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1.下列命题中正确的有(
①有一个角等于$80°$的两个等腰三角形相似;②两边对应成比例的两个等腰三角形相似;
③有一个角对应相等的两个等腰三角形相似;④底边对应相等的两个等腰三角形相似.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
A
).①有一个角等于$80°$的两个等腰三角形相似;②两边对应成比例的两个等腰三角形相似;
③有一个角对应相等的两个等腰三角形相似;④底边对应相等的两个等腰三角形相似.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
A
解析
① 有一个角等于$80°$的两个等腰三角形：
若$80°$角一个是顶角，一个是底角，则不相似，故不能判定相似。
② 两边对应成比例的两个等腰三角形：
两边对应成比例，且夹角相等（顶角或底角）时才相似，但题目未说明夹角情况，故不能判定相似。
③ 有一个角对应相等的两个等腰三角形：
若相等的角一个是顶角，一个是底角，则不相似，故不能判定相似。
④ 底边对应相等的两个等腰三角形：
仅底边对应相等，无法确定其他边或角的关系，故不能判定相似。
综上，四个命题均不能确定相似，正确的有0个。
若$80°$角一个是顶角，一个是底角，则不相似，故不能判定相似。
② 两边对应成比例的两个等腰三角形：
两边对应成比例，且夹角相等（顶角或底角）时才相似，但题目未说明夹角情况，故不能判定相似。
③ 有一个角对应相等的两个等腰三角形：
若相等的角一个是顶角，一个是底角，则不相似，故不能判定相似。
④ 底边对应相等的两个等腰三角形：
仅底边对应相等，无法确定其他边或角的关系，故不能判定相似。
综上，四个命题均不能确定相似，正确的有0个。
2.如图,DE是$\triangle ABC$的中位线,延长DE至F,使EF = DE,连接CF,则$S_{\triangle CEF}:S_{四边形BCED} =$
(
A.1:3
B.2:3
C.1:4
D.2:5
(
A
).A.1:3
B.2:3
C.1:4
D.2:5
答案
A
解析
∵DE是△ABC的中位线，∴DE=1/2BC，DE//BC，AE=EC。在△ADE和△CFE中，AE=EC，∠AED=∠CEF，DE=EF，∴△ADE≌△CFE(SAS)，∴S△ADE=S△CEF。设S△ADE=S，则S△CEF=S。∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，相似比为1/2，面积比为1/4，∴S△ABC=4S，∴S四边形BCED=S△ABC - S△ADE=4S - S=3S，∴S△CEF:S四边形BCED=S:3S=1:3。
3.把边长分别为 1 和 2 的两个正方形按如图的方式放置,则图中阴影部分的面积为(
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{4}$
A
).A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
A
解析
设小正方形边长为1，大正方形边长为2，建立坐标系：小正方形顶点为$O(0,0)$，$A(1,0)$，$B(1,1)$，$C(0,1)$；大正方形左下角与小正方形右下角$A(1,0)$重合，顶点为$A(1,0)$，$D(3,0)$，$E(3,2)$，$F(1,2)$。连接$C(0,1)$与$D(3,0)$，直线方程为$y=-\frac{1}{3}x+1$。该直线与小正方形右边$x=1$交于$G(1,\frac{2}{3})$。阴影三角形为$\triangle CBG$（$C(0,1)$，$B(1,1)$，$G(1,\frac{2}{3})$），底$CB=1$，高$BG=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，面积$S=\frac{1}{2}×1×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$。
4.一个三角形支架$3$条边的长分别是$75 \mathrm{cm},100 \mathrm{cm},120 \mathrm{cm}$,现要再做一个与其相似的三角形木架,而只有长为$60 \mathrm{cm},120 \mathrm{cm}$的两根木条,要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段作为另两边(允许有余料),则不同的截法有(
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
B
).A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
答案
B
解析
原三角形三边为75cm、100cm、120cm，需用60cm和120cm木条做相似三角形，只能以60cm为一边，从120cm上截两段（以120cm为边时，另两边和需＞120cm，60cm木条无法满足）。分三种对应情况：
1. 60cm对应75cm：比例k=0.8，另两边为80cm、96cm，和176cm＞120cm，舍去；
2. 60cm对应100cm：k=0.6，另两边为45cm、72cm，和117cm≤120cm，可行；
3. 60cm对应120cm：k=0.5，另两边为37.5cm、50cm，和87.5cm≤120cm，可行。
共2种截法。
1. 60cm对应75cm：比例k=0.8，另两边为80cm、96cm，和176cm＞120cm，舍去；
2. 60cm对应100cm：k=0.6，另两边为45cm、72cm，和117cm≤120cm，可行；
3. 60cm对应120cm：k=0.5，另两边为37.5cm、50cm，和87.5cm≤120cm，可行。
共2种截法。
5.如图,在边长为$\sqrt{3}$的菱形$ABCD$中$,\angle B = 30°$,过点$A$作$AE\perp BC$于点$E$,现将$\triangle ABE$沿直线$AE$翻折至$\triangle AFE$的位置,$AF$与$CD$交于点$G$,则$CG$等于(
A.$\sqrt{3}-1$
B.$1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
A
).A.$\sqrt{3}-1$
B.$1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
答案
A
解析
在菱形$ABCD$中，$AB=BC=\sqrt{3}$，$\angle B=30°$，$AE\perp BC$于$E$。
在$Rt\triangle ABE$中，$\angle B=30°$，$AB=\sqrt{3}$，则$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$BE=AB\cos30°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$。
翻折后$EF=BE=\frac{3}{2}$，$F$在$BC$延长线上，故$BF=BE+EF=3$，$CF=BF-BC=3-\sqrt{3}$。
因为$AB// CD$，所以$\triangle FGC\sim\triangle FAB$，相似比为$\frac{CF}{BF}=\frac{3-\sqrt{3}}{3}$。
则$\frac{CG}{AB}=\frac{CF}{BF}$，即$CG=AB×\frac{CF}{BF}=\sqrt{3}×\frac{3-\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}-1$。
在$Rt\triangle ABE$中，$\angle B=30°$，$AB=\sqrt{3}$，则$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$BE=AB\cos30°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$。
翻折后$EF=BE=\frac{3}{2}$，$F$在$BC$延长线上，故$BF=BE+EF=3$，$CF=BF-BC=3-\sqrt{3}$。
因为$AB// CD$，所以$\triangle FGC\sim\triangle FAB$，相似比为$\frac{CF}{BF}=\frac{3-\sqrt{3}}{3}$。
则$\frac{CG}{AB}=\frac{CF}{BF}$，即$CG=AB×\frac{CF}{BF}=\sqrt{3}×\frac{3-\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}-1$。
