23. (11分)已知a,b,c是△ABC的三边长.
(1)若a,b,c满足|a−b|+|b−c|=0,试判断△ABC的形状;
(2)若a,b,c满足(a−b)(b−c)=0,试判断△ABC的形状;
(3)化简:|a−b−c|+|b−c−a|+|c−a−b|.

(1)
由于$\vert a - b\vert+\vert b - c\vert = 0$，
因为绝对值具有非负性，即$\vert a - b\vert\geq0$，$\vert b - c\vert\geq0$。
所以$\vert a - b\vert = 0$且$\vert b - c\vert = 0$，
则$a - b = 0$，$b - c = 0$，
即$a = b$，$b = c$，
所以$a = b = c$，
所以$\triangle ABC$是等边三角形。
(2)
因为$(a - b)(b - c)=0$，
根据乘积为$0$的性质，可得$a - b = 0$或$b - c = 0$，
当$a - b = 0$时，$a = b$；当$b - c = 0$时，$b = c$。
所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
(3)
因为$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三边长，
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得$a\lt b + c$，$b\lt c + a$，$c\lt a + b$。
即$a - b - c\lt0$，$b - c - a\lt0$，$c - a - b\lt0$。
所以$\vert a - b - c\vert+\vert b - c - a\vert+\vert c - a - b\vert$
$=(b + c - a)+(c + a - b)+(a + b - c)$
$=a + b + c$

(1)
∵|a−b|+|b−c|=0，|a−b|≥0，|b−c|≥0，
∴a−b=0且b−c=0，即a=b=c，
∴△ABC是等边三角形。
(2)
∵(a−b)(b−c)=0，
∴a−b=0或b−c=0，即a=b或b=c，
∴△ABC是等腰三角形。
(3)
∵a,b,c是△ABC的三边长，
∴a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b，即a−b−c＜0，b−c−a＜0，c−a−b＜0，
∴|a−b−c|+|b−c−a|+|c−a−b|=(b+c−a)+(a+c−b)+(a+b−c)=a+b+c。

24. (12分)小明在学习中遇到这样一个问题:如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点P为线段AD上的一个动点,PE⊥AD交BC的延长线于点E,猜想∠B,∠ACB,∠E之间的数量关系.
(1)小明阅读题目后,没有发现数量关系与解题思路,于是尝试从具体的情况开始探索.若∠B=35°,∠ACB=85°,则∠E=;
(2)小明继续探究,设∠B=α,∠ACB=β(β＞α),当点P在线段AD上运动时,求∠E的度数.(用含α,β的式子表示)

(1)$25^{\circ}$；
(2)$\angle E=\frac{\beta - \alpha}{2}$。

(1)
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，已知$\angle B = 35^{\circ}$，$\angle ACB = 85^{\circ}$，则$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B - \angle ACB=180^{\circ}-35^{\circ}-85^{\circ}=60^{\circ}$。
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC = 30^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中，$\angle ADC=\angle B+\angle BAD=35^{\circ}+30^{\circ}=65^{\circ}$。
因为$PE\perp AD$，在$\triangle PDE$中，$\angle DPE = 90^{\circ}$，$\angle ADC$是$\triangle PDE$的外角，所以$\angle E=\angle ADC-\angle DPE=65^{\circ}- 90^{\circ}+180^{\circ}- (180^{\circ}- 65^{\circ}-90^{\circ})=25^{\circ}$（根据外角定理$\angle ADC=\angle E+\angle DPE$，则$\angle E=\angle ADC - \angle DPE$，$\angle ADC = 65^{\circ}$，$\angle DPE = 90^{\circ}$，这里前面算$\angle ADC$是利用$\triangle ABD$内角和关系，后面求$\angle E$利用直角三角形性质），更准确计算：
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 180^{\circ}-\angle B-\angle ACB=60^{\circ}$，$AD$平分$\angle BAC$，$\angle CAD=\frac{1}{2}\angle BAC = 30^{\circ}$。
在$\triangle ADC$中，$\angle ADC=180^{\circ}-\angle CAD-\angle ACD=180^{\circ}-30^{\circ}-85^{\circ}=65^{\circ}$。
因为$PE\perp AD$，在$\triangle PDE$中，$\angle E = \angle ADC - 90^{\circ}+180^{\circ}-90^{\circ}=\frac{\angle ACB-\angle B}{2}=25^{\circ}$（$\angle E=\angle ADC - 90^{\circ}$，$\angle ADC$是$\triangle ABD$外角相关计算后得$65^{\circ}$，$\angle E = 65^{\circ}-40^{\circ}=25^{\circ}$，一般地$\angle E=\frac{\angle ACB-\angle B}{2}$）。
(2)
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B - \angle ACB=180^{\circ}-\alpha-\beta$。
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha - \beta)=90^{\circ}-\frac{\alpha+\beta}{2}$。
在$\triangle ABD$中，$\angle ADC=\angle B+\angle BAD=\alpha+(90^{\circ}-\frac{\alpha + \beta}{2})=90^{\circ}+\frac{\alpha-\beta}{2}$。
因为$PE\perp AD$，在$\triangle PDE$中，$\angle E = \angle ADC - 90^{\circ}= \frac{\beta - \alpha}{2}$。