一、选择题
1. 已知点 $ A(1,y_{1}),B(2,y_{2}) $ 在抛物线 $ y = -(x + 1)^{2} + 2 $ 上，则下列结论正确的是()
A.$ 2 ＞ y_{1} ＞ y_{2} $
B.$ 2 ＞ y_{2} ＞ y_{1} $
C.$ y_{1} ＞ y_{2} ＞ 2 $
D.$ y_{2} ＞ y_{1} ＞ 2 $

1. A

当$x=1$时，$y_{1}=-(1 + 1)^{2}+2=-4 + 2=-2$；当$x=2$时，$y_{2}=-(2 + 1)^{2}+2=-9 + 2=-7$。因为$2＞-2＞-7$，所以$2＞y_{1}＞y_{2}$。
A

2. (2023·丽水)一个球从地面竖直向上弹起时的速度为 10 米/秒，经过 $ t $(秒)时球距离地面的高度 $ h $(米)适用公式 $ h = 10t - 5t^{2} $，那么球弹起后又回到地面所花的时间 $ t $(秒)是()

A.5
B.10
C.1
D.2

2. D

当球回到地面时，高度$h = 0$，则有：
$10t - 5t^{2}=0$
$5t(2 - t)=0$
解得$t = 0$或$t = 2$。
$t = 0$是球刚弹起的时刻，球弹起后又回到地面所花的时间为$t = 2$。
D

3. (2023·成都)如图，二次函数 $ y = ax^{2} + x - 6 $ 的图像与 $ x $ 轴交于 $ A(-3,0) $，$ B $ 两点，下列说法正确的是()

A.抛物线的对称轴为直线 $ x = 1 $
B.抛物线的顶点坐标为 $ ( -\dfrac{1}{2},-6 ) $
C.$ A,B $ 两点之间的距离为 5
D.当 $ x ＜ -1 $ 时，$ y $ 的值随 $ x $ 值的增大而增大

3. C

解：将$A(-3,0)$代入$y = ax^{2} + x - 6$，得$9a - 3 - 6 = 0$，解得$a = 1$，故二次函数解析式为$y = x^{2} + x - 6$。
A. 对称轴为$x = -\dfrac{1}{2×1}=-\dfrac{1}{2}$，A错误。
B. 顶点横坐标为$-\dfrac{1}{2}$，代入得$y = (-\dfrac{1}{2})^{2}+(-\dfrac{1}{2})-6=-\dfrac{25}{4}$，顶点坐标为$(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{25}{4})$，B错误。
C. 令$y = 0$，则$x^{2} + x - 6 = 0$，解得$x_{1}=-3$，$x_{2}=2$，故$B(2,0)$，$AB = |2 - (-3)| = 5$，C正确。
D. 抛物线开口向上，对称轴为$x = -\dfrac{1}{2}$，当$x ＜ -\dfrac{1}{2}$时，$y$随$x$增大而减小，D错误。
答案：C

4. (2024·泰安)如图是二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的部分图像，该函数图像的对称轴是直线 $ x = 1 $，图像与 $ y $ 轴交点的纵坐标是 2，则下列结论：① $ 2a + b = 0 $；②方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 一定有一个根在 $ -2 $ 和 $ -1 $ 之间；③方程 $ ax^{2} + bx + c - \dfrac{3}{2} = 0 $ 一定有两个不相等的实数根；④ $ b - a ＜ 2 $。其中，正确的结论有()

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

4. B

解：①
∵对称轴为直线$x=1$，$\therefore -\dfrac{b}{2a}=1$，$\therefore b=-2a$，$\therefore 2a + b=0$，①正确；
②
∵抛物线与$x$轴交于点$(3,0)$，对称轴为$x=1$，$\therefore$另一交点为$(-1,0)$，方程$ax^{2}+bx + c=0$的根为$x=-1$和$x=3$，②错误；
③
∵抛物线开口向下，顶点在$x=1$处，且过$(0,2)$，$(3,0)$，对称轴$x=1$，设顶点纵坐标为$k$，由抛物线对称性，顶点纵坐标大于$2$，方程$ax^{2}+bx + c=\dfrac{3}{2}$，即$y=\dfrac{3}{2}$与抛物线有两个交点，③正确；
④
∵$c=2$，$b=-2a$，抛物线过$(3,0)$，$\therefore 9a + 3b + 2=0$，将$b=-2a$代入得$9a-6a + 2=0$，$3a=-2$，$a=-\dfrac{2}{3}$，$b=\dfrac{4}{3}$，$b - a=\dfrac{4}{3}-(-\dfrac{2}{3})=2$，④错误。
正确的结论有①③，共2个。
答案：B

二、填空题
5. (2023·泰安)二次函数 $ y = -x^{2} - 3x + 4 $ 的最大值是。

5. $\frac{25}{4}$

6. (2024·牡丹江)将抛物线 $ y = ax^{2} + bx + 3 $ 向下平移 5 个单位长度后，经过点 $ (-2,4) $，则 $ 6a - 3b - 7 = $。

6. 2

将抛物线$y = ax^{2} + bx + 3$向下平移5个单位长度后，得到的新抛物线解析式为$y = ax^{2} + bx + 3 - 5 = ax^{2} + bx - 2$。
因为新抛物线经过点$(-2, 4)$，所以将$x=-2$，$y=4$代入$y = ax^{2} + bx - 2$中，可得：
$\begin{aligned}4&=a×(-2)^{2}+b×(-2)-2\\4&=4a - 2b - 2\\4 + 2&=4a - 2b\\6&=4a - 2b\\2a - b&=3\end{aligned}$
对$6a - 3b - 7$进行变形可得：$3(2a - b) - 7$，把$2a - b = 3$代入，得：
$3×3 - 7 = 9 - 7 = 2$
故$6a - 3b - 7 = 2$。
2

7. (2024·苏州期末)函数 $ y_{1} = x^{2} + 2x - 3 $ 的图像与函数 $ y_{2} = -x + b $ 的图像交于 $ A,B $ 两点，若 $ AB = 5\sqrt{2} $，则当 $ y_{1} ＞ y_{2} $ 时自变量 $ x $ 的取值范围是。

7. $x＞1$或$x＜-4$

解：联立方程得$x^{2}+2x - 3=-x + b$，整理得$x^{2}+3x-(3 + b)=0$。
设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，则$x_{1}+x_{2}=-3$，$x_{1}x_{2}=-(3 + b)$。
$AB=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+[(-x_{1}+b)-(-x_{2}+b)]^{2}}=\sqrt{2(x_{1}-x_{2})^{2}}=\sqrt{2[(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}]}$。
代入得$\sqrt{2[(-3)^{2}-4×(-(3 + b))]}=5\sqrt{2}$，即$\sqrt{2(9 + 12 + 4b)}=5\sqrt{2}$，$\sqrt{2(21 + 4b)}=5\sqrt{2}$，两边平方得$2(21 + 4b)=50$，解得$b=-4$。
方程为$x^{2}+3x - (-1)=x^{2}+3x + 1=0$，解得$x_{1}=-4$，$x_{2}=1$。
因为$y_{1}＞y_{2}$，所以$x^{2}+2x - 3＞-x - 4$，即$x^{2}+3x + 1＞0$，解得$x＞1$或$x＜-4$。
$x＞1$或$x＜-4$

8. 如图，直线 $ y = -2x + 2 $ 与 $ x $ 轴，$ y $ 轴分别交于点 $ A,B $，以线段 $ AB $ 为直角边在第一象限内作等腰直角 $ △ ABC $，$ ∠ BAC = 90^{\circ} $，过点 $ C $ 作 $ CD ⊥ x $ 轴，垂足为 $ D $，则过 $ B,A,D $ 三点的抛物线的函数表达式为。

8. $y=\frac{2}{3}x^{2}-\frac{8}{3}x+2$

解：对于直线$y = -2x + 2$，
令$y = 0$，则$-2x + 2 = 0$，解得$x = 1$，所以$A(1,0)$；
令$x = 0$，则$y = 2$，所以$B(0,2)$。
$\because ∠ BAC = 90^{\circ}$，$△ ABC$是等腰直角三角形，
$\therefore AB = AC$。
过$C$作$CD ⊥ x$轴于$D$，则$∠ ADC = 90^{\circ}$。
$\because ∠ BAO + ∠ CAD = 90^{\circ}$，$∠ CAD + ∠ ACD = 90^{\circ}$，
$\therefore ∠ BAO = ∠ ACD$。
在$△ AOB$和$△ CDA$中，
$\begin{cases}∠ AOB = ∠ CDA = 90^{\circ} \\∠ BAO = ∠ ACD \\AB = CA\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ CDA(AAS)$。
$\therefore AD = OB = 2$，$CD = OA = 1$。
$\because A(1,0)$，$AD = 2$，且$D$在$x$轴正半轴，
$\therefore OD = OA + AD = 1 + 2 = 3$，即$D(3,0)$。
设过$B(0,2)$，$A(1,0)$，$D(3,0)$三点的抛物线表达式为$y = ax^{2} + bx + c$，
将$B(0,2)$代入得$c = 2$；
将$A(1,0)$代入得$a + b + 2 = 0$；
将$D(3,0)$代入得$9a + 3b + 2 = 0$。
联立$\begin{cases}a + b = -2 \\ 9a + 3b = -2\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a = \frac{2}{3} \\ b = -\frac{8}{3}\end{cases}$。
$\therefore$抛物线表达式为$y = \frac{2}{3}x^{2} - \frac{8}{3}x + 2$。

9. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + 2ax + 3a^{2} + 3 $(其中 $ x $ 是自变量)，当 $ x ≥ 2 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，且当 $ -4 ≤ x ≤ 1 $ 时，$ y $ 的最大值为 7，则 $ a $ 的值为。

9. $-1$

解：二次函数$y = ax^{2} + 2ax + 3a^{2} + 3$的对称轴为$x=-\frac{2a}{2a}=-1$。
因为当$x≥2$时，$y$随$x$的增大而减小，所以抛物线开口向下，即$a＜0$。
当$-4≤ x≤1$时，对称轴$x=-1$在该区间内，且抛物线开口向下，所以$x=-1$时，$y$取得最大值。
将$x=-1$代入函数得：$y=a(-1)^{2}+2a(-1)+3a^{2}+3=3a^{2}-a + 3$。
已知最大值为$7$，则$3a^{2}-a + 3=7$，即$3a^{2}-a - 4=0$。
解得$a_{1}=-1$，$a_{2}=\frac{4}{3}$。
又因为$a＜0$，所以$a=-1$。
$-1$