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11. 如图30.2-10，△ABC的内切圆⊙O与边BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=5 cm，BC=7 cm，CA=6 cm. 已知$S_{△ ABC}=6\sqrt{6}\ \mathrm{cm}^2$，则OD的长为
$\frac{2\sqrt{6}}{3}$ cm
. 答案
11. $\frac{2\sqrt{6}}{3}$ cm
解析
【分析】首先明确OD是△ABC内切圆的半径，内切圆圆心到三角形三边的距离均等于半径长度。要求OD的长，可采用面积法求解：将△ABC的面积拆分为分别以AB、BC、AC为底，内切圆半径为高的三个小三角形的面积之和，代入已知的三边长和总面积，列方程即可求出OD的长度。
【解析】
解：
∵⊙O是△ABC的内切圆，且OD⊥BC，
∴OD是△ABC内切圆的半径，设OD=r，可知圆心O到AB、AC、BC的距离都等于r。
△ABC的面积等于三个小三角形的面积和：
$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}$
代入三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· r + \frac{1}{2}BC· r + \frac{1}{2}AC· r=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)· r$
将AB=5cm，BC=7cm，CA=6cm，$S_{△ ABC}=6\sqrt{6}\ \mathrm{cm}^2$代入上式：
$6\sqrt{6}=\frac{1}{2}×(5+7+6)× r$
化简得$9r=6\sqrt{6}$，解得$r=\frac{2\sqrt{6}}{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】$\frac{2\sqrt{6}}{3}$ cm
【知识点】三角形内切圆性质；面积法求线段；切线的性质
【点评】本题是内切圆相关计算的常见题型，解题核心是掌握内切圆半径与三角形面积、周长的关系，通过拆分大三角形面积建立等量关系即可求解，属于基础应用题。
【难度系数】0.7
【解析】
解：
∵⊙O是△ABC的内切圆，且OD⊥BC，
∴OD是△ABC内切圆的半径，设OD=r，可知圆心O到AB、AC、BC的距离都等于r。
△ABC的面积等于三个小三角形的面积和：
$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}$
代入三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· r + \frac{1}{2}BC· r + \frac{1}{2}AC· r=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)· r$
将AB=5cm，BC=7cm，CA=6cm，$S_{△ ABC}=6\sqrt{6}\ \mathrm{cm}^2$代入上式：
$6\sqrt{6}=\frac{1}{2}×(5+7+6)× r$
化简得$9r=6\sqrt{6}$，解得$r=\frac{2\sqrt{6}}{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】$\frac{2\sqrt{6}}{3}$ cm
【知识点】三角形内切圆性质；面积法求线段；切线的性质
【点评】本题是内切圆相关计算的常见题型，解题核心是掌握内切圆半径与三角形面积、周长的关系，通过拆分大三角形面积建立等量关系即可求解，属于基础应用题。
【难度系数】0.7
12. 某工厂需从一块长80 cm、宽60 cm的矩形铁片上剪出两个半径相同的圆，要求两圆不重叠且不超出铁片边缘.
（1）如图30.2-11①，若两圆沿矩形铁片长边并排排列，直接写出圆的最大半径；
（2）如图30.2-11②，AC是矩形ABCD的对角线，若$\odot O_1$和$\odot O_2$分别是$△ ABC$和$△ ACD$的内切圆，$\odot O_1$与AB，BC，AC分别切于E，F，G三点，$\odot O_2$与CD，AD分别切于M，N两点，求$\odot O_1$的半径.
（3）观察图30.2-11②可以发现，两圆之间以及两圆与矩形铁片边缘之间仍存在可供优化布局的余量，图30.2-11②中的圆可能不是最大. 在保证两圆不重叠且不超出铁片边缘的前提下，能否剪出比图30.2-11②更大的圆？如果可以，请求出最大半径；如果不能，请说明理由.
（1）如图30.2-11①，若两圆沿矩形铁片长边并排排列，直接写出圆的最大半径；
（2）如图30.2-11②，AC是矩形ABCD的对角线，若$\odot O_1$和$\odot O_2$分别是$△ ABC$和$△ ACD$的内切圆，$\odot O_1$与AB，BC，AC分别切于E，F，G三点，$\odot O_2$与CD，AD分别切于M，N两点，求$\odot O_1$的半径.
（3）观察图30.2-11②可以发现，两圆之间以及两圆与矩形铁片边缘之间仍存在可供优化布局的余量，图30.2-11②中的圆可能不是最大. 在保证两圆不重叠且不超出铁片边缘的前提下，能否剪出比图30.2-11②更大的圆？如果可以，请求出最大半径；如果不能，请说明理由.
答案
1. 由题意知两圆的直径和为80 cm.
故圆的最大半径为 20 cm.
2. 如图，连接$O_1E, O_1F$.
设$\odot O_1$的半径为r cm，
在Rt△ABC中，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=100\ \mathrm{cm}$.
$\because \odot O_1$是△ABC的内切圆，
$\therefore AE=AG$，$BE=BF$，$CF=CG$，$O_1E⊥ AB$，$O_1F⊥ BC$.
又$∠ B=90°$，$O_1E=O_1F$，
$\therefore$四边形$EBFO_1$为正方形.
$\therefore r = BE = BF = \frac{AB+BC-AC}{2} = \frac{60+80-100}{2}=20(\mathrm{cm})$.
$\therefore \odot O_1$的半径为20 cm.
3. 可以剪出更大的圆. 设圆的半径为R cm，要使两等圆面积最大，则两圆与矩形四边相切，两圆圆心距$O_1O_2=2R\ \mathrm{cm}$.
如图，连接$O_1O_2$，过$O_1$作AB的垂线，过$O_2$作BC的垂线，两垂线交于点M，
则$O_1M=(80-2R)\mathrm{cm}$，$O_2M=(60-2R)\mathrm{cm}$.
在Rt△$O_1O_2M$中，${O_1O_2}^2={O_1M}^2+{O_2M}^2$，
即$(80-2R)^2+(60-2R)^2=(2R)^2$，
解得$R=70\pm20\sqrt{6}$.
当$R=70+20\sqrt{6}$时，$2R=140+40\sqrt{6}＞60$，不符合题意；
当$R=70-20\sqrt{6}$时，$2R=140-40\sqrt{6}＜60$，且$70-20\sqrt{6}＞20$，
$\therefore$圆的最大半径为$(70-20\sqrt{6})\mathrm{cm}$.
解析
【分析】
（1）第一问两圆沿长边并排排列，要使半径最大，需两圆外切且分别与矩形左右边相切，此时两圆直径之和等于矩形长80cm，且直径40cm小于矩形宽60cm，符合不超出边缘的要求，直接计算半径即可。
（2）第二问求直角三角形内切圆半径，先利用勾股定理算出矩形对角线长度，再结合直角三角形内切圆的性质：内切圆与两直角边的切点、直角顶点构成正方形，内切圆半径$r=\frac{\mathrm{两直角边和}-\mathrm{斜边}}{2}$，代入数值计算即可。
（3）第三问要得到更大的等圆，最优布局是两圆分别靠近矩形的一组对角，各与相邻两条矩形边相切且两圆外切。设半径为$R$，根据两圆心的水平距离、垂直距离、圆心距（$2R$）构造直角三角形，用勾股定理列方程求解，舍去不合题意的根后和第二问半径比较即可。
【解析】
（1）两圆沿长边并排排列，要半径最大，则两圆外切且分别与矩形左右边相切，此时两圆直径之和等于矩形的长80cm，故单个圆直径为40cm，$40\mathrm{cm}＜60\mathrm{cm}$，满足不超出边缘的要求，半径为$40÷2=20\mathrm{cm}$。
（2）
连接$O_1E, O_1F$，设$\odot O_1$的半径为$r$ cm。
在$Rt△ ABC$中，$AB=60\mathrm{cm}$，$BC=80\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{60^2+80^2}=100\ \mathrm{cm}$。
$\because \odot O_1$是$△ ABC$的内切圆，
$\therefore AE=AG$，$BE=BF$，$CF=CG$，且$O_1E⊥ AB$，$O_1F⊥ BC$。
又$\because ∠ B=90°$，$O_1E=O_1F=r$，
$\therefore$四边形$EBFO_1$为正方形，$BE=BF=r$。
$\therefore AB+BC-AC=(AE+BE)+(BF+CF)-(AG+CG)=BE+BF=2r$，
即$r=\frac{AB+BC-AC}{2}=\frac{60+80-100}{2}=20(\mathrm{cm})$。
（3）可以剪出更大的圆，理由如下：
设最大圆的半径为$R$ cm，要使两等圆面积最大，需两圆分别与矩形相邻两边相切，且两圆外切。
连接$O_1O_2$，过$O_1$作AB的垂线，过$O_2$作BC的垂线，两垂线交于点$M$，则$△ O_1O_2M$为直角三角形。
其中两圆圆心距$O_1O_2=2R$，水平方向距离$O_1M=80-2R$，垂直方向距离$O_2M=60-2R$。
由勾股定理得：${O_1O_2}^2={O_1M}^2+{O_2M}^2$，
代入得：$(2R)^2=(80-2R)^2+(60-2R)^2$，
整理化简得：$R^2-140R+2500=0$，
解得$R=70\pm20\sqrt{6}$。
当$R=70+20\sqrt{6}$时，$2R=140+40\sqrt{6}＞60$，超出矩形宽度，不符合题意，舍去；
当$R=70-20\sqrt{6}$时，$2R=140-40\sqrt{6}＜60$，且$70-20\sqrt{6}＞20$，符合要求。
【答案】
（1）$\boxed{20\ \mathrm{cm}}$
（2）$\odot O_1$的半径为$\boxed{20\ \mathrm{cm}}$，辅助线如图：
（3）可以剪出更大的圆，最大半径为$\boxed{(70-20\sqrt{6})\ \mathrm{cm}}$，辅助线如图：
【知识点】
圆的切线性质，直角三角形内切圆，勾股定理
【点评】
本题结合实际裁剪场景，考查了圆与矩形、三角形的综合应用，需要根据不同布局的几何特征寻找等量关系列方程求解，第三问需要先判断最优布局再计算，对几何建模能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）第一问两圆沿长边并排排列，要使半径最大，需两圆外切且分别与矩形左右边相切，此时两圆直径之和等于矩形长80cm，且直径40cm小于矩形宽60cm，符合不超出边缘的要求，直接计算半径即可。
（2）第二问求直角三角形内切圆半径，先利用勾股定理算出矩形对角线长度，再结合直角三角形内切圆的性质：内切圆与两直角边的切点、直角顶点构成正方形，内切圆半径$r=\frac{\mathrm{两直角边和}-\mathrm{斜边}}{2}$，代入数值计算即可。
（3）第三问要得到更大的等圆，最优布局是两圆分别靠近矩形的一组对角，各与相邻两条矩形边相切且两圆外切。设半径为$R$，根据两圆心的水平距离、垂直距离、圆心距（$2R$）构造直角三角形，用勾股定理列方程求解，舍去不合题意的根后和第二问半径比较即可。
【解析】
（1）两圆沿长边并排排列，要半径最大，则两圆外切且分别与矩形左右边相切，此时两圆直径之和等于矩形的长80cm，故单个圆直径为40cm，$40\mathrm{cm}＜60\mathrm{cm}$，满足不超出边缘的要求，半径为$40÷2=20\mathrm{cm}$。
（2）
连接$O_1E, O_1F$，设$\odot O_1$的半径为$r$ cm。
在$Rt△ ABC$中，$AB=60\mathrm{cm}$，$BC=80\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{60^2+80^2}=100\ \mathrm{cm}$。
$\because \odot O_1$是$△ ABC$的内切圆，
$\therefore AE=AG$，$BE=BF$，$CF=CG$，且$O_1E⊥ AB$，$O_1F⊥ BC$。
又$\because ∠ B=90°$，$O_1E=O_1F=r$，
$\therefore$四边形$EBFO_1$为正方形，$BE=BF=r$。
$\therefore AB+BC-AC=(AE+BE)+(BF+CF)-(AG+CG)=BE+BF=2r$，
即$r=\frac{AB+BC-AC}{2}=\frac{60+80-100}{2}=20(\mathrm{cm})$。
（3）可以剪出更大的圆，理由如下：
设最大圆的半径为$R$ cm，要使两等圆面积最大，需两圆分别与矩形相邻两边相切，且两圆外切。
连接$O_1O_2$，过$O_1$作AB的垂线，过$O_2$作BC的垂线，两垂线交于点$M$，则$△ O_1O_2M$为直角三角形。
其中两圆圆心距$O_1O_2=2R$，水平方向距离$O_1M=80-2R$，垂直方向距离$O_2M=60-2R$。
由勾股定理得：${O_1O_2}^2={O_1M}^2+{O_2M}^2$，
代入得：$(2R)^2=(80-2R)^2+(60-2R)^2$，
整理化简得：$R^2-140R+2500=0$，
解得$R=70\pm20\sqrt{6}$。
当$R=70+20\sqrt{6}$时，$2R=140+40\sqrt{6}＞60$，超出矩形宽度，不符合题意，舍去；
当$R=70-20\sqrt{6}$时，$2R=140-40\sqrt{6}＜60$，且$70-20\sqrt{6}＞20$，符合要求。
【答案】
（1）$\boxed{20\ \mathrm{cm}}$
（2）$\odot O_1$的半径为$\boxed{20\ \mathrm{cm}}$，辅助线如图：
（3）可以剪出更大的圆，最大半径为$\boxed{(70-20\sqrt{6})\ \mathrm{cm}}$，辅助线如图：
【知识点】
圆的切线性质，直角三角形内切圆，勾股定理
【点评】
本题结合实际裁剪场景，考查了圆与矩形、三角形的综合应用，需要根据不同布局的几何特征寻找等量关系列方程求解，第三问需要先判断最优布局再计算，对几何建模能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
