1.下面关于公理和定理的说法正确的是（）

A.公理是真命题，但定理不是
B.公理就是定理，定理也是公理
C.公理可作为证明其他定理的依据
D.公理和定理都应经过证明后才能使用

1.C

【分析】
解题时先回忆公理和定理的基本概念、区别与联系：公理是经过长期实践检验、不需要证明的真命题，是推导其他命题的原始依据；定理是经过推理证明得到的真命题，也可作为后续证明的依据。接下来逐一分析每个选项的正误，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个判断选项：
A. 公理是真命题，定理是经过严格推理证明的真命题，故A错误；
B. 公理不需要证明，定理需要以公理或已证定理为依据证明，二者概念不同，故B错误；
C. 公理是公认的基本事实，可作为证明其他定理的依据，故C正确；
D. 公理不需要证明即可直接使用，定理需要经过证明后使用，故D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
公理的概念；定理的概念；公理与定理的区别
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对公理和定理核心特征的掌握，只要明确二者“是否需要证明”“作用是什么”这两个关键点，就能快速判断选项对错。
【难度系数】
0.8

2. 下列不是公理的是（）

A.对顶角相等
B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C.同位角相等，两直线平行
D.三边分别相等的两个三角形全等

2.A

【分析】
解题前首先要明确公理和定理的核心区别：公理是经过长期实践检验、不需要额外证明的基本事实；定理是通过公理或其他已被证明的真命题推导、验证得到的真命题。接下来我们只需逐一判断各选项属于公理还是定理即可：初中几何中，全等三角形的SSS、ASA判定、平行线的“同位角相等，两直线平行”判定都属于不需要证明的公理，而对顶角相等可以通过邻补角的性质推导得出，属于定理，由此即可选出正确答案。
【解析】
首先明确公理与定理的差异：公理是无需证明的基本事实，定理是可通过推理证明得到的真命题，对各选项逐一分析：
A. 对顶角相等：可通过“同角的补角相等”推理证明，属于定理，不是公理，符合题意；
B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）：是全等三角形判定的基本公理，无需证明，不符合题意；
C. 同位角相等，两直线平行：是平行线判定的基本公理，无需证明，不符合题意；
D. 三边分别相等的两个三角形全等（SSS）：是全等三角形判定的基本公理，无需证明，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
公理与定理的概念；全等三角形判定公理；平行线判定公理
【点评】
本题考查对公理和定理概念的辨析，核心是要熟记初中阶段常见的几何基本公理，清晰区分公理无需证明、定理可推导验证的特点，避免混淆两类真命题的定义。
【难度系数】
0.75

3.“三角形的任意两边之和大于第三边”是（填“定义”“公理”或“定理”）。

3.定理

【分析】
解题时首先要明确“定义”“公理”“定理”三个概念的核心差异，再对应判断命题属性：第一步先回忆三者的定义：定义是对事物本质属性的界定，用来区分该事物和其他事物；公理是无需证明的公认基本事实；定理是由公理或已被证明的真命题推导而来、经过严格证明的真命题。第二步分析命题来源：“三角形任意两边之和大于第三边”可以通过“两点之间线段最短”这一公理推理证明得到，既不属于对概念的界定，也不是无需证明的基本事实，因此可判定为定理。
【解析】
我们先分别明确三个概念的内涵，再逐一匹配判断：
1. 定义的本质是描述一个概念“是什么”，比如“由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形”是三角形的定义，本题命题不是对概念的描述，因此不是定义。
2. 公理是经过人类长期实践检验、不需要证明的基本事实，比如“两点之间线段最短”是公理，本题命题可以由上述公理推导得出，因此不是公理。
3. 定理是在既有公理或其他已被证明的真命题的基础上，经过严格逻辑推理得到的真命题。“三角形任意两边之和大于第三边”可由“两点之间线段最短”证明得到，因此属于定理。
【答案】
定理
【知识点】
1. 定义公理定理辨析
2. 定理的概念
3. 三角形三边关系
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对定义、公理、定理三者本质差异的理解，解题关键是明确三者的判断标准，尤其要注意公理是无需证明的基本事实，定理是经过推导证明的真命题，平时学习时要注意区分易混淆的概念。
【难度系数】
0.8

4. 在证明过程中可以作为推理依据的是（）

A.命题、定义、公理
B.定理、定义、公理
C.命题
D.真命题

4.B

【分析】
要解决这道题，首先需要明确证明过程中推理依据的要求：必须是已经被确认真实性的结论。接下来逐一辨析相关概念：①命题包含真命题和假命题，假命题的结论是错误的，显然不能作为推理依据，因此包含“命题”的选项A、C首先排除；②真命题不一定都能直接作为推理依据，部分未经过严谨证明的真命题（如未被证实的猜想）不能直接用在证明中，因此排除选项D；③公理是长期实践总结出的公认真命题，定义是对概念的明确规定，定理是已经经过证明的真命题，三者都可以直接作为推理依据，由此可选出正确答案。
【解析】
推理依据必须是已被证实为正确的结论：
1. 命题分为真命题和假命题，假命题无法作为推理依据，因此包含命题的A选项、仅选命题的C选项均错误；
2. 真命题若未经过严格证明（如未经证实的猜想），不能直接作为推理依据，因此D选项错误；
3. 公理是公认的真命题，定义是对术语含义的明确规定，定理是已被证明的真命题，三者均可作为证明的推理依据，因此B选项正确。
【答案】
B
【知识点】
1. 证明的推理依据
2. 公理与定理的概念
3. 命题的分类
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是区分不同类型命题的性质，需牢记只有公理、定义、定理三类经过确认的结论可直接作为证明的推理依据，避免混淆命题、真命题和可直接使用的推理依据的边界。
【难度系数】
0.8

5.如果$a// b,b// c$,那么$a// c$.这个推理的依据是.

5.平行于同一条直线的两条直线平行

【分析】
解题时先梳理题目的推理逻辑：已知直线a、c均平行于同一条直线b，需要找到推导a//c的理论依据。我们只需回忆课本中学过的平行线相关基本事实与推论，对应“两条直线都平行于第三条直线时，这两条直线互相平行”的规律即可找到答案。
【解析】
根据平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，可简述为平行于同一条直线的两条直线平行。题中a//b，b//c，即a和c都平行于直线b，因此该推理的依据就是平行于同一条直线的两条直线平行。
【答案】
平行于同一条直线的两条直线平行
【知识点】
平行公理的推论、平行线的传递性
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对教材中基本定理、推论的识记能力，熟练掌握课本核心概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9

6. 根据题意,把下列推理的依据写出来,并指出是公理还是定理.
(1)如图所示,若$∠1=∠2$,则$a// b$.
(2)在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中,$AB=A'B'$,$∠ A=∠ A'$,$∠ C=∠ C'$,则$△ ABC≌△ A'B'C'$.
(3)如果$a=b,b=c$,那么$a=c$.

6.解:(1)内错角相等,两直线平行,是定理.
(2)两角分别相等且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等,是定理.
(3)等量代换,是公理.

【分析】
解题时首先明确公理和定理的区别：公理是长期实践总结得到的、无需证明的基本事实，可直接作为推理依据；定理是经过严谨推理证实的真命题，也可作为推理的依据。接下来逐个分析三个推理：①观察图形，∠1和∠2是直线a、b被第三条直线截得的内错角，由内错角相等推出两直线平行是已证明的真命题，对应平行线的判定依据；②两个三角形中已知两组角相等，且一组等角的对边相等，符合全等三角形的AAS判定规则，是经过证明的判定定理；③相等的量可以传递是公认的基本事实，无需证明，对应等量代换的依据。最后分别判断每个依据属于公理还是定理即可。
【解析】
(1) 图中∠1和∠2是直线a、b被截线形成的内错角，当∠1=∠2时，根据内错角相等，两直线平行可推出a//b，该结论是经推理证明得到的真命题，属于定理。
(2) △ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠C=∠C'，AB是∠C的对边、A'B'是∠C'的对边且AB=A'B'，根据两角分别相等且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等可判定两三角形全等，该判定规则是经证明的真命题，属于定理。
(3) 已知a=b、b=c，根据等量代换可推出a=c，等量代换是无需证明的基本事实，属于公理。
【答案】
(1)内错角相等,两直线平行,是定理.
(2)两角分别相等且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等,是定理.
(3)等量代换,是公理.
【知识点】
平行线的判定；全等三角形的判定；公理与定理的区分
【点评】
本题是基础概念考查题，重点检验对常见推理依据的识记能力以及公理、定理的区分能力，只要熟练掌握课本中的基本判定、性质及公理定理的定义，就能准确对应推理过程的依据完成解答。
【难度系数】
0.7

7.求证:等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).
已知:如图,在△ABC中，.
求证:.

7.$AB=AC$ $∠B=∠C$ 证明:取$BC$边的中点$D$,连接$AD$.
$\therefore BD=DC$. 在$△ ADB$ 和$△ ADC$ 中,$\begin{cases} AD=AD, \\ BD=DC, \\ AB=AC, \end{cases}$$\therefore △ ADB≌△ ADC(\mathrm{SSS}). \therefore ∠B=∠C$.

【分析】
本题属于几何基础证明题，解题思路如下：首先根据命题“等腰三角形两底角相等”明确已知条件为三角形的两边相等（即AB=AC），待证结论为这两边所对的底角相等（即∠B=∠C）；要证明两个角相等，可借助全等三角形对应角相等的性质，因此考虑构造包含∠B和∠C的两个全等三角形，常用的辅助线作法是作底边BC的中线，将△ABC分成两个三角形，再通过SSS判定定理证明两个三角形全等，即可得到两角相等的结论。
【解析】
首先补全已知和求证：
已知：如图，在△ABC中，$AB=AC$。
求证：$∠B=∠C$。
证明：取$BC$边的中点$D$，连接$AD$。
根据中点的定义可得$BD=DC$。
在$△ ADB$ 和$△ ADC$ 中：
$\begin{cases} AD=AD（公共边）, \\ BD=DC（已证）, \\ AB=AC（已知）, \end{cases}$
根据SSS全等判定定理可得$△ ADB≌△ ADC$。
根据全等三角形对应角相等，可得$∠B=∠C$。
【答案】
已知填$\boldsymbol{AB=AC}$，求证填$\boldsymbol{∠B=∠C}$；
证明：取$BC$边的中点$D$,连接$AD$.$\therefore BD=DC$. 在$△ ADB$ 和$△ ADC$ 中,$\begin{cases} AD=AD, \\ BD=DC, \\ AB=AC, \end{cases}$$\therefore △ ADB≌△ ADC(\mathrm{SSS}). \therefore ∠B=∠C$.
【知识点】
1.全等三角形SSS判定
2.全等三角形的性质
3.等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何证明的基础典型题，核心是将角相等的证明转化为三角形全等的证明，帮助学生理解等腰三角形性质的推导逻辑，同时考察了辅助线的构造思路和全等判定定理的应用能力。
【难度系数】
0.8

8. NEW 新考向·开放性问题 如图,在$△ AFD$和$△ CEB$中,点$A,E,F,C$在同一条直线上,有下面四个选项:①$AD=CB$;②$AE=CF$;③$DF=BE$;④$AD// BC$.
请用其中三个作为条件,余下一个作为结论,编一道真命题,并写出证明过程.
条件:(填序号).
结论:(填序号).

8.①②④ ③ 证明: $\because AD// BC, \therefore ∠A=∠C. \because AE=CF,$
$\therefore AE+EF=CF+EF$, 即 $AF=CE$. 在$△ AFD$ 和$△ CEB$ 中,
$\begin{cases} AD=CB, \\ ∠A=∠C, \\ AF=CE, \end{cases}$$\therefore △ AFD≌△ CEB(\mathrm{SAS}). \therefore DF=BE$.
(条件:①②③,结论:④也可)

【分析】
这是一道和全等三角形相关的开放性命题题，解题时可先回忆三角形全等的判定定理和平行线的性质。若选择①②④作为条件、③作为结论，思路如下：首先利用平行线的性质得到一组相等的内错角，再结合线段和差关系得到全等判定需要的等边，最后用SAS判定两个三角形全等，即可推出对应边相等得到结论；也可选择其他合理的条件、结论组合，只要符合全等判定逻辑即可。
【解析】
我们以条件为①②④、结论为③为例证明：
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ A=∠ C$（两直线平行，内错角相等）。
$\because AE=CF$，$\therefore AE+EF=CF+EF$，即$AF=CE$。
在$△ AFD$和$△ CEB$中，
$\begin{cases}AD=CB, \\∠ A=∠ C, \\AF=CE,\end{cases}$
$\therefore △ AFD≌△ CEB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DF=BE$（全等三角形对应边相等）。
（也可选择条件①②③，结论④，证明过程：由$AE=CF$得$AF=CE$，结合$AD=CB$，$DF=BE$，用SSS证$△ AFD≌△ CEB$，得$∠ A=∠ C$，即可推出$AD// BC$）
【答案】
条件：$\boldsymbol{①②④}$，结论：$\boldsymbol{③}$（或条件：$\boldsymbol{①②③}$，结论：$\boldsymbol{④}$，答案不唯一）
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的性质与判定
【点评】
本题为开放性试题，答案不唯一，主要考查对全等三角形判定定理、性质以及平行线相关性质的灵活运用，解题时需结合给出的条件，选择合适的判定方法完成逻辑推导即可。
【难度系数】
0.7