条件逐一匹配：
（1）判断△ABC中BC边上的高：找过BC对顶点A、且垂直BC的线段，结合∠ACB=90°可直接判定；判断△ABC的中线：已知AD=BD说明D是AB中点，连接C和AB中点的线段即为中线。
（2）判断△BCD中BC边上的高：找过BC对顶点D、且垂直BC的线段，结合DE⊥BC的条件可判定；判断BD边上的高：找过BD对顶点C、且垂直BD的线段，结合CF⊥AB（BD在AB上）的条件可判定。
【解析】
解：根据三角形高和中线的定义分析：
（1）在△ABC中，
∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，因此AC是边BC上的高；
∵AD=BD，
∴D是AB的中点，线段CD连接顶点C与AB中点D，因此CD是△ABC的中线。
（2）在△BCD中，
∵DE⊥BC，DE过顶点D且垂直于BC，因此DE是边BC上的高；
∵CF⊥AB，BD是AB上的线段，即CF⊥BD，CF过顶点C且垂直于BD，因此CF是边BD上的高。
【答案】
（1）AC；CD （2）DE；CF
【知识点】
三角形的高的定义；三角形的中线的定义
【点评】
本题是基础概念类题目，解题核心是牢记三角形高和中线的定义，判断时注意先明确所属三角形，再对应找对应边的相关线段，避免混淆不同三角形的线段即可。
【难度系数】
0.9
5 [2025 苏州期中]如图，线段 AD 是$△ ABC$ 的中线，线段 BE 是$△ ABD$ 的中线，$EF ⊥ BC$ 于点 F. 若 $S_{△ ABC}=12$，$BD=3$，则 EF 的长为 （
A.1
B.2
C.3
D.4
（第5题）
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
（第5题）答案
5. B
解析
【分析】
本题可根据三角形中线的面积性质逐步推导所求高对应的三角形面积，再结合三角形面积公式计算EF的长度。首先回忆：三角形的中线将三角形分为面积相等的两个部分，据此先求出△ABD的面积，再求出△BDE的面积；最后△BDE以BD为底时，高为EF，代入面积公式即可列方程求出EF。
【解析】
∵线段AD是△ABC的中线，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
已知$S_{△ ABC}=12$，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×12=6$。
又
∵线段BE是△ABD的中线，
∴$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×6=3$。
∵$EF⊥BC$，即EF是△BDE中边BD对应的高，且$BD=3$，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}×BD×EF$，
代入数值：$3=\frac{1}{2}×3×EF$，
解得：$EF=2$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形中线相关的基础题型，解题的核心是掌握“三角形中线等分三角形面积”这一性质，结合面积公式即可快速求解，是三角形面积相关的常考题型。
【难度系数】
0.7
本题可根据三角形中线的面积性质逐步推导所求高对应的三角形面积，再结合三角形面积公式计算EF的长度。首先回忆：三角形的中线将三角形分为面积相等的两个部分，据此先求出△ABD的面积，再求出△BDE的面积；最后△BDE以BD为底时，高为EF，代入面积公式即可列方程求出EF。
【解析】
∵线段AD是△ABC的中线，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
已知$S_{△ ABC}=12$，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×12=6$。
又
∵线段BE是△ABD的中线，
∴$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×6=3$。
∵$EF⊥BC$，即EF是△BDE中边BD对应的高，且$BD=3$，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}×BD×EF$，
代入数值：$3=\frac{1}{2}×3×EF$，
解得：$EF=2$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形中线相关的基础题型，解题的核心是掌握“三角形中线等分三角形面积”这一性质，结合面积公式即可快速求解，是三角形面积相关的常考题型。
【难度系数】
0.7
6 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=4$，$AC=8$，$E$是$AB$的中点，$D$是$BC$上一点，连接$DE$，$CD=\dfrac{1}{4}BC$，则$△ BDE$的面积为________。
答案
6. 6 【解析】连接$CE. ∵ E$是$AB$的中点，即$CE$是$△ABC$的中线，$\therefore S_{△ECB}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×4×8=8. ∵ CD=\frac{1}{4}BC,\therefore DB=\frac{3}{4}BC,\therefore S_{△BDE}=\frac{3}{4}S_{△ECB}=\frac{3}{4}×8=6.$
解析
【分析】
要求△BDE的面积，可先通过三角形中线的性质求出与它同高的△ECB的面积，再利用同高三角形的面积比等于对应底的比求解。首先先计算Rt△ABC的面积，因为E是AB中点，根据三角形中线分三角形为面积相等的两部分，可得△ECB的面积是△ABC的一半；再根据CD和BC的关系求出BD和BC的比值，△BDE和△ECB同以E到BC的垂线段为高，面积比等于底BD与BC的比，进而求出△BDE的面积。
【解析】
连接CE，
∵ ∠C=90°，BC=4，AC=8，
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×8×4=16$，
∵ E是AB的中点，CE是△ABC的中线，
∴ $S_{△ECB}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×16=8$，
∵ $CD=\frac{1}{4}BC$，
∴ $DB=BC-CD=\frac{3}{4}BC$，
△BDE和△ECB同高（高为点E到BC的距离），面积比等于底的比，
∴ $S_{△BDE}=\frac{3}{4}S_{△ECB}=\frac{3}{4}×8=6$。
【答案】
6
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算，同高三角形面积关系
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是通过作辅助线CE，将所求三角形的面积与已知的直角三角形面积建立关联，结合中线的性质和同高三角形的面积比例关系即可快速求解，是三角形面积相关的典型考题。
【难度系数】
0.7
要求△BDE的面积，可先通过三角形中线的性质求出与它同高的△ECB的面积，再利用同高三角形的面积比等于对应底的比求解。首先先计算Rt△ABC的面积，因为E是AB中点，根据三角形中线分三角形为面积相等的两部分，可得△ECB的面积是△ABC的一半；再根据CD和BC的关系求出BD和BC的比值，△BDE和△ECB同以E到BC的垂线段为高，面积比等于底BD与BC的比，进而求出△BDE的面积。
【解析】
连接CE，
∵ ∠C=90°，BC=4，AC=8，
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×8×4=16$，
∵ E是AB的中点，CE是△ABC的中线，
∴ $S_{△ECB}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×16=8$，
∵ $CD=\frac{1}{4}BC$，
∴ $DB=BC-CD=\frac{3}{4}BC$，
△BDE和△ECB同高（高为点E到BC的距离），面积比等于底的比，
∴ $S_{△BDE}=\frac{3}{4}S_{△ECB}=\frac{3}{4}×8=6$。
【答案】
6
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算，同高三角形面积关系
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是通过作辅助线CE，将所求三角形的面积与已知的直角三角形面积建立关联，结合中线的性质和同高三角形的面积比例关系即可快速求解，是三角形面积相关的典型考题。
【难度系数】
0.7
7 如图，AD，BE 分别是△ABC 的角平分线，连接 DE. 若∠CAB = ∠CBA，DE // AB. 求证：∠ADE = ∠BED.
答案
7. $∵ AD, BE$ 分别是$△ABC$ 的角平分线，$∴ ∠BAD = \frac{1}{2}∠CAB, ∠ABE = \frac{1}{2} ∠CBA. ∵ ∠CAB = ∠CBA,$
$∴ ∠BAD = ∠ABE. ∵ DE // AB, ∴ ∠BAD = ∠ADE,$
$∠ABE =∠BED,∴ ∠ADE=∠BED$
$∴ ∠BAD = ∠ABE. ∵ DE // AB, ∴ ∠BAD = ∠ADE,$
$∠ABE =∠BED,∴ ∠ADE=∠BED$
解析
【分析】
要证明∠ADE=∠BED，可结合已知平行条件转化问题：由DE//AB，根据平行线的内错角相等性质，可得∠ADE=∠BAD、∠BED=∠ABE，因此只需证∠BAD=∠ABE即可。再结合AD、BE是△ABC的角平分线，且已知∠CAB=∠CBA，根据角平分线定义，∠BAD和∠ABE分别是∠CAB和∠CBA的一半，等角的一半也相等，即可推出∠BAD=∠ABE，最后通过等量代换就能得到结论。
【解析】
证明：
∵ AD，BE 分别是△ABC 的角平分线，
∴ ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠CAB，∠ABE = $\frac{1}{2}$∠CBA。
∵ ∠CAB = ∠CBA，
∴ ∠BAD = ∠ABE。
∵ DE // AB，
∴ ∠BAD = ∠ADE，∠ABE =∠BED。
∴ ∠ADE=∠BED。
【答案】
$∵ AD, BE$ 分别是$△ABC$ 的角平分线，$∴ ∠BAD = \frac{1}{2}∠CAB, ∠ABE = \frac{1}{2} ∠CBA. ∵ ∠CAB = ∠CBA,$
$∴ ∠BAD = ∠ABE. ∵ DE // AB, ∴ ∠BAD = ∠ADE,$
$∠ABE =∠BED,∴ ∠ADE=∠BED$
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是利用角平分线的定义和平行线的性质建立角之间的等量关系，解题时可顺着待证结论逐步倒推所需条件，结合已知即可完成证明，能有效巩固基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
要证明∠ADE=∠BED，可结合已知平行条件转化问题：由DE//AB，根据平行线的内错角相等性质，可得∠ADE=∠BAD、∠BED=∠ABE，因此只需证∠BAD=∠ABE即可。再结合AD、BE是△ABC的角平分线，且已知∠CAB=∠CBA，根据角平分线定义，∠BAD和∠ABE分别是∠CAB和∠CBA的一半，等角的一半也相等，即可推出∠BAD=∠ABE，最后通过等量代换就能得到结论。
【解析】
证明：
∵ AD，BE 分别是△ABC 的角平分线，
∴ ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠CAB，∠ABE = $\frac{1}{2}$∠CBA。
∵ ∠CAB = ∠CBA，
∴ ∠BAD = ∠ABE。
∵ DE // AB，
∴ ∠BAD = ∠ADE，∠ABE =∠BED。
∴ ∠ADE=∠BED。
【答案】
$∵ AD, BE$ 分别是$△ABC$ 的角平分线，$∴ ∠BAD = \frac{1}{2}∠CAB, ∠ABE = \frac{1}{2} ∠CBA. ∵ ∠CAB = ∠CBA,$
$∴ ∠BAD = ∠ABE. ∵ DE // AB, ∴ ∠BAD = ∠ADE,$
$∠ABE =∠BED,∴ ∠ADE=∠BED$
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是利用角平分线的定义和平行线的性质建立角之间的等量关系，解题时可顺着待证结论逐步倒推所需条件，结合已知即可完成证明，能有效巩固基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
