登录
6. 如图，E是$△ ABC$的边AC的中点，过点C作$CF // AB$，过点E作直线DF交AB于点D，交CF于点F。若$AB=9$，$CF=6.5$，则BD的长为。
答案
$\boldsymbol{2.5}$
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：E是AC中点可得AE=EC，CF//AB可推出两组内错角相等，结合这两个条件即可证明△ADE和△CFE全等，得到AD=CF，再用AB的长度减去AD的长度，就能求出BD的长。
【解析】
解：
∵CF//AB，
∴∠ADE=∠F，∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
在△ADE和△CFE中：
$\{\begin{array}{l}∠ADE=∠F\\∠A=∠ECF\\AE=CE\end{array} $
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD=CF=6.5，
∵AB=9，
∴BD=AB-AD=9-6.5=2.5。
【答案】
$\boldsymbol{2.5}$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题关键是利用平行线和中点条件构造全等三角形，通过全等转化对应线段的长度即可完成求解，难度较低。
【难度系数】
0.75
解题时先梳理已知条件：E是AC中点可得AE=EC，CF//AB可推出两组内错角相等，结合这两个条件即可证明△ADE和△CFE全等，得到AD=CF，再用AB的长度减去AD的长度，就能求出BD的长。
【解析】
解：
∵CF//AB，
∴∠ADE=∠F，∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
在△ADE和△CFE中：
$\{\begin{array}{l}∠ADE=∠F\\∠A=∠ECF\\AE=CE\end{array} $
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD=CF=6.5，
∵AB=9，
∴BD=AB-AD=9-6.5=2.5。
【答案】
$\boldsymbol{2.5}$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题关键是利用平行线和中点条件构造全等三角形，通过全等转化对应线段的长度即可完成求解，难度较低。
【难度系数】
0.75
三、解答题
7. 已知：如图，$△ ABC$和线段$DE$，$DE=AB$.
求作：$△ DEF$，使$∠ D=∠ A$，$∠ E=∠ B$.（要求尺规作图，保留作图痕迹）
7. 已知：如图，$△ ABC$和线段$DE$，$DE=AB$.
求作：$△ DEF$，使$∠ D=∠ A$，$∠ E=∠ B$.（要求尺规作图，保留作图痕迹）
答案
解：
作法：
1. 以点A为圆心，任意适当长度为半径画弧，分别交AB于点M，交AC于点N；
2. 以点D为圆心，与步骤1相同的长度为半径画弧，交线段DE于点P；
3. 以点P为圆心，线段MN的长为半径画弧，交步骤2中所画的弧于点Q，过点D、Q作射线DF；
4. 用同样的尺规作图方法，以点E为顶点，DE为一边，在DE与DF同侧作射线EF，使∠DEF=∠B，射线EF与射线DF交于点F。
所得的△DEF即为所求作的三角形，保留全部作图圆弧痕迹即可。
作法：
1. 以点A为圆心，任意适当长度为半径画弧，分别交AB于点M，交AC于点N；
2. 以点D为圆心，与步骤1相同的长度为半径画弧，交线段DE于点P；
3. 以点P为圆心，线段MN的长为半径画弧，交步骤2中所画的弧于点Q，过点D、Q作射线DF；
4. 用同样的尺规作图方法，以点E为顶点，DE为一边，在DE与DF同侧作射线EF，使∠DEF=∠B，射线EF与射线DF交于点F。
所得的△DEF即为所求作的三角形，保留全部作图圆弧痕迹即可。
解析
【分析】
本题要求作满足∠D=∠A、∠E=∠B、DE=AB的△DEF，解题核心是两次运用“尺规作一个角等于已知角”的基本操作。首先我们先在D点以DE为边作与∠A相等的角得到射线DF，再在E点以DE为边，在DE与DF的同侧作与∠B相等的角得到射线EF，两条射线的交点就是F点，即可得到符合要求的△DEF，作图全程需保留所有圆弧痕迹。
【解析】
具体作法如下：
1. 以点A为圆心，任意适当长度为半径画弧，分别交AB于点M，交AC于点N；
2. 以点D为圆心，取与步骤1相同的长度为半径画弧，交线段DE于点P；
3. 以点P为圆心，线段MN的长为半径画弧，交步骤2中所画的弧于点Q，过点D、Q作射线DF；
4. 用同样的尺规作图方法，以点E为顶点，DE为一边，在DE与DF同侧作射线EF，使∠DEF=∠B，射线EF与射线DF交于点F。
最终得到的△DEF即为所求作的三角形，需保留全部作图圆弧痕迹。
【答案】
作法：
1. 以点A为圆心，任意适当长度为半径画弧，分别交AB于点M，交AC于点N；
2. 以点D为圆心，与步骤1相同的长度为半径画弧，交线段DE于点P；
3. 以点P为圆心，线段MN的长为半径画弧，交步骤2中所画的弧于点Q，过点D、Q作射线DF；
4. 用同样的尺规作图方法，以点E为顶点，DE为一边，在DE与DF同侧作射线EF，使∠DEF=∠B，射线EF与射线DF交于点F。
所得的△DEF即为所求作的三角形，保留全部作图圆弧痕迹即可。
【知识点】
作一个角等于已知角；尺规作图；全等三角形判定
【点评】
本题属于基础的尺规作图类题目，重点考查作一个角等于已知角的基本操作，作图时要注意保留完整的作图痕迹，所作的两个角需在已知边DE的同侧，能够直观检验学生对基本作图方法的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
本题要求作满足∠D=∠A、∠E=∠B、DE=AB的△DEF，解题核心是两次运用“尺规作一个角等于已知角”的基本操作。首先我们先在D点以DE为边作与∠A相等的角得到射线DF，再在E点以DE为边，在DE与DF的同侧作与∠B相等的角得到射线EF，两条射线的交点就是F点，即可得到符合要求的△DEF，作图全程需保留所有圆弧痕迹。
【解析】
具体作法如下：
1. 以点A为圆心，任意适当长度为半径画弧，分别交AB于点M，交AC于点N；
2. 以点D为圆心，取与步骤1相同的长度为半径画弧，交线段DE于点P；
3. 以点P为圆心，线段MN的长为半径画弧，交步骤2中所画的弧于点Q，过点D、Q作射线DF；
4. 用同样的尺规作图方法，以点E为顶点，DE为一边，在DE与DF同侧作射线EF，使∠DEF=∠B，射线EF与射线DF交于点F。
最终得到的△DEF即为所求作的三角形，需保留全部作图圆弧痕迹。
【答案】
作法：
1. 以点A为圆心，任意适当长度为半径画弧，分别交AB于点M，交AC于点N；
2. 以点D为圆心，与步骤1相同的长度为半径画弧，交线段DE于点P；
3. 以点P为圆心，线段MN的长为半径画弧，交步骤2中所画的弧于点Q，过点D、Q作射线DF；
4. 用同样的尺规作图方法，以点E为顶点，DE为一边，在DE与DF同侧作射线EF，使∠DEF=∠B，射线EF与射线DF交于点F。
所得的△DEF即为所求作的三角形，保留全部作图圆弧痕迹即可。
【知识点】
作一个角等于已知角；尺规作图；全等三角形判定
【点评】
本题属于基础的尺规作图类题目，重点考查作一个角等于已知角的基本操作，作图时要注意保留完整的作图痕迹，所作的两个角需在已知边DE的同侧，能够直观检验学生对基本作图方法的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
8. 如图，$AB // CD$，$AB=CD$，点$B$，$E$，$F$，$D$在同一条直线上，$∠ A = ∠ C$.求证：$BF = DE$. 
（第8题）
（第8题）答案
证明：
∵ $AB // CD$，
∴ $∠ B = ∠ D$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ABE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ C, \\AB = CD, \\∠ B = ∠ D,\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ CDF$（ASA）。
∴ $BE = DF$。
∴ $BE + EF = DF + EF$，
即 $BF = DE$。
∵ $AB // CD$，
∴ $∠ B = ∠ D$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ABE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ C, \\AB = CD, \\∠ B = ∠ D,\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ CDF$（ASA）。
∴ $BE = DF$。
∴ $BE + EF = DF + EF$，
即 $BF = DE$。
解析
【分析】
要证明$BF=DE$，观察线段组成可知$BF=BE+EF$，$DE=DF+EF$，因此只需先证明$BE=DF$即可。$BE$和$DF$分别属于$△ ABE$和$△ CDF$，因此核心思路是证明这两个三角形全等：首先根据$AB// CD$的性质可得内错角$∠ B=∠ D$，结合题目给出的$∠ A=∠ C$、$AB=CD$的条件，可通过ASA判定两个三角形全等，得到$BE=DF$后，给两条相等线段同时加上公共部分$EF$，即可推导出待证结论。
【解析】
证明：
∵ $AB // CD$，
∴ $∠B = ∠D$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ABE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases}∠A = ∠C, \\AB = CD, \\∠B = ∠D,\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ CDF$（ASA）。
∴ $BE = DF$。
∴ $BE + EF = DF + EF$，
即 $BF = DE$。
【答案】
证明过程如上，可证得$BF=DE$。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的ASA判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，解题的关键是将待证的线段相等转化为证明三角形全等，需要熟练掌握平行线的性质、全等三角形的判定和性质，解题时注意公共线段$EF$的桥梁作用。
【难度系数】
0.8
要证明$BF=DE$，观察线段组成可知$BF=BE+EF$，$DE=DF+EF$，因此只需先证明$BE=DF$即可。$BE$和$DF$分别属于$△ ABE$和$△ CDF$，因此核心思路是证明这两个三角形全等：首先根据$AB// CD$的性质可得内错角$∠ B=∠ D$，结合题目给出的$∠ A=∠ C$、$AB=CD$的条件，可通过ASA判定两个三角形全等，得到$BE=DF$后，给两条相等线段同时加上公共部分$EF$，即可推导出待证结论。
【解析】
证明：
∵ $AB // CD$，
∴ $∠B = ∠D$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ABE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases}∠A = ∠C, \\AB = CD, \\∠B = ∠D,\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ CDF$（ASA）。
∴ $BE = DF$。
∴ $BE + EF = DF + EF$，
即 $BF = DE$。
【答案】
证明过程如上，可证得$BF=DE$。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的ASA判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，解题的关键是将待证的线段相等转化为证明三角形全等，需要熟练掌握平行线的性质、全等三角形的判定和性质，解题时注意公共线段$EF$的桥梁作用。
【难度系数】
0.8
9. 如图，AB // CD，DF 交AC 于点E，交AB 于点F，DE = EF.求证：AE = EC.
答案
证明：
∵ AB // CD，
∴ ∠A = ∠ECD，∠AFE = ∠D。
在△AEF和△CED中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠ECD, \\∠AFE = ∠D, \\EF = DE,\end{array} $
∴ △AEF ≌ △CED（AAS），
∴ AE = EC。
∵ AB // CD，
∴ ∠A = ∠ECD，∠AFE = ∠D。
在△AEF和△CED中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠ECD, \\∠AFE = ∠D, \\EF = DE,\end{array} $
∴ △AEF ≌ △CED（AAS），
∴ AE = EC。
解析
【分析】
要证明AE=EC，观察图形可知AE、EC分别属于△AEF和△CED，因此可通过证明这两个三角形全等得到对应边相等的结论。首先根据AB//CD的性质，可得到两组内错角相等，再结合已知DE=EF的条件，刚好满足AAS的全等判定要求，先证三角形全等，再由全等的性质即可得证。
【解析】
证明：
∵ AB // CD，
∴ ∠A = ∠ECD，∠AFE = ∠D。
在△AEF和△CED中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠ECD, \\∠AFE = ∠D, \\EF = DE,\end{array} $
∴ △AEF ≌ △CED（AAS），
∴ AE = EC。
【答案】
AE = EC
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题关键是结合平行线性质找到全等所需的角相等条件，再配合已知的等边判定三角形全等，进而得到待证的线段相等关系，难度较低，属于必须掌握的常规证明题。
【难度系数】
0.8
要证明AE=EC，观察图形可知AE、EC分别属于△AEF和△CED，因此可通过证明这两个三角形全等得到对应边相等的结论。首先根据AB//CD的性质，可得到两组内错角相等，再结合已知DE=EF的条件，刚好满足AAS的全等判定要求，先证三角形全等，再由全等的性质即可得证。
【解析】
证明：
∵ AB // CD，
∴ ∠A = ∠ECD，∠AFE = ∠D。
在△AEF和△CED中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠ECD, \\∠AFE = ∠D, \\EF = DE,\end{array} $
∴ △AEF ≌ △CED（AAS），
∴ AE = EC。
【答案】
AE = EC
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题关键是结合平行线性质找到全等所需的角相等条件，再配合已知的等边判定三角形全等，进而得到待证的线段相等关系，难度较低，属于必须掌握的常规证明题。
【难度系数】
0.8
