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【例1】已知抛物线 $ y = ax^2 - 2ax - 8(a ≠ 0) $ 经过点$(-2,0)$。
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标。
(2)直线$ l $交抛物线于点$ A(-4,m), B(n,7), n $为正数。若点$ P $在抛物线上且在直线$ l $下方(不与点$ A,B $重合)，分别求出点$ P $横坐标与纵坐标的取值范围。
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标。
(2)直线$ l $交抛物线于点$ A(-4,m), B(n,7), n $为正数。若点$ P $在抛物线上且在直线$ l $下方(不与点$ A,B $重合)，分别求出点$ P $横坐标与纵坐标的取值范围。
答案
(1)函数表达式为$y=x^2-2x-8$，顶点坐标为$(1,-9)$。
(2)由题意，得$m=16,n=5$，
∴点A坐标为$(-4,16)$，点B坐标为$(5,7)$。
∵抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,-9)$，
∴抛物线顶点在AB下方，$\therefore -4＜x_P＜5,-9≤ y_P＜16$。
(2)由题意，得$m=16,n=5$，
∴点A坐标为$(-4,16)$，点B坐标为$(5,7)$。
∵抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,-9)$，
∴抛物线顶点在AB下方，$\therefore -4＜x_P＜5,-9≤ y_P＜16$。
解析
【分析】
(1) 已知抛物线经过点$(-2,0)$，可将该点坐标代入抛物线表达式，解关于$a$的方程求出$a$的值，即可得到抛物线的函数表达式；再通过配方法变形解析式，就能直接得到顶点坐标。
(2) 先将点$A$的横坐标代入抛物线表达式求出$m$，得到点$A$的坐标；再将点$B$的纵坐标代入抛物线表达式，解一元二次方程得到$x$的两个解，结合$n$为正数的条件确定$n$的值，得到点$B$的坐标。结合抛物线开口向上、顶点为图象最低点的性质，以及点$P$在直线$l$下方且不与$A,B$重合的约束，即可确定点$P$横、纵坐标的取值范围。
【解析】
(1) 把点$(-2,0)$代入$y = ax^2 - 2ax - 8$，得：
$0 = a×(-2)^2 - 2a×(-2) - 8$
整理得$8a=8$，解得$a=1$。
∴抛物线的函数表达式为$y = x^2 - 2x - 8$。
对解析式配方变形：
$y = x^2 - 2x - 8 = (x-1)^2 - 9$
∴抛物线的顶点坐标为$(1,-9)$。
(2) 把$A(-4,m)$代入$y = x^2 - 2x - 8$，得：
$m = (-4)^2 - 2×(-4) - 8 = 16$
∴点$A$坐标为$(-4,16)$。
把$y=7$代入$y = x^2 - 2x - 8$，得：
$7 = x^2 - 2x - 8$
整理为$x^2 - 2x - 15 = 0$，因式分解得$(x-5)(x+3)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-3$。
∵$n$为正数，
∴$n=5$，点$B$坐标为$(5,7)$。
∵抛物线开口向上，顶点$(1,-9)$在直线$l$下方，点$P$在抛物线上且在直线$l$下方（不与$A,B$重合），
∴点$P$横坐标满足$-4 ＜ x_P ＜ 5$，纵坐标满足$-9 ≤ y_P ＜ 16$。
【答案】
(1) 函数表达式为$y=x^2-2x-8$，顶点坐标为$(1,-9)$；
(2) 点$P$横坐标的取值范围是$-4 ＜ x_P ＜ 5$，纵坐标的取值范围是$-9 ≤ y_P ＜ 16$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数基础题型，解题核心是熟练掌握待定系数法求解析式的方法，以及二次函数的图象性质，求解$n$时要注意结合题干条件对根进行取舍，确定坐标范围时要注意端点是否可取的细节。
【难度系数】
0.8
(1) 已知抛物线经过点$(-2,0)$，可将该点坐标代入抛物线表达式，解关于$a$的方程求出$a$的值，即可得到抛物线的函数表达式；再通过配方法变形解析式，就能直接得到顶点坐标。
(2) 先将点$A$的横坐标代入抛物线表达式求出$m$，得到点$A$的坐标；再将点$B$的纵坐标代入抛物线表达式，解一元二次方程得到$x$的两个解，结合$n$为正数的条件确定$n$的值，得到点$B$的坐标。结合抛物线开口向上、顶点为图象最低点的性质，以及点$P$在直线$l$下方且不与$A,B$重合的约束，即可确定点$P$横、纵坐标的取值范围。
【解析】
(1) 把点$(-2,0)$代入$y = ax^2 - 2ax - 8$，得：
$0 = a×(-2)^2 - 2a×(-2) - 8$
整理得$8a=8$，解得$a=1$。
∴抛物线的函数表达式为$y = x^2 - 2x - 8$。
对解析式配方变形：
$y = x^2 - 2x - 8 = (x-1)^2 - 9$
∴抛物线的顶点坐标为$(1,-9)$。
(2) 把$A(-4,m)$代入$y = x^2 - 2x - 8$，得：
$m = (-4)^2 - 2×(-4) - 8 = 16$
∴点$A$坐标为$(-4,16)$。
把$y=7$代入$y = x^2 - 2x - 8$，得：
$7 = x^2 - 2x - 8$
整理为$x^2 - 2x - 15 = 0$，因式分解得$(x-5)(x+3)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-3$。
∵$n$为正数，
∴$n=5$，点$B$坐标为$(5,7)$。
∵抛物线开口向上，顶点$(1,-9)$在直线$l$下方，点$P$在抛物线上且在直线$l$下方（不与$A,B$重合），
∴点$P$横坐标满足$-4 ＜ x_P ＜ 5$，纵坐标满足$-9 ≤ y_P ＜ 16$。
【答案】
(1) 函数表达式为$y=x^2-2x-8$，顶点坐标为$(1,-9)$；
(2) 点$P$横坐标的取值范围是$-4 ＜ x_P ＜ 5$，纵坐标的取值范围是$-9 ≤ y_P ＜ 16$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数基础题型，解题核心是熟练掌握待定系数法求解析式的方法，以及二次函数的图象性质，求解$n$时要注意结合题干条件对根进行取舍，确定坐标范围时要注意端点是否可取的细节。
【难度系数】
0.8
【例2】如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y=ax^2+4x-3$图象的顶点是A,与x轴交于B,C两点,与y轴交于点D,点B的坐标是$(1,0)$.
(1)求A,C两点的坐标,并根据图象直接写出当$y＞0$时$x$的取值范围.
(2)平移该二次函数的图象,使点D恰好落在点A的位置上,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
(1)求A,C两点的坐标,并根据图象直接写出当$y＞0$时$x$的取值范围.
(2)平移该二次函数的图象,使点D恰好落在点A的位置上,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
答案
(1)$A(2,1),C(3,0)$，当$y＞0$时，$1＜x＜3$。
(2)$\because D(0,-3)$，
∴点D平移到点A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为$y=-(x-4)^2+5$。
(2)$\because D(0,-3)$，
∴点D平移到点A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为$y=-(x-4)^2+5$。
解析
【分析】
(1) 首先将点B的坐标代入二次函数解析式，求出未知系数a，得到完整的函数表达式；再通过配方法将函数化为顶点式，即可得到顶点A的坐标；利用二次函数的对称性，结合B点坐标求出与x轴另一交点C的坐标；y＞0对应图象在x轴上方的部分，直接读取对应x的取值范围即可。
(2) 先求出D点坐标，对比D和A的坐标得到平移规律，再根据二次函数平移“左加右减，上加下减”的规则，将原函数顶点式平移后得到新的函数表达式。
【解析】
(1) 将$B(1,0)$代入$y=ax^2+4x-3$，得：
$a×1^2 + 4×1 - 3 = 0$
解得$a=-1$
∴二次函数解析式为$y=-x^2+4x-3$
配方得：$y=-(x^2-4x+4)+4-3=-(x-2)^2+1$
∴顶点A的坐标为$(2,1)$
∵二次函数图象与x轴的交点B、C关于对称轴$x=2$对称，$B(1,0)$
∴C点横坐标为$2+(2-1)=3$，即$C(3,0)$
观察图象可得，当$y＞0$时，图象在x轴上方，对应x的取值范围是$1＜x＜3$。
(2) 当$x=0$时，$y=-3$，
∴$D(0,-3)$
将$D(0,-3)$平移到$A(2,1)$，平移规律为：横坐标加2（向右平移2个单位），纵坐标加4（向上平移4个单位）
原二次函数顶点式为$y=-(x-2)^2+1$，根据平移规律，平移后顶点坐标为$(2+2,1+4)=(4,5)$
∴平移后二次函数的表达式为$y=-(x-4)^2+5$
【答案】
(1)$A(2,1),C(3,0)$，当$y＞0$时，$1＜x＜3$。
(2)$y=-(x-4)^2+5$
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数平移规律
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，核心考查二次函数的基本性质，解题的关键是先通过待定系数法确定函数解析式，再结合对称性、平移规律逐步求解，是考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 首先将点B的坐标代入二次函数解析式，求出未知系数a，得到完整的函数表达式；再通过配方法将函数化为顶点式，即可得到顶点A的坐标；利用二次函数的对称性，结合B点坐标求出与x轴另一交点C的坐标；y＞0对应图象在x轴上方的部分，直接读取对应x的取值范围即可。
(2) 先求出D点坐标，对比D和A的坐标得到平移规律，再根据二次函数平移“左加右减，上加下减”的规则，将原函数顶点式平移后得到新的函数表达式。
【解析】
(1) 将$B(1,0)$代入$y=ax^2+4x-3$，得：
$a×1^2 + 4×1 - 3 = 0$
解得$a=-1$
∴二次函数解析式为$y=-x^2+4x-3$
配方得：$y=-(x^2-4x+4)+4-3=-(x-2)^2+1$
∴顶点A的坐标为$(2,1)$
∵二次函数图象与x轴的交点B、C关于对称轴$x=2$对称，$B(1,0)$
∴C点横坐标为$2+(2-1)=3$，即$C(3,0)$
观察图象可得，当$y＞0$时，图象在x轴上方，对应x的取值范围是$1＜x＜3$。
(2) 当$x=0$时，$y=-3$，
∴$D(0,-3)$
将$D(0,-3)$平移到$A(2,1)$，平移规律为：横坐标加2（向右平移2个单位），纵坐标加4（向上平移4个单位）
原二次函数顶点式为$y=-(x-2)^2+1$，根据平移规律，平移后顶点坐标为$(2+2,1+4)=(4,5)$
∴平移后二次函数的表达式为$y=-(x-4)^2+5$
【答案】
(1)$A(2,1),C(3,0)$，当$y＞0$时，$1＜x＜3$。
(2)$y=-(x-4)^2+5$
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数平移规律
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，核心考查二次函数的基本性质，解题的关键是先通过待定系数法确定函数解析式，再结合对称性、平移规律逐步求解，是考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.7
