登录
13.1 三角形的概念
概念建构
1.由不在的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
2.三角形的分类
①按边分
②按角分:直角三角形、锐角三角形、钝角三角形.
概念建构
1.由不在的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
2.三角形的分类
①按边分
②按角分:直角三角形、锐角三角形、钝角三角形.
答案
1.同一条直线上 2.不相等;等边
解析
【分析】
本题考查三角形的基础概念与分类，解题时结合课本相关定义思考即可：
1. 解答第一空需回忆三角形的定义，明确组成三角形的三条线段的位置前提，对应填写；
2. 解答第二部分的填空需回忆三角形按边的分类规则：按边分首先分为三边长度都不相等的三角形、等腰三角形两大类，其中等腰三角形又可分为普通的底边和腰不等的等腰三角形，以及三边都相等的特殊等腰三角形（即等边三角形），对应空缺依次填写即可。
【解析】
1. 根据三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形，因此第一空填“同一条直线上”。
2. 三角形按边分类：
第一类是三边都不相等的三角形；
第二类是等腰三角形，等腰三角形又分为两种：①底边和腰不相等的等腰三角形；②等边三角形（是三条边都相等的特殊等腰三角形），因此两个空缺依次填“不相等”、“等边”。
【答案】
1.同一条直线上 2.不相等;等边
【知识点】
三角形的定义、三角形的分类、等腰三角形的概念
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查三角形相关的基础概念，熟练掌握课本中的基础定义和分类标准即可快速作答，是后续学习三角形性质的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形的基础概念与分类，解题时结合课本相关定义思考即可：
1. 解答第一空需回忆三角形的定义，明确组成三角形的三条线段的位置前提，对应填写；
2. 解答第二部分的填空需回忆三角形按边的分类规则：按边分首先分为三边长度都不相等的三角形、等腰三角形两大类，其中等腰三角形又可分为普通的底边和腰不等的等腰三角形，以及三边都相等的特殊等腰三角形（即等边三角形），对应空缺依次填写即可。
【解析】
1. 根据三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形，因此第一空填“同一条直线上”。
2. 三角形按边分类：
第一类是三边都不相等的三角形；
第二类是等腰三角形，等腰三角形又分为两种：①底边和腰不相等的等腰三角形；②等边三角形（是三条边都相等的特殊等腰三角形），因此两个空缺依次填“不相等”、“等边”。
【答案】
1.同一条直线上 2.不相等;等边
【知识点】
三角形的定义、三角形的分类、等腰三角形的概念
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查三角形相关的基础概念，熟练掌握课本中的基础定义和分类标准即可快速作答，是后续学习三角形性质的重要基础。
【难度系数】
0.9
1. [2026 阜阳月考]下面是用三根火柴组成的图形,其中符合三角形概念的是 (
C
)答案
1.C
解析
【分析】
解决本题首先要明确三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。解题时我们对照三角形定义的三个核心特征：①由三条线段组成；②线段不在同一直线上且首尾顺次相接；③是封闭图形，逐一验证每个选项即可得到正确答案。
【解析】
我们根据三角形的定义逐个分析选项：
A选项：图形中的三条线段没有首尾顺次相接，存在线段端点向外延伸的情况，不符合三角形定义，故A错误；
B选项：存在两条线段没有首尾顺次相接，有向外延伸的部分，不满足封闭且首尾相接的要求，不符合三角形定义，故B错误；
C选项：图形由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成，是封闭图形，完全符合三角形的概念，故C正确；
D选项：右上角的两条线段没有首尾相接，图形不封闭，不符合三角形定义，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形的定义
【点评】
本题是基础概念类考题，主要考查对三角形核心特征的识别，只要抓住“三条线段、首尾顺次相接、封闭”这几个关键判断点，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。解题时我们对照三角形定义的三个核心特征：①由三条线段组成；②线段不在同一直线上且首尾顺次相接；③是封闭图形，逐一验证每个选项即可得到正确答案。
【解析】
我们根据三角形的定义逐个分析选项：
A选项：图形中的三条线段没有首尾顺次相接，存在线段端点向外延伸的情况，不符合三角形定义，故A错误；
B选项：存在两条线段没有首尾顺次相接，有向外延伸的部分，不满足封闭且首尾相接的要求，不符合三角形定义，故B错误；
C选项：图形由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成，是封闭图形，完全符合三角形的概念，故C正确；
D选项：右上角的两条线段没有首尾相接，图形不封闭，不符合三角形定义，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形的定义
【点评】
本题是基础概念类考题，主要考查对三角形核心特征的识别，只要抓住“三条线段、首尾顺次相接、封闭”这几个关键判断点，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
2. 一题练透 根据下图填空：
(1)图中有
(2)在△ABD中，顶点分别是
(3)∠B是△
(1)图中有
3
个三角形，其中以AD为边的三角形为△ABD,△ADC
，以点C为顶点的三角形为△ADC,△ABC
；(2)在△ABD中，顶点分别是
点A,B,D
，∠BAD所对的边是BD
，边AB所对的角是∠ADB
；(3)∠B是△
ABD
和△ABC
的内角。答案
2.(1)3;△ABD,△ADC;△ADC,△ABC (2)点A,B,D;BD;∠ADB (3)ABD;ABC
解析
【分析】
解决本题首先要明确三角形的基本概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接组成的封闭图形是三角形，每个三角形有3个顶点、3条边、3个内角。解题思路如下：1.数三角形个数时，可通过数底边BC上的线段条数判断：BC上有BD、DC、BC共3条线段，每条线段和点A均可组成1个三角形，即可得出总数；2.找指定边/顶点的三角形时，直接筛选包含对应边/顶点的三角形即可；3.明确三角形中角和边的对应规则：一个角所对的边是不含该角顶点的边，一条边所对的角是不含该边两个端点的角；4.找某个角属于哪些三角形的内角，只需筛选包含该角的三角形即可。
【解析】
(1) 首先识别图中的三角形：分别为△ABD、△ADC、△ABC，共3个；其中包含AD边的三角形是△ABD、△ADC；包含点C作为顶点的三角形是△ADC、△ABC。
(2) △ABD的三个顶点就是其名称对应的三个点：点A、点B、点D；∠BAD的顶点为A，所对的边是不含点A的边BD；边AB的端点为A和B，所对的角是不含A、B的顶点D对应的角∠ADB。
(3) 观察包含∠B的三角形，有△ABD和△ABC，因此∠B是这两个三角形的内角。
【答案】
(1)3;△ABD,△ADC;△ADC,△ABC (2)点A,B,D;BD;∠ADB (3)ABD;ABC
【知识点】
三角形的计数，三角形边与角的对应关系，三角形的基本构成
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查三角形的定义及各构成要素的相关概念，熟练掌握基础定义和对应规则就能快速解题，是巩固三角形入门知识的典型习题。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确三角形的基本概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接组成的封闭图形是三角形，每个三角形有3个顶点、3条边、3个内角。解题思路如下：1.数三角形个数时，可通过数底边BC上的线段条数判断：BC上有BD、DC、BC共3条线段，每条线段和点A均可组成1个三角形，即可得出总数；2.找指定边/顶点的三角形时，直接筛选包含对应边/顶点的三角形即可；3.明确三角形中角和边的对应规则：一个角所对的边是不含该角顶点的边，一条边所对的角是不含该边两个端点的角；4.找某个角属于哪些三角形的内角，只需筛选包含该角的三角形即可。
【解析】
(1) 首先识别图中的三角形：分别为△ABD、△ADC、△ABC，共3个；其中包含AD边的三角形是△ABD、△ADC；包含点C作为顶点的三角形是△ADC、△ABC。
(2) △ABD的三个顶点就是其名称对应的三个点：点A、点B、点D；∠BAD的顶点为A，所对的边是不含点A的边BD；边AB的端点为A和B，所对的角是不含A、B的顶点D对应的角∠ADB。
(3) 观察包含∠B的三角形，有△ABD和△ABC，因此∠B是这两个三角形的内角。
【答案】
(1)3;△ABD,△ADC;△ADC,△ABC (2)点A,B,D;BD;∠ADB (3)ABD;ABC
【知识点】
三角形的计数，三角形边与角的对应关系，三角形的基本构成
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查三角形的定义及各构成要素的相关概念，熟练掌握基础定义和对应规则就能快速解题，是巩固三角形入门知识的典型习题。
【难度系数】
0.9
3.三角形按边的相等关系分类可用如图所示的集合来表示,则图中M,N分别表示的三角形是（
A.等边三角形、等腰三角形
B.等腰三角形、等边三角形
C.锐角三角形、等腰三角形
D.等腰三角形、锐角三角形
B
）A.等边三角形、等腰三角形
B.等腰三角形、等边三角形
C.锐角三角形、等腰三角形
D.等腰三角形、锐角三角形
答案
3.B
解析
【分析】
首先回忆三角形按边的相等关系的分类规则：所有三角形首先分为两类，一类是三边均不相等的三角形，另一类是等腰三角形；而等边三角形是三边都相等的特殊等腰三角形，属于等腰三角形的子集。结合题图，大集合是全部三角形，左侧已经标注为“三边均不相等的三角形”，因此右侧的M对应剩下的等腰三角形；N是M内部的子集，对应等腰三角形里特殊的等边三角形，即可对应选项判断。
【解析】
三角形按边的相等关系分类如下：
$\begin{cases}\mathrm{三边均不相等的三角形}\\\mathrm{等腰三角形}\begin{cases}\mathrm{底边和腰不相等的等腰三角形}\\\mathrm{等边三角形（三边相等，属于特殊等腰三角形）}\end{cases}\end{cases}$
结合题图可知：
1. 大圆代表所有三角形，左半部分为三边均不相等的三角形，因此右半部分的M表示等腰三角形；
2. N是M的子集，是等腰三角形中的特殊类型，因此N表示等边三角形。
综上M是等腰三角形，N是等边三角形，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
三角形按边分类；等腰三角形；等边三角形
【点评】
本题是基础概念题，重点考查三角形按边分类的从属关系，解题关键是明确等边三角形属于特殊的等腰三角形，不要混淆二者的包含逻辑。
【难度系数】
0.8
首先回忆三角形按边的相等关系的分类规则：所有三角形首先分为两类，一类是三边均不相等的三角形，另一类是等腰三角形；而等边三角形是三边都相等的特殊等腰三角形，属于等腰三角形的子集。结合题图，大集合是全部三角形，左侧已经标注为“三边均不相等的三角形”，因此右侧的M对应剩下的等腰三角形；N是M内部的子集，对应等腰三角形里特殊的等边三角形，即可对应选项判断。
【解析】
三角形按边的相等关系分类如下：
$\begin{cases}\mathrm{三边均不相等的三角形}\\\mathrm{等腰三角形}\begin{cases}\mathrm{底边和腰不相等的等腰三角形}\\\mathrm{等边三角形（三边相等，属于特殊等腰三角形）}\end{cases}\end{cases}$
结合题图可知：
1. 大圆代表所有三角形，左半部分为三边均不相等的三角形，因此右半部分的M表示等腰三角形；
2. N是M的子集，是等腰三角形中的特殊类型，因此N表示等边三角形。
综上M是等腰三角形，N是等边三角形，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
三角形按边分类；等腰三角形；等边三角形
【点评】
本题是基础概念题，重点考查三角形按边分类的从属关系，解题关键是明确等边三角形属于特殊的等腰三角形，不要混淆二者的包含逻辑。
【难度系数】
0.8
元认知·总结
等边
三角形是等腰
三角形的一种特殊情况。答案
等边;等腰
解析
【分析】
解题时先回忆三角形按边分类的相关定义，明确“特殊情况”的逻辑：特殊类别的图形需要完全符合一般类别图形的所有特征，同时具备额外的限定条件。首先回忆等腰三角形、等边三角形的定义，再判断二者的从属关系即可作答。
【解析】
首先明确两类三角形的定义：
1. 等腰三角形：至少有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
2. 等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
由于等边三角形三条边都相等，天然满足等腰三角形“至少两条边相等”的判定条件，因此等边三角形是等腰三角形的特殊情况。
【答案】
等边；等腰
【知识点】
三角形按边分类；等腰三角形定义；等边三角形定义
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是理解不同几何图形之间的从属逻辑，只要熟记等腰、等边三角形的定义就能轻松作答，出错多是因为对“特殊与一般”的逻辑关系理解有误。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆三角形按边分类的相关定义，明确“特殊情况”的逻辑：特殊类别的图形需要完全符合一般类别图形的所有特征，同时具备额外的限定条件。首先回忆等腰三角形、等边三角形的定义，再判断二者的从属关系即可作答。
【解析】
首先明确两类三角形的定义：
1. 等腰三角形：至少有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
2. 等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
由于等边三角形三条边都相等，天然满足等腰三角形“至少两条边相等”的判定条件，因此等边三角形是等腰三角形的特殊情况。
【答案】
等边；等腰
【知识点】
三角形按边分类；等腰三角形定义；等边三角形定义
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是理解不同几何图形之间的从属逻辑，只要熟记等腰、等边三角形的定义就能轻松作答，出错多是因为对“特殊与一般”的逻辑关系理解有误。
【难度系数】
0.9
4.观察下图中的三角形，把它们的序号填入相应的横线上.
锐角三角形：
直角三角形：
钝角三角形：
锐角三角形：
③⑤
；直角三角形：
①④⑥
；钝角三角形：
②⑦
.答案
4.③⑤;①④⑥;②⑦
解析
【分析】
解题前先回忆三角形按角分类的判定标准：三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个内角是直角的三角形是直角三角形，图形通常会标注直角符号；有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形。接下来我们逐个判断每个三角形的类型：先找带直角符号的归为直角三角形，再找有明显大于90°角的归为钝角三角形，剩下三个角都小于90°的就是锐角三角形。
【解析】
我们逐个分析每个三角形：
1. 图①：带有直角符号，是直角三角形；
2. 图②：有一个角大于90°为钝角，是钝角三角形；
3. 图③：三个内角都小于90°为锐角，是锐角三角形；
4. 图④：带有直角符号，是直角三角形；
5. 图⑤：三个内角都小于90°为锐角，是锐角三角形；
6. 图⑥：带有直角符号，是直角三角形；
7. 图⑦：有一个角大于90°为钝角，是钝角三角形。
综上即可得出三类三角形对应的序号。
【答案】
③⑤；①④⑥；②⑦
【知识点】
三角形按角分类、锐角三角形判定、直角三角形判定
【点评】
本题属于三角形分类的基础考查题，只要牢记不同类型三角形的角的特征，结合图形观察就能快速得出结论，是巩固基础的典型习题。
【难度系数】
0.9
解题前先回忆三角形按角分类的判定标准：三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个内角是直角的三角形是直角三角形，图形通常会标注直角符号；有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形。接下来我们逐个判断每个三角形的类型：先找带直角符号的归为直角三角形，再找有明显大于90°角的归为钝角三角形，剩下三个角都小于90°的就是锐角三角形。
【解析】
我们逐个分析每个三角形：
1. 图①：带有直角符号，是直角三角形；
2. 图②：有一个角大于90°为钝角，是钝角三角形；
3. 图③：三个内角都小于90°为锐角，是锐角三角形；
4. 图④：带有直角符号，是直角三角形；
5. 图⑤：三个内角都小于90°为锐角，是锐角三角形；
6. 图⑥：带有直角符号，是直角三角形；
7. 图⑦：有一个角大于90°为钝角，是钝角三角形。
综上即可得出三类三角形对应的序号。
【答案】
③⑤；①④⑥；②⑦
【知识点】
三角形按角分类、锐角三角形判定、直角三角形判定
【点评】
本题属于三角形分类的基础考查题，只要牢记不同类型三角形的角的特征，结合图形观察就能快速得出结论，是巩固基础的典型习题。
【难度系数】
0.9
5. 立德树人·科学精神 某航天科研小组在进行卫星太阳能板支架的力学稳定性测试时，搭建了如图所示的简化模型，已知$AB=AC=AD=BC$，$BD=CD$，则图中的等腰三角形有
△ABD,△ACD,△ABC,△BCD
，等边三角形有△ABC
。答案
5.△ABD,△ACD,△ABC,△BCD;△ABC
解析
【分析】
解题时首先回忆等腰三角形和等边三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边都相等的三角形是等边三角形。第一步先找出图中所有的三角形，共4个：△ABC、△ABD、△ACD、△BCD；第二步将已知的边相等的条件（AB=AC=AD=BC，BD=CD）对应到每个三角形上，判断是否有至少两条边相等，筛选出等腰三角形；第三步再看哪个三角形满足三条边全部相等，即可得到等边三角形。
【解析】
1. 识别图中所有三角形：△ABC、△ABD、△ACD、△BCD。
2. 判定等腰三角形：
△ABC中，AB=AC，符合等腰三角形定义；
△ABD中，AB=AD，符合等腰三角形定义；
△ACD中，AC=AD，符合等腰三角形定义；
△BCD中，BD=CD，符合等腰三角形定义；
因此等腰三角形有△ABD、△ACD、△ABC、△BCD。
3. 判定等边三角形：
等边三角形需要三条边都相等，只有△ABC满足AB=AC=BC，其余三角形均不满足三边相等的条件，因此等边三角形为△ABC。
【答案】
△ABD,△ACD,△ABC,△BCD;△ABC
【知识点】
等腰三角形的判定，等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的核心是熟练掌握等腰、等边三角形的判定规则，注意排查所有三角形不要漏数即可正确解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆等腰三角形和等边三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边都相等的三角形是等边三角形。第一步先找出图中所有的三角形，共4个：△ABC、△ABD、△ACD、△BCD；第二步将已知的边相等的条件（AB=AC=AD=BC，BD=CD）对应到每个三角形上，判断是否有至少两条边相等，筛选出等腰三角形；第三步再看哪个三角形满足三条边全部相等，即可得到等边三角形。
【解析】
1. 识别图中所有三角形：△ABC、△ABD、△ACD、△BCD。
2. 判定等腰三角形：
△ABC中，AB=AC，符合等腰三角形定义；
△ABD中，AB=AD，符合等腰三角形定义；
△ACD中，AC=AD，符合等腰三角形定义；
△BCD中，BD=CD，符合等腰三角形定义；
因此等腰三角形有△ABD、△ACD、△ABC、△BCD。
3. 判定等边三角形：
等边三角形需要三条边都相等，只有△ABC满足AB=AC=BC，其余三角形均不满足三边相等的条件，因此等边三角形为△ABC。
【答案】
△ABD,△ACD,△ABC,△BCD;△ABC
【知识点】
等腰三角形的判定，等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的核心是熟练掌握等腰、等边三角形的判定规则，注意排查所有三角形不要漏数即可正确解题。
【难度系数】
0.8
