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11.(8分)化简.
(1)$\frac{4}{x^2-4}+\frac{2}{x+2}+\frac{1}{2-x}$
(2)$\frac{b}{a^2-b^2} ÷ (1-\frac{a}{a+b})$
(1)$\frac{4}{x^2-4}+\frac{2}{x+2}+\frac{1}{2-x}$
(2)$\frac{b}{a^2-b^2} ÷ (1-\frac{a}{a+b})$
答案
(1) $\frac{1}{x + 2}$；(2) $\frac{1}{a - b}$
解析
(1) $\frac{4}{x^2 - 4} + \frac{2}{x + 2} + \frac{1}{2 - x}$
$\begin{aligned}&=\frac{4}{(x + 2)(x - 2)} + \frac{2}{x + 2} - \frac{1}{x - 2}\\&=\frac{4}{(x + 2)(x - 2)} + \frac{2(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{x + 2}{(x + 2)(x - 2)}\\&=\frac{4 + 2x - 4 - x - 2}{(x + 2)(x - 2)}\\&=\frac{x - 2}{(x + 2)(x - 2)}\\&=\frac{1}{x + 2}\end{aligned}$
(2) $\frac{b}{a^2 - b^2} ÷ (1 - \frac{a}{a + b})$
$\begin{aligned}&=\frac{b}{(a + b)(a - b)} ÷ \left(\frac{a + b}{a + b} - \frac{a}{a + b}\right)\\&=\frac{b}{(a + b)(a - b)} ÷ \frac{b}{a + b}\\&=\frac{b}{(a + b)(a - b)} × \frac{a + b}{b}\\&=\frac{1}{a - b}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&=\frac{4}{(x + 2)(x - 2)} + \frac{2}{x + 2} - \frac{1}{x - 2}\\&=\frac{4}{(x + 2)(x - 2)} + \frac{2(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{x + 2}{(x + 2)(x - 2)}\\&=\frac{4 + 2x - 4 - x - 2}{(x + 2)(x - 2)}\\&=\frac{x - 2}{(x + 2)(x - 2)}\\&=\frac{1}{x + 2}\end{aligned}$
(2) $\frac{b}{a^2 - b^2} ÷ (1 - \frac{a}{a + b})$
$\begin{aligned}&=\frac{b}{(a + b)(a - b)} ÷ \left(\frac{a + b}{a + b} - \frac{a}{a + b}\right)\\&=\frac{b}{(a + b)(a - b)} ÷ \frac{b}{a + b}\\&=\frac{b}{(a + b)(a - b)} × \frac{a + b}{b}\\&=\frac{1}{a - b}\end{aligned}$
12.(7分)若$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=1$,求$\frac{2x+3xy-2y}{x-2xy-y}$的值.
答案
由已知条件$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1$，
通分得：
$\frac{y - x}{xy} = 1$
$\Rightarrow y - x = xy$
$\Rightarrow x - y = -xy$
将$x - y = -xy$代入目标表达式$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - 2xy - y}$中，得：
$\frac{2(x - y) + 3xy}{(x - y) - 2xy}$
$= \frac{2(-xy) + 3xy}{-xy - 2xy}$
$= \frac{-2xy + 3xy}{-3xy}$
$= \frac{xy}{-3xy}$
$= -\frac{1}{3}$
故$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - 2xy - y} = -\frac{1}{3}$。
通分得：
$\frac{y - x}{xy} = 1$
$\Rightarrow y - x = xy$
$\Rightarrow x - y = -xy$
将$x - y = -xy$代入目标表达式$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - 2xy - y}$中，得：
$\frac{2(x - y) + 3xy}{(x - y) - 2xy}$
$= \frac{2(-xy) + 3xy}{-xy - 2xy}$
$= \frac{-2xy + 3xy}{-3xy}$
$= \frac{xy}{-3xy}$
$= -\frac{1}{3}$
故$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - 2xy - y} = -\frac{1}{3}$。
13.(7分)化简求值:$\frac{x^2+x}{x^2-2x+1} ÷ (\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x})$,其中$x=2$.
答案
4
解析
解：
1. 计算括号内分式减法：
$\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x}=\frac{2x-(x-1)}{x(x-1)}=\frac{2x-x+1}{x(x-1)}=\frac{x+1}{x(x-1)}$。
2. 将除法转化为乘法：
原式$=\frac{x^2+x}{x^2-2x+1}÷\frac{x+1}{x(x-1)}=\frac{x^2+x}{x^2-2x+1}·\frac{x(x-1)}{x+1}$。
3. 因式分解并约分：
$\frac{x(x+1)}{(x-1)^2}·\frac{x(x-1)}{x+1}=\frac{x(x+1)· x(x-1)}{(x-1)^2(x+1)}=\frac{x^2}{x-1}$。
4. 代入$x=2$求值：
$\frac{2^2}{2-1}=\frac{4}{1}=4$。
1. 计算括号内分式减法：
$\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x}=\frac{2x-(x-1)}{x(x-1)}=\frac{2x-x+1}{x(x-1)}=\frac{x+1}{x(x-1)}$。
2. 将除法转化为乘法：
原式$=\frac{x^2+x}{x^2-2x+1}÷\frac{x+1}{x(x-1)}=\frac{x^2+x}{x^2-2x+1}·\frac{x(x-1)}{x+1}$。
3. 因式分解并约分：
$\frac{x(x+1)}{(x-1)^2}·\frac{x(x-1)}{x+1}=\frac{x(x+1)· x(x-1)}{(x-1)^2(x+1)}=\frac{x^2}{x-1}$。
4. 代入$x=2$求值：
$\frac{2^2}{2-1}=\frac{4}{1}=4$。
14.(8分)观察下列各式:
$\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}$;
$\frac{1}{(x-2)(x-3)}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}$;
$\frac{1}{(x-3)(x-4)}=\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x-3}$;
$···$
(1)你归纳出的一般结论是
(2)利用上述结论计算:$\frac{1}{(x-1)(x-2)}+\frac{1}{(x-2)(x-3)}+···+\frac{1}{(x-2020)(x-2021)}$
$\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}$;
$\frac{1}{(x-2)(x-3)}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}$;
$\frac{1}{(x-3)(x-4)}=\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x-3}$;
$···$
(1)你归纳出的一般结论是
$\frac{1}{(x-n)(x-n-1)}=\frac{1}{x-n-1}-\frac{1}{x-n}$（$n$为正整数）
(2)利用上述结论计算:$\frac{1}{(x-1)(x-2)}+\frac{1}{(x-2)(x-3)}+···+\frac{1}{(x-2020)(x-2021)}$
答案
(1)$\frac{1}{(x-n)(x-n-1)}=\frac{1}{x-n-1}-\frac{1}{x-n}$（$n$为正整数）
(2)原式$=(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1})+(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2})+···+(\frac{1}{x-2021}-\frac{1}{x-2020})$
$=\frac{1}{x-2021}-\frac{1}{x-1}$
$=\frac{(x-1)-(x-2021)}{(x-2021)(x-1)}$
$=\frac{2020}{(x-1)(x-2021)}$
(2)原式$=(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1})+(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2})+···+(\frac{1}{x-2021}-\frac{1}{x-2020})$
$=\frac{1}{x-2021}-\frac{1}{x-1}$
$=\frac{(x-1)-(x-2021)}{(x-2021)(x-1)}$
$=\frac{2020}{(x-1)(x-2021)}$
