1. (2025 襄阳)如图是某同学利用计算机软件绘制的某函数的图象,根据图象判断可能是下列的哪一个函数()

A.$ y = \frac{1}{x} $
B.$ y = x + \frac{1}{x} $
C.$ y = x^2 + \frac{1}{x} $
D.$ y = -\frac{x}{x + 1} $

C

选项A为反比例函数，图象是分布在一、三象限的双曲线，与题目图象不符；选项B为对勾函数，x＜0时图象有最大值点，与题目图象特征不符；选项D可化简为$y=-1+\frac{1}{x+1}$，渐近线为x=-1，与题目中x=0为渐近线不符；选项C中，$y=x^2+\frac{1}{x}$，x＞0时，x趋近0+，y→+∞，x→+∞，y→+∞，中间有极小值；x＜0时，x趋近0-，y→-∞，x→-∞，y→+∞，符合题目图象特征。

2. 如图是小勤同学利用计算机软件绘制的函数 $ y = \frac{kx}{(x + b)^2} $ ( $ k $, $ b $ 为常数)的图象,则 $ k $, $ b $ 的值满足()

A.$ k ＞ 0 $, $ b ＞ 0 $
B.$ k ＜ 0 $, $ b ＞ 0 $
C.$ k ＞ 0 $, $ b ＜ 0 $
D.$ k ＜ 0 $, $ b ＜ 0 $

A

函数$y = \frac{kx}{(x + b)^2}$，分母$(x + b)^2 ＞ 0$（$x ≠ -b$），故$y$的符号由分子$kx$决定。由图像可知，当$x ＞ 0$时，$y ＞ 0$，则$kx ＞ 0$，又$x ＞ 0$，所以$k ＞ 0$。函数有垂直渐近线$x = -b$，由图像知渐近线在$y$轴左侧（$x ＜ 0$），即$-b ＜ 0$，故$b ＞ 0$。综上，$k ＞ 0$，$b ＞ 0$。

3. (2025 白云区)方程 $ x^3 - x - 2 = 0 $ 的实数根就是方程 $ x^2 - 1 = \frac{2}{x} $ 的实数根,用“数形结合”思想判定方程 $ x^3 - x - 2 = 0 $ 的根的情况,正确的是()
A.方程有 3 个不等实数根
B.方程的实数根 $ x_0 $ 满足 $ 0 ＜ x_0 ＜ 1 $
C.方程的实数根 $ x_0 $ 满足 $ 2 ＜ x_0 ＜ 3 $
D.方程的实数根 $ x_0 $ 满足 $ 1 ＜ x_0 ＜ 2 $

D

方程$x^3 - x - 2 = 0$的实数根等价于方程$x^2 - 1 = \frac{2}{x}$的实数根，即函数$y = x^2 - 1$与$y = \frac{2}{x}$图像交点的横坐标。
$y = x^2 - 1$是开口向上的抛物线，顶点$(0,-1)$，与$x$轴交于$(\pm1,0)$；$y = \frac{2}{x}$是反比例函数，图像在第一、三象限。
当$x ＜ 0$时，$y = \frac{2}{x} ＜ 0$，而$y = x^2 - 1$在$x ＜ -1$时为正，在$-1 ＜ x ＜ 0$时为$-1 ＜ y ＜ 0$，与$y = \frac{2}{x}$无交点。
当$0 ＜ x ＜ 1$时，$y = x^2 - 1 ＜ 0$，$y = \frac{2}{x} ＞ 0$，无交点。
当$x ＞ 1$时，设$f(x) = x^2 - 1 - \frac{2}{x}$，$f(x)$为增函数（$x^2 - 1$递增，$\frac{2}{x}$递减，差为增函数）。
$f(1) = 1 - 1 - 2 = -2 ＜ 0$，$f(2) = 4 - 1 - 1 = 2 ＞ 0$，由零点存在定理，在$(1,2)$内有唯一零点。
综上，方程有一个实数根$x_0$满足$1 ＜ x_0 ＜ 2$。

4. (2025 厦门)关于 $ x $ 的方程 $ mx^2 + x - 4m = \frac{3}{x} $ ( $ m ≠ 0 $)的根的情况,下列结论中正确的是()
A.三个根
B.两个根
C.一个根
D.两个或三个根

D

原方程可化为 $ mx^3 + x^2 - 4mx - 3 = 0 $（$ x ≠ 0 $），即三次函数 $ f(x) = mx^3 + x^2 - 4mx - 3 $ 的零点问题。三次函数图像与x轴交点个数取决于极值：当极大值与极小值异号时，有三个零点；当极大值或极小值为0时，有两个零点（含重根）。因此方程根的情况为两个或三个根。