1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB$的平分线交$AB$于点$D$。已知点$E$是$AC$上一点，且满足$CE = DE$。设$AD = 2a$，$BD = 3a(a ＞ 0)$。
(1)尺规作图：在图中确定点$E$的位置；(要求：保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，若$BC = 10$，求$DE$的长。

(1)作图见解析；(2)4

(1)作线段CD的垂直平分线，与AC的交点即为点E（作图痕迹略）。
(2)∵CE=DE，∴∠ECD=∠EDC。
∵CD平分∠ACB，∴∠ECD=∠BCD，∴∠EDC=∠BCD，∴DE//BC。
∴△ADE∽△ABC，相似比为AD/AB=2a/(2a+3a)=2/5。
∵BC=10，∴DE/BC=2/5，即DE=10×2/5=4。

2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$。
(1)在$AB$上求作点$D$，使$△ CDB ∽ △ ACB$；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若$BC = 5$，$AC = 12$，求$BD$的长。

(1) 见解析。
(2) $BD = \frac{25}{13}$（或写为$BD$的具体值，即作图后通过测量或计算得出的长度值，但此处保留分数形式）。

(1) 作图：作$∠ BCD = ∠ A$，$CD$交$AB$于点$D$，则$△ CDB ∽ △ ACB$，这是因为$∠ B$是公共角，且$∠ BCD = ∠ A$，根据$AA$相似性质，$△ CDB ∽ △ ACB$。
(2) 由于$△ CDB ∽ △ ACB$，根据相似三角形的性质，有：
$ \frac{BD}{BC} = \frac{BC}{AB} $，
在$Rt △ ACB$中，由勾股定理，有：
$ AB^2 = AC^2 + BC^2 = 12^2 + 5^2 = 13^2 $，
所以，$ AB = 13 $，
代入相似比例式，得：
$ \frac{BD}{5} = \frac{5}{13} $，
解得：
$ BD = \frac{25}{13} $。

3. 如图，在$△ ABC$中，$AC ＞ AB$。
(1)在线段$BC$上求作点$P$，使得点$P$到$AB$的距离与点$P$到$AC$的距离相等；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若$PA = PC$，求证：$PC · BC = AC · AB$。

(1) 作图见解析；(2) 证明见解析。

(1) 作∠BAC的角平分线交BC于点P，点P即为所求（作图痕迹略）。
(2) ∵AP平分∠BAC，∴∠BAP=∠CAP。
∵PA=PC，∴∠CAP=∠ACP，∴∠BAP=∠ACP。
在△ABC和△PBA中，∠B=∠B，∠BAC=∠BPA（∠BAC=2∠CAP，∠BPA=∠CAP+∠ACP=2∠CAP），
∴△ABC∽△PBA（AA）。
∴BC/BA=AC/PA，又PA=PC，∴BC/BA=AC/PC，即PC·BC=AC·AB。

4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 90^{\circ}$，$BD$是$∠ ABC$的平分线，且交$AC$于点$D$。
(1)在斜边$BC$上求作点$E$，使$DE ⊥ BD$；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若$AB = 6$，$BE = 8$，求$DE$的长。

(2) 4

(1) 以D为圆心，适当长为半径画弧交BD于两点，分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半为半径画弧，两弧交于一点，过该点与D作直线交BC于E，E即为所求。
(2) ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD。∵∠A=∠BDE=90°，∴△ABD∽△EBD。∴AB/BD=BD/BE，即BD²=AB·BE=6×8=48。在Rt△BDE中，DE=√(BE²-BD²)=√(8²-48)=√16=4。