7. 新情境 [2026大同模拟] 如图，小敏不小心将分式运算的作业撕坏了一角，若已知该运算正确，则撕坏的部分中“”代表的是（）


A.$\frac{1}{4-a}$
B.$\frac{9-2a}{a-4}$
C.$\frac{1}{a-4}$
D.$\frac{2a-9}{a-4}$

C

【分析】
我们可以设“”代表的代数式为$x$，根据题目给出的正确等式，通过等式变形、分式运算求解$x$即可。首先将等式两边同时乘$5-a$求出$x-1$的值，再移项通分化简，就能得到“”对应的代数式。
【解析】
设“”代表的代数式为$x$，根据题意可得：
$(x - 1) × \frac{1}{5 - a} = \frac{1}{a - 4}$
1. 等式两边同时乘$5 - a$，消去左侧分母：
$x - 1 = \frac{1}{a - 4} × (5 - a)$
2. 移项将$-1$移到等号右侧：
$x = \frac{5 - a}{a - 4} + 1$
3. 对右侧通分，把$1$改写为分母为$a - 4$的分式：
$x = \frac{5 - a}{a - 4} + \frac{a - 4}{a - 4}$
4. 合并分子化简：
$x = \frac{5 - a + a - 4}{a - 4} = \frac{1}{a - 4}$
【答案】
C
【知识点】
分式的混合运算；等式的性质
【点评】
本题是分式运算的基础应用题型，核心是通过设未知数将未知式转化为可计算的等式，计算时要注意分式通分的规则和符号处理，掌握基础运算就能顺利求解。
【难度系数】
0.7

8. 整体思想 若 $a^2 + 2a - 1 = 0$，则代数式 $(a - \frac{4}{a}) · \frac{a^2}{a - 2}$ 的值是。

1

【分析】
本题考查分式混合运算与整体思想的应用，解题思路如下：第一步先对给定的代数式进行化简，先处理括号内的分式减法，通过通分将分子合并后因式分解，再与括号外的分式相乘，约分后得到最简形式；第二步结合已知等式变形得到整体代数式的值，直接代入最简式即可求出结果，无需单独求解a的值，简化计算过程。
【解析】
首先对代数式进行化简，分式有意义的条件为$a≠0$且$a≠2$，结合已知$a^2+2a-1=0$可验证$a$满足该条件。
$\begin{aligned}(a - \frac{4}{a}) · \frac{a^2}{a - 2}&=\frac{a^2 - 4}{a} · \frac{a^2}{a - 2}\\&=\frac{(a-2)(a+2)}{a} · \frac{a^2}{a - 2}\\&=a(a+2)\\&=a^2 + 2a\end{aligned}$
已知$a^2 + 2a - 1 = 0$，变形得$a^2 + 2a = 1$，将其代入化简后的式子，可得原式的值为1。
【答案】
1
【知识点】
分式的混合运算，平方差公式，整体代入求值
【点评】
本题核心是先化简再求值，重点考查分式运算中通分、因式分解、约分的运算能力，以及利用整体思想简化计算的意识，避免直接求解a带来的复杂运算，是分式运算的典型题型。
【难度系数】
0.7

9.已知 $y_1=\frac{1}{x-1}, y_2=\frac{1}{1-y_1}, y_3=\frac{1}{1-y_2}, y_4=\frac{1}{1-y_3}, ···, y_n=\frac{1}{1-y_{n-1}}$, 如何求 $y_{2028}$?
【思维过程】
(1)分析条件: $y_2=\_\_\_\_\_\_, y_3=\_\_\_\_\_\_, y_4=\_\_\_\_\_\_;$
(2)根据以上结果,找到对应规律;
(3)用规律计算: $y_{2028}=\_\_\_\_\_\_.$

(1)$\frac{x-1}{x-2}$；$2-x$；$\frac{1}{x-1}$ (3)$2-x$

【分析】
这是一道结合分式运算的规律探究题，解题思路可分为三步：第一步，根据给出的递推公式，将前一项的结果依次代入，计算出y₂、y₃、y₄的化简结果；第二步，观察前4项的结果，发现每3项为一个循环的周期规律；第三步，用2028除以周期长度，根据余数判断y₂₀₂₈对应周期内的第几项，即可求出结果。
【解析】
(1) 计算前3个待求项：
① 求$y_2$：已知$y_1=\frac{1}{x-1}$，代入$y_2=\frac{1}{1-y_1}$得：
$y_2=\frac{1}{1-\frac{1}{x-1}}=\frac{1}{\frac{(x-1)-1}{x-1}}=\frac{1}{\frac{x-2}{x-1}}=\frac{x-1}{x-2}$
② 求$y_3$：将$y_2=\frac{x-1}{x-2}$代入$y_3=\frac{1}{1-y_2}$得：
$y_3=\frac{1}{1-\frac{x-1}{x-2}}=\frac{1}{\frac{(x-2)-(x-1)}{x-2}}=\frac{1}{\frac{-1}{x-2}}=2-x$
③ 求$y_4$：将$y_3=2-x$代入$y_4=\frac{1}{1-y_3}$得：
$y_4=\frac{1}{1-(2-x)}=\frac{1}{x-1}=y_1$
(2) 规律总结：由计算结果可知，$y_n$的取值每3项为一个周期循环，周期为3，循环顺序为$y_1,y_2,y_3$。
(3) 计算$y_{2028}$：
用2028除以周期3，得$2028÷3=676$，无余数，说明$y_{2028}$对应周期内的第3项，即和$y_3$相等。
【答案】
(1)$\frac{x-1}{x-2}$；$2-x$；$\frac{1}{x-1}$ (3)$2-x$
【知识点】
分式混合运算；周期规律探究；代数式化简
【点评】
本题将分式运算和规律探究结合考查，核心是通过计算前几项确定循环周期，运算过程中要注意分式通分、约分的符号和计算准确性，掌握周期规律的应用方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7

10. [2026 六安期末] 先化简：$( \dfrac{x^2}{x+1} - x +1 ) ÷ \dfrac{x}{x^2 -1}$，再从$-2 ＜ x ＜ 3$中选取合适的整数进行求值.

原式=$\frac{x-1}{x}$. 在$-2＜x＜3$中,合适的整数只有2,当$x=2$时,原式=$\frac{1}{2}$

【分析】
本题为分式化简求值题，解题思路如下：第一步先计算括号内的运算，括号内是分式减整式，需将整式通分为和分式同分母的形式，再按同分母分式减法法则计算；第二步计算除法，先将除法转化为乘法，同时对多项式因式分解，再约分得到最简分式；第三步选取x的值时，要先保证原式中所有分母、除数均不为0，从给定范围内排除不符合要求的整数后，代入最简式计算结果即可。
【解析】
1. 化简原式：
$\begin{aligned}&( \dfrac{x^2}{x+1} - x +1 ) ÷ \dfrac{x}{x^2 -1}\\=&[ \dfrac{x^2}{x+1} - (x-1) ] · \dfrac{(x+1)(x-1)}{x}\\=&[ \dfrac{x^2}{x+1} - \dfrac{(x-1)(x+1)}{x+1} ] · \dfrac{(x+1)(x-1)}{x}\\=&\dfrac{x^2 - (x^2 -1)}{x+1} · \dfrac{(x+1)(x-1)}{x}\\=&\dfrac{1}{x+1} · \dfrac{(x+1)(x-1)}{x}\\=&\dfrac{x-1}{x}\end{aligned}$
2. 选取合适的x：
要使分式有意义，则分母不为0、除数不为0，即：
$x+1≠0$，$x^2-1≠0$，$x≠0$
解得$x≠-1$且$x≠1$且$x≠0$
在$-2＜x＜3$中的整数有$-1,0,1,2$，排除不符合条件的数，仅$x=2$合适
3. 代入求值：
当$x=2$时，原式$=\dfrac{2-1}{2}=\dfrac{1}{2}$
【答案】
化简结果为$\dfrac{x-1}{x}$，选取$x=2$代入求值结果为$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式的混合运算；分式有意义的条件；分式化简求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查分式混合运算的法则，易错点是选取x的取值时容易忽略分式有意义的条件，误选使分母为0的数值，计算时要注意通分、约分的规范性。
【难度系数】
0.7

11. 中考趋势·开放性问题 下面是学习了分式混合运算后，甲、乙两名同学解答一道题目时第一步的做法，选择其中一名同学的做法，完成解答过程.

我选择：同学.

解：我选择：乙同学.
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{3x}{x-1}·\frac{(x+1)(x-1)}{2x} - \frac{x}{x+1}·\frac{(x+1)(x-1)}{2x}\\&=\frac{3(x+1)}{2} - \frac{x-1}{2}\\&=\frac{3x+3 -x +1}{2}\\&=\frac{2x+4}{2}\\&=x+2\end{aligned}$

【分析】
这是一道分式混合运算题，观察式子特征，括号外因式的分子$x^2-1$可分解为$(x+1)(x-1)$，恰好与括号内两个分式的分母存在公因式。选择乙同学的思路，利用乘法分配律将括号内两项分别与括号外的因式相乘，可先约分再计算，能避免复杂的通分步骤，简化计算过程。
【解析】
我选择：乙同学.
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{3x}{x-1}·\frac{(x+1)(x-1)}{2x} - \frac{x}{x+1}·\frac{(x+1)(x-1)}{2x}\\&=\frac{3(x+1)}{2} - \frac{x-1}{2}\\&=\frac{3x+3 -x +1}{2}\\&=\frac{2x+4}{2}\\&=x+2\end{aligned}$
【答案】
$x+2$
【知识点】
分式混合运算、乘法分配律、因式分解
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题时可先观察式子结构，灵活运用运算律简化计算，能有效提升运算效率、降低出错概率。
【难度系数】
0.7

12. 运算能力 已知：
$\frac{1}{x(x+1)}=(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})×1,$
$\frac{1}{x(x+2)}=(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2})×\frac{1}{2},$
$\frac{1}{x(x+3)}=(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+3})×\frac{1}{3},$
……

(1) $\frac{1}{x(x+n)}=$ （n为正整数）；
(2) $\frac{1}{(x+m)(x+n)}=$ （m,n为正整数，且$m≠n$）；
(3) 探究：若$|ab-2|+(b-1)^2=0$，则$\frac{1}{ab}+$ 的值为 。

(1)$(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+n})×\frac{1}{n}$ (2)$(\frac{1}{x+m}-\frac{1}{x+n})×\frac{1}{n-m}$ (3)$\frac{2031}{2032}$

【分析】
(1)观察给出的等式规律：分母两个因式的差为d时，分式可拆为两个分式的差乘以$\frac{1}{d}$。第一问分母两个因式x和$x+n$的差是n，按照规律直接推导结果即可。
(2)类比第一问的规律，先计算$\frac{1}{x+m}-\frac{1}{x+n}$的结果，整理后反推即可得到拆分公式。
(3)先根据非负数的性质：绝对值和平方数都是非负数，若两个非负数的和为0，则两个数均为0，求出a、b的值，再将所求式子按照前两问的裂项规律拆分，抵消中间项后计算最终结果。
【解析】
(1)观察已知等式：
$\frac{1}{x(x+1)}=(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})×\frac{1}{1}$，$\frac{1}{x(x+2)}=(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2})×\frac{1}{2}$，……
分母两个因式的差为n时，拆分后乘$\frac{1}{n}$，因此$\frac{1}{x(x+n)}=(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+n})×\frac{1}{n}$。
(2)先计算右侧两个分式的差：
$\frac{1}{x+m}-\frac{1}{x+n}=\frac{(x+n)-(x+m)}{(x+m)(x+n)}=\frac{n-m}{(x+m)(x+n)}$
两边同时除以$n-m$（$m≠n$，所以$n-m≠0$），得：
$\frac{1}{(x+m)(x+n)}=(\frac{1}{x+m}-\frac{1}{x+n})×\frac{1}{n-m}$
(3)
∵$|ab-2|≥0$，$(b-1)^2≥0$，且$|ab-2|+(b-1)^2=0$
∴$\begin{cases}ab-2=0\\b-1=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}b=1\\a=2\end{cases}$
代入所求式子，结合裂项规律可得：
原式$=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+……+\frac{1}{2031×2032}$
$=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+……+(\frac{1}{2031}-\frac{1}{2032})$
$=1-\frac{1}{2032}$
$=\frac{2031}{2032}$
【答案】
(1)$(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+n})×\frac{1}{n}$ (2)$(\frac{1}{x+m}-\frac{1}{x+n})×\frac{1}{n-m}$ (3)$\frac{2031}{2032}$
【知识点】
分式裂项拆分，非负数的性质，分式混合运算
【点评】
本题是分式运算的规律探究类题目，解题核心是先通过已知等式总结出分式裂项的通用公式，再结合非负数性质求出参数，最后用裂项相消法简化计算，能有效考查学生的规律归纳能力和运算能力。
【难度系数】
0.7