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1. 在某市开展的“好书伴我成长”读书活动中,某中学为了了解八年级 300 名学生的读节情况,随机调查了八年级 50 名学生的读书册数.统计数据如下表所示.
|册数/册|0|1|2|3|4|
|----|----|----|----|----|----|
|人数/人|3|13|16|17|1|
(1)分别求出这 50 个样本数据的平均数、众数和中位数;
(2)根据样本数据,估计该校八年级 300 名学生在本次活动中读书多于 2 册的人数.
|册数/册|0|1|2|3|4|
|----|----|----|----|----|----|
|人数/人|3|13|16|17|1|
(1)分别求出这 50 个样本数据的平均数、众数和中位数;
(2)根据样本数据,估计该校八年级 300 名学生在本次活动中读书多于 2 册的人数.
答案
【解析】：
(1)
**计算平均数**：
平均数的计算公式为$\bar{x}=\frac{x_{1}f_{1}+x_{2}f_{2}+\cdots +x_{n}f_{n}}{f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n}}$，其中$x_{i}$是数据，$f_{i}$是对应数据的频数。
已知$x_{1}=0$，$f_{1}=3$；$x_{2}=1$，$f_{2}=13$；$x_{3}=2$，$f_{3}=16$；$x_{4}=3$，$f_{4}=17$；$x_{5}=4$，$f_{5}=1$。
则$\bar{x}=\frac{0×3 + 1×13+2×16 + 3×17+4×1}{3 + 13+16+17+1}=\frac{0 + 13+32 + 51+4}{50}=\frac{100}{50}=2$（册）。
**确定众数**：
众数是一组数据中出现次数最多的数据。
由表格可知，读书册数为$3$册的人数最多，为$17$人，所以众数是$3$册。
**计算中位数**：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。
$50$个数据，从小到大排列后，第$25$、$26$个数据的平均数为中位数。
$0$册的有$3$人，$1$册的有$13$人，那么前$3 + 13=16$人读书册数小于$2$册；$2$册的有$16$人，$16+16 = 32$，说明第$25$、$26$个数据都在读书册数为$2$册这一组，所以中位数是$2$册。
(2)
先计算样本中读书多于$2$册的人数所占的比例，再用这个比例去估计总体中读书多于$2$册的人数。
样本中读书多于$2$册的人数为$17 + 1=18$人，样本容量为$50$人，则读书多于$2$册的人数所占比例为$\frac{18}{50}$。
该校八年级共有$300$名学生，所以估计该校八年级$300$名学生在本次活动中读书多于$2$册的人数为$300×\frac{18}{50}=108$人。
【答案】：(1)平均数是$2$册，众数是$3$册，中位数是$2$册；(2)$108$人。
(1)
**计算平均数**：
平均数的计算公式为$\bar{x}=\frac{x_{1}f_{1}+x_{2}f_{2}+\cdots +x_{n}f_{n}}{f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n}}$，其中$x_{i}$是数据，$f_{i}$是对应数据的频数。
已知$x_{1}=0$，$f_{1}=3$；$x_{2}=1$，$f_{2}=13$；$x_{3}=2$，$f_{3}=16$；$x_{4}=3$，$f_{4}=17$；$x_{5}=4$，$f_{5}=1$。
则$\bar{x}=\frac{0×3 + 1×13+2×16 + 3×17+4×1}{3 + 13+16+17+1}=\frac{0 + 13+32 + 51+4}{50}=\frac{100}{50}=2$（册）。
**确定众数**：
众数是一组数据中出现次数最多的数据。
由表格可知，读书册数为$3$册的人数最多，为$17$人，所以众数是$3$册。
**计算中位数**：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。
$50$个数据，从小到大排列后，第$25$、$26$个数据的平均数为中位数。
$0$册的有$3$人，$1$册的有$13$人，那么前$3 + 13=16$人读书册数小于$2$册；$2$册的有$16$人，$16+16 = 32$，说明第$25$、$26$个数据都在读书册数为$2$册这一组，所以中位数是$2$册。
(2)
先计算样本中读书多于$2$册的人数所占的比例，再用这个比例去估计总体中读书多于$2$册的人数。
样本中读书多于$2$册的人数为$17 + 1=18$人，样本容量为$50$人，则读书多于$2$册的人数所占比例为$\frac{18}{50}$。
该校八年级共有$300$名学生，所以估计该校八年级$300$名学生在本次活动中读书多于$2$册的人数为$300×\frac{18}{50}=108$人。
【答案】：(1)平均数是$2$册，众数是$3$册，中位数是$2$册；(2)$108$人。
2. 某校规定学生的平时作业、期中考试、期末考试三项成绩分别按 $2:3:5$ 的比例计入学期总评成绩.小明、小亮、小红的平时作业、期中考试、期末考试的数学成绩如下表(单位:分).
| |平时成绩|期中成绩|期末成绩|
|----|----|----|----|
|小明|96|94|90|
|小亮|90|96|93|
|小红|90|90|96|
这学期谁的数学总评成绩最高?
| |平时成绩|期中成绩|期末成绩|
|----|----|----|----|
|小明|96|94|90|
|小亮|90|96|93|
|小红|90|90|96|
这学期谁的数学总评成绩最高?
答案
【解析】：本题可根据加权平均数公式分别计算出小明、小亮、小红三人的学期总评成绩，再对三人的总评成绩进行比较，从而得出谁的数学总评成绩最高。
加权平均数公式为$\overline{x}=\frac{x_{1}f_{1}+x_{2}f_{2}+\cdots +x_{n}f_{n}}{f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n}}$，其中$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$为各数据，$f_{1},f_{2},\cdots,f_{n}$为各数据的权数。
已知平时作业、期中考试、期末考试三项成绩分别按$2:3:5$的比例计入学期总评成绩，即平时作业、期中考试、期末考试成绩的权数分别为$2$、$3$、$5$。
- **计算小明的学期总评成绩：**
将小明的平时成绩$96$分、期中成绩$94$分、期末成绩$90$分，以及对应的权数$2$、$3$、$5$代入加权平均数公式可得：
$\overline{x}_{小明}=\frac{96×2 + 94×3 + 90×5}{2 + 3 + 5}$
$=\frac{192 + 282 + 450}{10}$
$=\frac{924}{10}$
$ = 92.4$（分）
- **计算小亮的学期总评成绩：**
将小亮的平时成绩$90$分、期中成绩$96$分、期末成绩$93$分，以及对应的权数$2$、$3$、$5$代入加权平均数公式可得：
$\overline{x}_{小亮}=\frac{90×2 + 96×3 + 93×5}{2 + 3 + 5}$
$=\frac{180 + 288 + 465}{10}$
$=\frac{933}{10}$
$ = 93.3$（分）
- **计算小红的学期总评成绩：**
将小红的平时成绩$90$分、期中成绩$90$分、期末成绩$96$分，以及对应的权数$2$、$3$、$5$代入加权平均数公式可得：
$\overline{x}_{小红}=\frac{90×2 + 90×3 + 96×5}{2 + 3 + 5}$
$=\frac{180 + 270 + 480}{10}$
$=\frac{930}{10}$
$ = 93$（分）
比较三人的总评成绩$93.3\gt 93\gt 92.4$，即$\overline{x}_{小亮}\gt\overline{x}_{小红}\gt\overline{x}_{小明}$。
【答案】：小亮的数学总评成绩最高。
加权平均数公式为$\overline{x}=\frac{x_{1}f_{1}+x_{2}f_{2}+\cdots +x_{n}f_{n}}{f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n}}$，其中$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$为各数据，$f_{1},f_{2},\cdots,f_{n}$为各数据的权数。
已知平时作业、期中考试、期末考试三项成绩分别按$2:3:5$的比例计入学期总评成绩，即平时作业、期中考试、期末考试成绩的权数分别为$2$、$3$、$5$。
- **计算小明的学期总评成绩：**
将小明的平时成绩$96$分、期中成绩$94$分、期末成绩$90$分，以及对应的权数$2$、$3$、$5$代入加权平均数公式可得：
$\overline{x}_{小明}=\frac{96×2 + 94×3 + 90×5}{2 + 3 + 5}$
$=\frac{192 + 282 + 450}{10}$
$=\frac{924}{10}$
$ = 92.4$（分）
- **计算小亮的学期总评成绩：**
将小亮的平时成绩$90$分、期中成绩$96$分、期末成绩$93$分，以及对应的权数$2$、$3$、$5$代入加权平均数公式可得：
$\overline{x}_{小亮}=\frac{90×2 + 96×3 + 93×5}{2 + 3 + 5}$
$=\frac{180 + 288 + 465}{10}$
$=\frac{933}{10}$
$ = 93.3$（分）
- **计算小红的学期总评成绩：**
将小红的平时成绩$90$分、期中成绩$90$分、期末成绩$96$分，以及对应的权数$2$、$3$、$5$代入加权平均数公式可得：
$\overline{x}_{小红}=\frac{90×2 + 90×3 + 96×5}{2 + 3 + 5}$
$=\frac{180 + 270 + 480}{10}$
$=\frac{930}{10}$
$ = 93$（分）
比较三人的总评成绩$93.3\gt 93\gt 92.4$，即$\overline{x}_{小亮}\gt\overline{x}_{小红}\gt\overline{x}_{小明}$。
【答案】：小亮的数学总评成绩最高。
