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12.(6 分) 已知$x-y=3$，$x^{2}+y^{2}=13$.
(1)求$xy$的值.
(2)求$x^{3}y-8x^{2}y^{2}+xy^{3}$的值.
(1)求$xy$的值.
(2)求$x^{3}y-8x^{2}y^{2}+xy^{3}$的值.
答案
(1)
由$x - y = 3$，平方得$(x - y)^2 = 9$，即$x^2 - 2xy + y^2 = 9$。
又$x^2 + y^2 = 13$，代入上式得$13 - 2xy = 9$，解得$xy = 2$。
(2)
首先对$x^{3}y - 8x^{2}y^{2} + xy^{3}$进行因式分解，$x^{3}y - 8x^{2}y^{2} + xy^{3}=xy(x^{2}-8xy + y^{2})$。
由(1)知$x^{2}+y^{2}=13$，$xy = 2$，则$x^{2}-8xy + y^{2}=(x^{2}+y^{2})-8xy$。
把$x^{2}+y^{2}=13$，$xy = 2$代入$(x^{2}+y^{2})-8xy$可得：$13-8×2=13 - 16=-3$。
再把$xy = 2$，$x^{2}-8xy + y^{2}=-3$代入$xy(x^{2}-8xy + y^{2})$可得：$2×(-3)=-6$。
综上，答案依次为：(1)$2$；(2)$-6$。
由$x - y = 3$，平方得$(x - y)^2 = 9$，即$x^2 - 2xy + y^2 = 9$。
又$x^2 + y^2 = 13$，代入上式得$13 - 2xy = 9$，解得$xy = 2$。
(2)
首先对$x^{3}y - 8x^{2}y^{2} + xy^{3}$进行因式分解，$x^{3}y - 8x^{2}y^{2} + xy^{3}=xy(x^{2}-8xy + y^{2})$。
由(1)知$x^{2}+y^{2}=13$，$xy = 2$，则$x^{2}-8xy + y^{2}=(x^{2}+y^{2})-8xy$。
把$x^{2}+y^{2}=13$，$xy = 2$代入$(x^{2}+y^{2})-8xy$可得：$13-8×2=13 - 16=-3$。
再把$xy = 2$，$x^{2}-8xy + y^{2}=-3$代入$xy(x^{2}-8xy + y^{2})$可得：$2×(-3)=-6$。
综上，答案依次为：(1)$2$；(2)$-6$。
13.(8 分) 利用我们学过的知识，可以得出下面这个形式优美的等式：
$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac=\frac{1}{2}[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}]$.
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美.
(1)请你检验这个等式的正确性.
(2)若$a=2019$，$b=2020$，$c=2021$，你能很快求出$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac$的值吗?
(3)若$a-b=\frac{3}{5}$，$b-c=\frac{3}{5}$，$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$，求$ab+bc+ac$的值.
$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac=\frac{1}{2}[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}]$.
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美.
(1)请你检验这个等式的正确性.
(2)若$a=2019$，$b=2020$，$c=2021$，你能很快求出$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac$的值吗?
(3)若$a-b=\frac{3}{5}$，$b-c=\frac{3}{5}$，$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$，求$ab+bc+ac$的值.
答案
13.
(1)
右边$=\frac{1}{2}[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}]$
$=\frac{1}{2}(a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}-2bc+c^{2}+c^{2}-2ac+a^{2})$
$=\frac{1}{2}(2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ac)$
$=a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac$
$=$左边
所以等式正确。
(2)
当$a = 2019$，$b = 2020$，$c = 2021$时，
$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - bc - ac$
$=\frac{1}{2}[(a - b)^{2}+(b - c)^{2}+(c - a)^{2}]$
$=\frac{1}{2}×[(-1)^{2}+(-1)^{2}+2^{2}]$
$=\frac{1}{2}×(1 + 1+4)$
$= 3$
(3)
因为$a - b=\frac{3}{5}$，$b - c=\frac{3}{5}$，
所以$a - c=(a - b)+(b - c)=\frac{6}{5}$
又因为$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - bc - ac=\frac{1}{2}[(a - b)^{2}+(b - c)^{2}+(c - a)^{2}]$
$=\frac{1}{2}×[(\frac{3}{5})^{2}+(\frac{3}{5})^{2}+(\frac{6}{5})^{2}]$
$=\frac{1}{2}×(\frac{9}{25}+\frac{9}{25}+\frac{36}{25})$
$=\frac{1}{2}×\frac{54}{25}=\frac{27}{25}$
即$1-(ab + bc + ac)=\frac{27}{25}$
$ab + bc + ac=1-\frac{27}{25}=-\frac{2}{25}$
(1)
右边$=\frac{1}{2}[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}]$
$=\frac{1}{2}(a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}-2bc+c^{2}+c^{2}-2ac+a^{2})$
$=\frac{1}{2}(2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ac)$
$=a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac$
$=$左边
所以等式正确。
(2)
当$a = 2019$，$b = 2020$，$c = 2021$时，
$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - bc - ac$
$=\frac{1}{2}[(a - b)^{2}+(b - c)^{2}+(c - a)^{2}]$
$=\frac{1}{2}×[(-1)^{2}+(-1)^{2}+2^{2}]$
$=\frac{1}{2}×(1 + 1+4)$
$= 3$
(3)
因为$a - b=\frac{3}{5}$，$b - c=\frac{3}{5}$，
所以$a - c=(a - b)+(b - c)=\frac{6}{5}$
又因为$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - bc - ac=\frac{1}{2}[(a - b)^{2}+(b - c)^{2}+(c - a)^{2}]$
$=\frac{1}{2}×[(\frac{3}{5})^{2}+(\frac{3}{5})^{2}+(\frac{6}{5})^{2}]$
$=\frac{1}{2}×(\frac{9}{25}+\frac{9}{25}+\frac{36}{25})$
$=\frac{1}{2}×\frac{54}{25}=\frac{27}{25}$
即$1-(ab + bc + ac)=\frac{27}{25}$
$ab + bc + ac=1-\frac{27}{25}=-\frac{2}{25}$
14.(8 分) 阅读下列材料.
材料：因式分解$(x+y)^{2}+2(x+y)+1$.
解：将“$x+y$”看成整体，令$x+y=A$，则原式$=A^{2}+2A+1=(A+1)^{2}$.
再将“$A$”还原，得原式$=(x+y+1)^{2}$.
上述解题过程用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法.
请你解答下列问题：
(1)因式分解$1+2(x-y)+(x-y)^{2}=$.
(2)因式分解$(a+b)(a+b-4)+4=$.
(3)求证：若$n$为正整数，式子$(n+1)(n+2)(n^{2}+3n)+1$的值一定是某一个整数的平方.
材料：因式分解$(x+y)^{2}+2(x+y)+1$.
解：将“$x+y$”看成整体，令$x+y=A$，则原式$=A^{2}+2A+1=(A+1)^{2}$.
再将“$A$”还原，得原式$=(x+y+1)^{2}$.
上述解题过程用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法.
请你解答下列问题：
(1)因式分解$1+2(x-y)+(x-y)^{2}=$.
(2)因式分解$(a+b)(a+b-4)+4=$.
(3)求证：若$n$为正整数，式子$(n+1)(n+2)(n^{2}+3n)+1$的值一定是某一个整数的平方.
答案
(1)$(x - y + 1)^2$；(2)$(a + b - 2)^2$；(3)见上述证明。
解析
(1) 令$A = x - y$，则原式$=1 + 2A + A^2=(1 + A)^2$，将$A = x - y$还原，得$(x - y + 1)^2$。
(2) 令$A = a + b$，则原式$=A(A - 4) + 4 = A^2 - 4A + 4=(A - 2)^2$，将$A = a + b$还原，得$(a + b - 2)^2$。
(3) 证明：$(n + 1)(n + 2)(n^2 + 3n) + 1$，先变形$(n + 1)(n + 2)=n^2 + 3n + 2$，令$A = n^2 + 3n$，则原式$=(A + 2)A + 1 = A^2 + 2A + 1=(A + 1)^2$，将$A = n^2 + 3n$还原，得$(n^2 + 3n + 1)^2$。因为$n$为正整数，所以$n^2 + 3n + 1$是整数，故式子的值是整数$(n^2 + 3n + 1)$的平方。
(2) 令$A = a + b$，则原式$=A(A - 4) + 4 = A^2 - 4A + 4=(A - 2)^2$，将$A = a + b$还原，得$(a + b - 2)^2$。
(3) 证明：$(n + 1)(n + 2)(n^2 + 3n) + 1$，先变形$(n + 1)(n + 2)=n^2 + 3n + 2$，令$A = n^2 + 3n$，则原式$=(A + 2)A + 1 = A^2 + 2A + 1=(A + 1)^2$，将$A = n^2 + 3n$还原，得$(n^2 + 3n + 1)^2$。因为$n$为正整数，所以$n^2 + 3n + 1$是整数，故式子的值是整数$(n^2 + 3n + 1)$的平方。
