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1. 某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜需要装入某一规格的纸箱. 供应这种纸箱有两种方案可供选择：
方案一：从纸箱厂购买，每个纸箱价格为4元.
方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱. 工厂需要一次性投入机器安装费16 000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元.
(1)完成下表：
(2)若需要这种规格的纸箱$x$个，请分别写出两种方案中所需费用$y$(元)与$x$(个)之间的关系式.
(3)在(2)的条件下，需要制作多少个纸箱时，选择方案一和方案二的费用相同？
方案一：从纸箱厂购买，每个纸箱价格为4元.
方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱. 工厂需要一次性投入机器安装费16 000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元.
(1)完成下表：
(2)若需要这种规格的纸箱$x$个，请分别写出两种方案中所需费用$y$(元)与$x$(个)之间的关系式.
(3)在(2)的条件下，需要制作多少个纸箱时，选择方案一和方案二的费用相同？
答案
1.(1)28 000 48 000 (2)方案一:$y=4x$;方案二:$y=2.4x+16 000$. (3)由题意,得 $2.4x+16 000=4x$,解得 $x=10 000$.答:需要制作 10 000 个纸箱时,选择方案一和方案二的费用相同.
解析
【分析】
本题是方案选择类的实际应用题，解题思路如下：
(1) 计算表格空缺值：先明确两种方案的费用构成，方案二总费用=固定安装费+单个加工成本×制作个数，方案一总费用=单个购买价格×制作个数，分别代入对应数量计算即可填空。
(2) 列函数关系式：将制作个数设为x个，根据两种方案的费用计算规则，直接写出总费用y和x的关系式即可。
(3) 求费用相同的纸箱个数：当两种方案费用相同时，对应的两个y值相等，据此列一元一次方程，求解方程即可得到结果。
【解析】
(1) 计算表格空缺：
① 制作5000个时，方案二的费用：$16000 + 2.4×5000 = 16000 + 12000 = 28000$（元）
② 制作12000个时，方案一的费用：$4×12000 = 48000$（元）
故表格依次填28000、48000。
(2) 列费用与x的关系式：
方案一：每个纸箱4元，总费用=单价×数量，因此 $y=4x$；
方案二：需先付固定安装费16000元，每个纸箱加工成本2.4元，总费用=固定费用+单个成本×数量，因此 $y=2.4x + 16000$。
(3) 令两种方案费用相等，列方程求解：
由题意得 $4x = 2.4x + 16000$
移项得 $4x - 2.4x = 16000$
合并同类项得 $1.6x = 16000$
系数化为1得 $x = 10000$
即需要制作10000个纸箱时，两种方案费用相同。
【答案】
(1) $\boxed{28000}$，$\boxed{48000}$
(2) 方案一：$\boxed{y=4x}$；方案二：$\boxed{y=2.4x+16000}$
(3) $\boxed{10000}$个
【知识点】
一次函数的应用，列代数式，一元一次方程的应用
【点评】
本题以实际生活中的方案选择为背景，考查了学生分析实际问题数量关系的能力，解题的核心是理清两种方案的费用构成，再根据要求列式或列方程求解，整体解题逻辑清晰，和生活联系紧密，能较好地锻炼数学应用能力。
【难度系数】
0.7
本题是方案选择类的实际应用题，解题思路如下：
(1) 计算表格空缺值：先明确两种方案的费用构成，方案二总费用=固定安装费+单个加工成本×制作个数，方案一总费用=单个购买价格×制作个数，分别代入对应数量计算即可填空。
(2) 列函数关系式：将制作个数设为x个，根据两种方案的费用计算规则，直接写出总费用y和x的关系式即可。
(3) 求费用相同的纸箱个数：当两种方案费用相同时，对应的两个y值相等，据此列一元一次方程，求解方程即可得到结果。
【解析】
(1) 计算表格空缺：
① 制作5000个时，方案二的费用：$16000 + 2.4×5000 = 16000 + 12000 = 28000$（元）
② 制作12000个时，方案一的费用：$4×12000 = 48000$（元）
故表格依次填28000、48000。
(2) 列费用与x的关系式：
方案一：每个纸箱4元，总费用=单价×数量，因此 $y=4x$；
方案二：需先付固定安装费16000元，每个纸箱加工成本2.4元，总费用=固定费用+单个成本×数量，因此 $y=2.4x + 16000$。
(3) 令两种方案费用相等，列方程求解：
由题意得 $4x = 2.4x + 16000$
移项得 $4x - 2.4x = 16000$
合并同类项得 $1.6x = 16000$
系数化为1得 $x = 10000$
即需要制作10000个纸箱时，两种方案费用相同。
【答案】
(1) $\boxed{28000}$，$\boxed{48000}$
(2) 方案一：$\boxed{y=4x}$；方案二：$\boxed{y=2.4x+16000}$
(3) $\boxed{10000}$个
【知识点】
一次函数的应用，列代数式，一元一次方程的应用
【点评】
本题以实际生活中的方案选择为背景，考查了学生分析实际问题数量关系的能力，解题的核心是理清两种方案的费用构成，再根据要求列式或列方程求解，整体解题逻辑清晰，和生活联系紧密，能较好地锻炼数学应用能力。
【难度系数】
0.7
2.(教材P83例3变式)某市为了鼓励居民节约用水,决定实行两级收费制度.具体如下表：
(1)设每月用水量为x吨,应交水费为y元,当$x＞14$时,求y与x之间的关系式.
(2)若小名家9月份用水15吨,则9月份水费为多少元?
(3)若小名家10月份交水费49元,求他家10月份用水多少吨.
(1)设每月用水量为x吨,应交水费为y元,当$x＞14$时,求y与x之间的关系式.
(2)若小名家9月份用水15吨,则9月份水费为多少元?
(3)若小名家10月份交水费49元,求他家10月份用水多少吨.
答案
2.(1)当 $x＞14$ 时,$y=2×14+(x-14)×3.5=3.5x-21$. (2)由(1)可知,9月份水费为 $3.5×15-21=31.5$(元). (3)$\because 14×2=28$(元),$49＞28$,$\therefore$ 小名家 10 月份用水超过 14 吨. $\therefore$ 当 $y=49$时,$3.5x-21=49$,解得 $x=20$.答:小名家 10 月份用水 20 吨.
解析
【分析】
本题是分段计费类的实际应用问题，解题思路清晰：
(1)当$x＞14$时，水费分为两部分：14吨以内的费用按每吨2元计算，超出14吨的部分按每吨3.5元计算，将两部分费用相加即可推导$y$与$x$的关系式。
(2)9月份用水量15吨大于14吨，直接代入(1)得到的关系式即可计算水费。
(3)先计算14吨水的总费用，和49元对比判断10月份用水量所属的收费区间，再代入对应关系式解方程得到用水量。
【解析】
(1)当$x＞14$时，前14吨的水费为$14×2=28$元，超出14吨部分的水费为$3.5(x-14)$元，因此总水费：
$\begin{aligned}y&=14×2 + 3.5(x-14)\\&=28+3.5x-49\\&=3.5x-21\end{aligned}$
(2)已知9月份用水15吨，$15＞14$，将$x=15$代入$y=3.5x-21$得：
$y=3.5×15 -21=31.5$（元）
(3)首先计算用水量为14吨时的水费：$14×2=28$元，
$\because49＞28$，$\therefore$小名家10月份用水量超过14吨，
将$y=49$代入$y=3.5x-21$得：
$3.5x-21=49$
解得$x=20$
【答案】
(1)$y=3.5x-21（x＞14）$
(2)31.5元
(3)20吨
【知识点】
分段计费问题，一次函数解析式，一元一次方程应用
【点评】
本题是分段计费的典型应用题，核心考查不同收费区间的区分能力，以及一次函数、一元一次方程的实际应用能力，解题的关键是先判断实际用量所属的收费区间，再选择对应计费方式计算，避免直接用单一单价计算出错。
【难度系数】
0.7
本题是分段计费类的实际应用问题，解题思路清晰：
(1)当$x＞14$时，水费分为两部分：14吨以内的费用按每吨2元计算，超出14吨的部分按每吨3.5元计算，将两部分费用相加即可推导$y$与$x$的关系式。
(2)9月份用水量15吨大于14吨，直接代入(1)得到的关系式即可计算水费。
(3)先计算14吨水的总费用，和49元对比判断10月份用水量所属的收费区间，再代入对应关系式解方程得到用水量。
【解析】
(1)当$x＞14$时，前14吨的水费为$14×2=28$元，超出14吨部分的水费为$3.5(x-14)$元，因此总水费：
$\begin{aligned}y&=14×2 + 3.5(x-14)\\&=28+3.5x-49\\&=3.5x-21\end{aligned}$
(2)已知9月份用水15吨，$15＞14$，将$x=15$代入$y=3.5x-21$得：
$y=3.5×15 -21=31.5$（元）
(3)首先计算用水量为14吨时的水费：$14×2=28$元，
$\because49＞28$，$\therefore$小名家10月份用水量超过14吨，
将$y=49$代入$y=3.5x-21$得：
$3.5x-21=49$
解得$x=20$
【答案】
(1)$y=3.5x-21（x＞14）$
(2)31.5元
(3)20吨
【知识点】
分段计费问题，一次函数解析式，一元一次方程应用
【点评】
本题是分段计费的典型应用题，核心考查不同收费区间的区分能力，以及一次函数、一元一次方程的实际应用能力，解题的关键是先判断实际用量所属的收费区间，再选择对应计费方式计算，避免直接用单一单价计算出错。
【难度系数】
0.7
